角的平分线的性质2.docx

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角的平分线的性质2

角的平分线的性质（巩固练习）

教学内容

本节课主要是对角的平分线的性质定理的应用展开讨论，让学生熟练地应用它们解决实际问题．

教学目标

1．知识与技能能应用角的平分线的性质定理解决一些实际的问题．

2．过程与方法

经历探索角的平分线性质的应用过程，领会几何分析的内涵，掌握综合法的表达思想．

3．情感、态度与价值观

激发学生的逻辑思维，在比较中获取知识，使学生感悟几何的简练思维．

重、难点与关键

1．重点：

应用角的平分线性质定理．

2．难点：

应用“综合法”进行表达．

3．关键：

通过观察、操作、分析来感悟定理的内涵，抓住问题的因果关系进行推理．

教具准备投影仪、幻灯片、直尺、圆规．

教学方法

一、回顾交流，练中反思

【概念复习】

【教学提问】同学们能否从集合的观点来说明角的平分线的性质．

【学生活动】在教师对“集合”的思想做初步讲解后，学生可以通过交流得出：

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．

【分层练习】（投影显示）

1．已知：

如图1，△ABC中，AD是角的平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足，求证：

EB=FC．

【思路点拨】只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等（△EBD≌△FCD）．

【教师活动】操作投影仪，巡视，启发引导，适时提问．

【学生活动】小组合作学习，寻求解题思路，踊跃上台演示自己的证明．

证明：

∵AD是角的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF

在△EBD和△FCD中，

∴△EBD≌△FCD（HL）

∴EB=FC

【媒体使用】投影显示“分层练习1”和学生的练习．

【教学形式】小组合作（4人小组）交流，然后全班汇报，以练促思．

2．已知：

如图2，河的南区有一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为300米，在图上标出工厂的位置，并说明理由．

【思路点拨】画图略，根据角的平分线性质，工厂应在河流与公路交角的平分线上．

【教师活动】操作投影仪，提出问题，参与学生的思考和讨论．

【学生活动】分四人小组积极地讨论，得出结论，踊跃发表自己的看法．

【媒体使用】投影显示“分层练习2”．

【教学形式】合作学习，生生互动交流．

二、操作观察，辨析理解

【操作思考】（投影显示）首先按如下步骤进行操作：

（1）在一张纸上任意画一个角（角的边不要画得太短）∠AOB．

（2）剪下所画的角．

（3）折叠所画的角，使角的两边OA与OB重合，设折痕为Ox，如图3．

（4）在折叠形成的两层纸之间放入复写纸．

（5）在Ox上取一点P，并且过点P画OA的垂线．

（6）拿出复写纸，并且把折叠的纸展开观察展开后的图形，并进行思考，上面的操作反映了哪条规律？

是课本上一节课中的那个概念吗？

【教师活动】操作投影仪，巡视，参与学生的讨论，引导启发．

【学生活动】分四人小组合作学习，从操作中感悟知识和规律，得到结论：

反映规律是：

角的平分线上的点到角的两边距离相等．

【媒体使用】投影显示“操作思考”．

【教学形式】分四人小组合作学习，动手动脑，互动交流．

三、课堂演练，系统跃进

1．已知：

如图4，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF．求证：

（1）AE=CF；（2）AB∥CD．

[提示]应用HL证Rt△ABC≌Rt△CED

2．已知：

如图5，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N，求证PM=PN．

[提示]∵∠ABD=∠CBD，AB=CB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，又PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．

四、课堂总结，发展潜能

由学生分四人小组进行学习反思，然后各小组汇报学习情况．

五、布置作业，专题突破

1．课本P51习题12．3第4、5题．

六、板书设计

把黑板分成左右两份，左边板书概念和例题，右边板书学生的练习，重复使用．

七、教后记

第十二章全等三角形复习与交流

教学内容

本节课主要进行系统的复习，让学生建构出完整的知识体系．

教学目标

1．知识与技能

理解全等三角形的性质与判定定理，以及角的平分线性质，会应用在实际的问题中．

2．过程与方法

经历探究全等三角形有关性质和判定等概念，掌握几何的分析思想，能应用“综合法”表达问题．

3．情感、态度与价值观

发展学生的逻辑思维，提高合情推理能力，体会几何学的实际应用价值．

重、难点与关键

1．重点：

应用全等三角形性质与判定定理解决实际问题．

2．难点：

分析思路的形成．

3．关键：

明确全等三角形的应用思想，养成说理有据的意识．

教具准备投影仪、幻灯片．

教学方法采用“精讲─精练”的教学方法，让学生自主构筑知识体系．

教学过程

一、回顾交流，系统跃进

【交流讨论】

教学形式：

分四人小组，回顾小结．然后，教师请三位同学谈谈他是怎么总结的．

【知识结构图】见课本，用投影显示．

教师提问：

1．举一些全等形的实例，全等三角形的对应边有什么关系？

对应角呢？

【学生活动】踊跃举手，发言：

全等三角形对应角相等，对应边相等．

【媒体使用】投影显示一些生活中的全等图形，配合学生的认知．

【教师提问】一个三角形有三条边，三个角，从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判定的？

哪些是不能够判定的？

【学生活动】小组讨论，互动交流．

形成共识：

（1）边边边；

（2）边角边；（3）角边角；（4）角角边；（5）斜边、直角边（证Rt△）等能够判定两个三角形全等．

（1）SSA，

（2）AAA，是不能够判定两个三角形全等的．

【教师提问】

1．你对角的平分线有了哪些新的认识？

你能用全等三角形证明角的平分线性质吗？

2．你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？

【学生活动】小组讨论，形成共识．

二、课堂演练，巩固学习

【演练题1】如图1，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，求∠DFB和∠DGB的度数．（85°，60°）

