1998年 全国高考 文科数学.docx

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1998年全国高考文科数学

 1998年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）

数学

  第I卷（选择题共65分）

一、选择题：

本大题共15小题；第

（1）－（10）题每小题4分，第（11）－（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．sin600°的值是

A．1/2   B．-1/2   C．

/2   D．-

/2

2．函数y=a|x|（a>1）的图象是

3．已知直线x=a（a>0）和圆（x-1）2+y2=4相切，那么a的值是

A．5   B．4   C．3   D．2

4．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是

A．A1A2+B1B2=0   B．A1A2-B1B2=0

C．A1A2/B1B2=-1   D．B1B2/A1A2=1

5．函数f（x）=1/x（x≠0）的反函数f-1（x）=

A．x（x≠0）   B．1/x（x≠0）

C．-x（x≠0）   D．-1/x（x≠0）

6．已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π]内α的取值范围是

A．（π/2,3π/4）∪（π,5π/4）     B．（π/4,π/2）∪（π,5π/4）

C．（π/2,3π/4）∪（5π/2,3π/2）   D．（π/4,π/2）∪（3π/4,π）

7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为

A．120°   B．150°   C．180°   D．240°

8．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是

A．

/2±1/2     B．-

/2±1/2i

C．±

/2+1/2i   D．±

/2-1/2i

9．如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么

A．2

=

+

B．S0＝

C．2S0＝S＋S'

D．S02＝2S'S

10．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士。

不同的分配方法共有

A．6种   B．12种   C．18种   D．24种

11．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是

12．椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是

A．±

/4   B．±

/2   C．±

/2   D．±3/4

13．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为

A．4

   B．2

   C．2   D．

14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为

A．arccos

-1/2   B．arcsin

-1/2

C．arccos1-

/2   D．arcsin1-

/2

15．等比数列{an}的公比为-1/2，前n项的和Sn满足

Sn=1/a1，那么a1的值为

A．±   B．±3/2   C．±

   D．±/2

第Ⅱ卷（非选择题共85分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

16．设圆过双曲线x2/9-y2/16=1的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_____。

17．（x+2）10（x2-1）的展开式x10的系数为______（用数字作答）。

18．如图，在直四棱柱A1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____时，有A1C⊥B1D1。

（注：

填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。

）

19．关于函数F（x）=4sin（2x+π/3）（x∈R），有下列命题：

①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；

②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-π/6）；

③y=f（x）的图象关于点（－π、6，0）对称；

④y=f（x）的图象关于直线x=-π/6对称。

其中正确的命题的序号是_____。

（注：

把你认为正确的命题的序号都填上。

）

三、解答题：

本大题共6小题；共69分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

20．（本小题满分10分）设a≠b，解关于x的不等式

a2x+b2（1-x）≥[ax+b（1-x）]2.

21．（本小题满分10分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a+c=2b，A-C=π/3，求sinB的值。

以下公式供解题时参考：

sinθ+sinφ=2sinθ+φ/2cosθ-φ/2,

sinθ-sinφ=2cosθ+φ/2sinθ-φ/2,

cosθ+cosφ=2cosθ+φ/2cosθ-φ/2,

cosθ-cosφ=-2sinθ+φ/2sinθ-φ/2

21．（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1。

以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与点N的距离相等。

若△AMN为锐角三角形，|AM|=

，|AN|=3，且|BN|=6。

建立适当的坐标系，求曲线C的方程。

22．（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。

污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。

设箱体的长度为a米，高度为b米。

已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。

现有制箱材料60平方米。

问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。

23．（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2

，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C。

（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。

24．（本小题满分12分）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。

（Ⅰ）写出曲线C1的方程；

（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（t/2,s/2）对称；

（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t3/4-t且t≠0。

25．（本小题满分12分）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145。

（Ⅰ）求数列{bn}的能项bn；

（Ⅱ）设数列{an}的通项an=loga（1+1/bn）（其中a>0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项的和。

试比较Sn与1/3logabn+1的大小，并证明你的结论。

1998年全国普通高等学校招生统一考试（文史卷）

数学参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案DBCABBCDAB

题号1112131415     

答案BABCD     

二、填空题

（16）16/3

（17）-5120

（18）AC⊥BD

（19）①，③

三、解答题：

（20）解：

将原不等式化为（a2-b2）x-b2≥

（a-b）2x2+2（a-b）bx+b2，……4分

移项，整理后得（a-b）2（x2-x）≤0，

∵a≠b即（a-b）2>0，∴x2-x≤0，……7分

即x（x-1）≤0。

解此不等式，

得解集{x|0≤x≤1}。

……10分

（21）解：

由正弦定理和已知条件a+c=2b得

sinA+sinC=2sinB。

……2分由和差化积公式

得2（sin（A+C）/）2（cos（A-C）/2）=2sinB。

由A+B+C=π，

得sin（A+C）/2=cosB/2，又A-C=π/3，得

/2cosB/2=sinB，

∴（

/2）cosB/2=2（sinB/2）（cosB/2）。

……6分

∵0

/4，

从而cosB/2=

=

/4……9分

∴sinB=

/2×

/4=

/8……11分

（22）

解法一：

如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的

垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。

依题意

知：

曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点。

设曲线段C的方程为y2=2px（p>0）,（xA≤x≤xB,y>0），其中xA,xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|。