（1）

（2）（3）

【演练题2】如图2，点A，B，C，D在一条直线上，△ACE≌△BDF.

求证：

（1）AE∥BF；

（2）AB=CD．

[

（1）∵△ACE≌△BDF，∴∠A=∠DBF，∴AE∥BF；

（2）∵△ACE≌△BDF，∴AC=BD，∴AB=CD]

【演练题3】若△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A°，∠B=∠B′，且∠C=50°，∠B′=75°，AC=4cm；求∠A，∠B的度数及A′C′的长．（∠A=55°，∠B=75°，A′C′=4cm）

【教师活动】操作投影仪，巡视、关注学生的思维，请三位学生上台演示．

【学生活动】书面练习，与同伴交流，踊跃上台演示．

【媒体使用】投影显示“演练题”，和学生的练习（实物投影）．

【教学形式】自主、合作、交流．

【教师活动】和学生一起总结，认识，提高．

【评析】上述演练题主要是复习全等三角形性质．

【演练题4】已知如图3，AD与CB交于O，AO=OD，CO=OB，EF过O与AB、CD分别交于E、F，求证：

∠AEO=∠DFO．

【思路点拨】观察图形，分析已知条件和结论，欲证∠AEO=∠BFO，只需证AB∥DC，由已知条件易知△AOB≌△DOC，必有∠A=∠D，这样就可解得AB∥CD，从而证明∠AEO=∠DFO．

三、随堂练习，巩固深化

课本P26复习题第4、7、10题．

四、布置作业，专题突破

1．课本P55--56复习题第2，3，5，6，9，11题．

2．选用课时作业设计．

五、板书设计

把黑板分成两份，左边部分板书例题，右边部分板书学习练习题，重复使用

六、疑难解析

如图4，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=60°，求证：

CD+BE=BC．

证明：

在BC上截取BF=BE，连接IF．

∵BI=BI，∠1=∠2，BF=BE，

∴△BFI≌△BEI，∴∠5=∠6．

∵∠1=∠2．∠3=∠4，∠A=60°，

∴∠BIC=120°，∴∠5=60°．

∴∠7=∠5=60°，∠6=∠5=60°，∠8=120°-60°=60°，∴∠7=∠8．

∵∠3=∠4，CI=CI，∠7=∠8，∴△IDC≌△IFC，∴CD=CF．

∴CD+BE=CF+BF，即CD+BE=BC．

从上述例子可以归纳：

证明m=b+c时，常用两种方法，

（1）截长法，即在m上截取一段等于b（或c），证明剩下一段等于c（或b）；

（2）补短法：

延长b（或c），证明它们的和等于a，上述例子由于∠1=∠2，因此，在BC上截取BF=BE，连接HTY3IF是较为常用的方法．

七、教后记

第十三章轴对称

13.1.1轴对称

（一）

教学目标：

〔知识与技能〕

1．在生活实例中认识轴对称图．

2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．轴对称图形的概念

〔过程与方法〕

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。

〔情感、态度与价值观〕

1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。

教学重点：

．

理解轴对称的概念

教学难点

能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．

教具准备：

三角尺

教学过程

一．创设情境，引入新课

1.举实例说明对称的重要性和生活充满着对称。

2.对称给我们带来多少美的感受！

初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．

3.轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！

二．导入新课

1.观察：

几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．

强调：

对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．

练习：

从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．

2.观察：

如图12．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．你能发现它们有什么共同的特点吗？

3.如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

4.动手操作：

取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意

刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？

归纳小结：

由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：

一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．

5.练习：

你能找出它们的对称轴吗？

分小组讨论．

思考：

大家想一想，你发现了什么？

小结得出：

.像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

三．随堂练习

1、课本60练习1、2。

四．课时小结

这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．

五．课后作业

习题13.1．1、2、6题．

六．教后记

13.1.1轴对称

（二）

教学目标

〔知识与技能〕

1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．

2．探究线段垂直平分线的性质．

〔过程与方法〕

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。

〔情感、态度与价值观〕

1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识。

教学重点：

轴对称的性质，线段垂直平分线的性质

教学难点：

1．轴对称的性质．2．线段垂直平分线的性质．3.体验轴对称的特征．

教具准备：

圆规、三角尺、

教学过程

一．创设情境，引入新课

1.什么样的图形是轴对称图形呢？

2.轴对称图形有哪些性质，从图形中能得到结论？

二．导入新课

1.如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

为什么？

（学生思考并做小范围讨论）

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

2.画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．

3.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．

归纳图形轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

下面我们来探究线段垂直平分线的性质．

[探究1]如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L

上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

证法一：

利用判定两个三角形全等．

如下图，在△APC和△BPC中，

△APC≌△BPC

PA=PB.

证法二：

利用轴对称性质．

由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．

带着探究1的结论我们来看下面的问题．

[探究2]

如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？

为什么？

探究结论：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．

三．随堂练习课本P34练习

1．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？

AB+BD与DE有什么关系？

2．如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

四．课时小结：

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．

五．课后作业课本习题13．1、3、4、9题．

六．教后记

13.1.2线段的垂直平分线的性质

教学目标：

〔知识与技能〕

1．探索作出轴对称图形的对称轴的方法．掌握轴对称图形对称轴的作法．

2．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．

〔过程与方法〕

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。

〔情感、态度与价值观〕

1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识。

教学重点：

轴对称图形对称轴的作法．

教学难点：

探索轴对称图形对称轴的作法．

教具准备：

圆规、三角尺

教学过程

一．提出问题，引入新课

1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？

不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？

2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．

4.问题：

如何作出线段的垂直平分线？

二．导入新课

1.要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．

[例]如图

（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

已知：

线段AB[如图

（1）]．

求作：

线段AB的垂直平分线．

作法：

如图

（2）

（1）．分别以点A、B为圆心，以大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；

（2）．作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

2.[例]图中的五角星有几条对称轴？

作出这些对称轴．

作法：

1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．

2．作出线段AA′的垂直平分线L．

则L就是这个五角星的一条对称轴．

用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．

三．随堂练习

（一）课本35练习1、2、3

如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？

画出它们的对称轴．

答案：

与A成轴对称的是图形D（或B）．

四．课时小结

本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：

找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴．

五．课后作业

课本P36-37习题12.15、10、11、12题．

课题：

§12．2.1画轴对称图形新授课

教学目标

（一）〔知识与技能〕

1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．

2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．

（二）〔过程与方法〕

经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．

（三）〔情感、态度与价值观〕

1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．

2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．

3．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点

1．轴对称变换的定义．

2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．

教学难点

1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．

2．利用轴对称进行一些图案设计．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]上节课我们学习了轴对称变换的概念，知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图形，那么具体过程如何操作呢？

这就是我们这节课要学习的．下面同学们来仔细观察一个图案．（小黑板展示）

以虚线为对称轴画出图的另一半：

[生甲]这个图案

（1）左右两边应该完全相同，画出的整个图案的形状应该是个脸．

[生乙]图案

（2）画出另一半后应该是一座小房子．

[师]大家能把这两个图案的另一半画出来吗？

[师]我们利用方格纸来试着画一画．

……

[师]画好了吧？

我们今天就来学习作出简单平面图形经过轴对称后的图形．

Ⅱ．导入新课

[师]如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？

我们知道：

任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：

对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对应点A′，可采取如下方法：

（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；

（2）在垂线上截取BA′，使BA′=AB．

点A′就是点A关于直线L的对应点．

好，大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点，教师口述，大家来画图，要注意作图的准确性．

……

[师]画好了没有？

[生]画好了．

[师]好，现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？



[例1]如图

（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．

[师]同学们讨论一下．

……

[生甲]可以在已知图形上找一些点，然后作出这些点关于这条直线的对应点，再按图形上点的顺序连结这些点．这样就可以作出这个图形关于直线L的对称图形了．

[师]说说看，找几个什么样的点就行呢？

[生乙]△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要找A、B、C三点就可以了．

[师]好，下面大家一起动手做．

作法：

如图

（2）．

（1）过点A作直线L的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线L的对称点；

（2）类似地，作出点B、C关于直线L的对称点B′、C′；

（3）连结A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．

[师]大家做完后，我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．

归纳：

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．

[师]看来在作一个平面图形关于直线轴对称的图形，找一些特殊点是关键．下图中，要作出图形的另一半，哪些点可以作为特殊点？

并画出图形的另一半．

[师]大家作个简单讨论，共同来完成这个题．

[生]在图形

（1）上找三个点，在图形

（2）中找一个点就可以，如下图：

[师]现在我们来做练习．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P41练习1、2．

1．如图，把下列图形补成关于直线L对称的图形．

提示：

找特殊点．

答案：

图（略）

2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．

答案：

本题答案不唯一，要求学生尽可能用准确的数学语言将自己剪出的三角形的情况进行表述．

（二）阅读课本P127～P130，然后小结．

Ⅳ．课时小结

本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．在按要求作图时要注意作图的准确性．

求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P45习题12.2的1、5、8、9题．

（二）预习内容P42～P44．

Ⅵ．活动与探究

[探究1]

如图

（1）．要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？

过程：

把管道L近似地看成一条直线如图

（2），设B′是B的对称点，将问题转化为在L上找一点C使AC与CB′的和最小，由于在连结AB′的线中，线段AB′最短．因此，线结AB′与直线L的交点C的位置即为