所以M（-p/2,0）,N（p/2,0）。

……4分

由|AM|=

，|AN|=3得

（xA+p/2）2+2pxA=17，①

（xA-p/2）2+2pxA=9。

②……6分

由①，②两式联立得xA=4/p，再将其代

入①式并由p>0解得p=4,xA=1；

或p=2,xA=2。

因为△AMN是锐角三角形，

所以p/2>xA，故舍去p=2,xA=2。

∴p=4,xA=1。

由点B在曲线段C上，

得xB=|BN|-p/2=4。

综上得曲线段C的方程式为y2=8x（1≤x≤4,y>0）。

……12分

解法二：

如图建立坐标系，分别以l1、l2

为x、y轴，M为坐标原点。

作AE⊥l1，

AD⊥l2，EF⊥l2，垂足分别为E、D、F。

……2分

设A（xA,yA）、B（xB,yB）、N（xN,0）。

依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，

yA=|DM|=2

，由于△AMN为锐角

三角形，故有xN=|AE|+|EN|=4。

xB=|BF|=|BN|=6。

……7分

设点P（x,y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合{（x,y）|（x-xN）2=x2,xA≤x≤xB,y>0}。

……10分

故曲线段C的方程

y2=8（x-2）（3≤x≤6,y>0）。

……12分

（23）解：

（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，

由面A1ACC1⊥面ABC，得

A1D⊥面ABC，∴∠A1AD

为A1A与面ABC所成的角。

……2分

∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，

∴∠A1AD＝45°为所求。

……4分

（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB。

∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。

……6分

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。

又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2

，∴DE＝1，AD＝A1D＝

，tgA1ED＝A1D/DE=

。

故∠A1ED＝60°为所求。

……8分

（Ⅲ）解法一：

由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。

……10分

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。

又A1E⊥AB，

知HB∥A1E，且BC∥ED，∴∠HBC＝∠A1ED＝60°。

∴CH＝BCsin60°＝

为所求。

……12分

解法二：

连结A1B。

根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h。

……10分

由V锥C－A1AB＝V锥A1－ABC得

1/2S△AA1Bh＝1/2S△ABCA1D，

即1/3×2

h=1/3×2

×

，

∴h=

为所求。

……12分

（24）解法一：

设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=k/ab，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a,b值使y值最小。

根据题设，有

4b+2ab+2a=60（a>0,b>0），……4分

得b=30-a/2+a（0

于是y=k/ab=k/30a-a2/2+

=k/-a+32-64/a+2

=k/34-（a+2+64/a+2）

≥k/34-2

=k/18，

当a+2=64/a+2时取等号，y达最小值。

……8分

这时a=6,a=-10（舍去）。

将a=6代入①式

得b=3。

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

……12分

解法二：

依题意，即所求的a,b的值使ab最大。

由题设知

4a+2ab+2a=60（a>0,b>0），……4分

即a+2b+ab=30（a>0,b>0）。

∵a+2b≥2

，

∴2

+ab≤30，当且仅当a=2b时，上式取等号。

由a>0，b>0，解得0

即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。

……10分

∴2b2=18。

解得b=3，a=6。

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

……12分

（25）

（Ⅰ）设数列{bn}的公差为d，由题意得

b1=1,10b1+10（10-1）/2d=100。

解得b1=1,d=2。

∴bn=2n-1。

……2分

（Ⅱ）由bn=2n-1，知

Sn=lg（1+1）+lg（1+1/3）+…+lg（1+1/2n-1+

=lg[（1+1）（1+1/3）×…×（1+1/2n-1）]，

1/2lgbn+1=lg

。

因此要比较Sn与1/2lgbn+1的大小，可先比较（1+1）（1+1/3）×…×（1+1/2n-1）与

的大小。

取n=1有（1+1）>

，取n=2有（1+1）（1+1/3）>

，由此推测

（1+1）（1+1/3）×…×（1+1/2n-1）>

。

①……5分

若①式成立，则由对数函数性质可断定：

Sn>1/2lgbn+1。

……7分

下面用数学归纳法证明①式。

（i）当n=1时已验证①式成立。

（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即

（1+1）（1+1/3）×…×（1+1/2k-1）>

。

……8分

那么，当n=k+1时，

（1+1）（1+1/3）…（1+1/2k-1）（1+1/2（k+1）-1）>

（1+1/2k+1）=

/2k+1（2k+2）。

∴[

/2k+1（2k+2）]2-[

]2

=4k2+8k+4k2+8k+3）/2k+1=1/2k+1>0，

∴

/2k+1（2k+2）>

。

因而（1+1）（1+1/3）…（1+1/2k-1）（1+1/2k+1）>

这就是说①式当n=k+1时也成立。

由（i），（ii）知①式对任何正整数n都成立。

由此证得：

Sn=1/2lgbn+1。

……12分