届一轮复习北师大版 随机抽样 教案.docx

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届一轮复习北师大版随机抽样教案

第二节随机抽样

基础盘查一　简单随机抽样

（一）循纲忆知

1．理解随机抽样的必要性和重要性．

2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本（抽签法、随机数表法）．

（二）小题查验

1．判断正误

（1）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大（　　）

（2）从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样（　　）

答案：

（1）×　

（2）×

2．（2015·广东七校联考）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

解析：

由随机数表，可以看出前4个样本的个体的编号是331,572,455,068.于是，第4个样本个体的编号是068.

答案：

068

基础盘查二　系统抽样

（一）循纲忆知

了解系统抽样方法（编号、分组抽取）．

（二）小题查验

1．判断正误

（1）系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体（　　）

（2）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平（　　）

答案：

（1）√　

（2）×

2．（人教B版教材习题改编）某工厂平均每天生产某种机器零件大约10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为________．

答案：

0410

3．用系统抽样法（按等距离的规则）要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是________．

答案：

5

基础盘查三　分层抽样

（一）循纲忆知

了解分层抽样的方法（计算抽样比、分层抽取样本）．

（二）小题查验

1．判断正误

（1）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关（　　）

（2）分层抽样时，为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同（　　）

答案：

（1）×　

（2）√

2．（人教B版教材例题改编）某校高中生有900名，其中高一有400名，高二有300名，高三有200名，打算抽取容量为45的一个样本，则高三学生应抽取________人．

答案：

10

3．某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人．为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．

解析：

设样本容量为n，则

＝

，解得n＝16.

答案：

16

|（基础送分型考点——自主练透）

[必备知识]

（1）抽取方式：

逐个不放回抽取；

（2）每个个体被抽到的概率相等；

（3）常用方法：

抽签法和随机数法．

[提醒]　简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．

[题组练透]

1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有（　　）

①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；

②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；

③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．

A．0个　　　　　　　　B．1个

C．2个D．3个

解析：

选A　①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．

2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（　　）

A．分层抽样法，系统抽样法

B．分层抽样法，简单随机抽样法

C．系统抽样法，分层抽样法

D．简单随机抽样法，分层抽样法

解析：

选B　一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好．在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法．

3．（2013·江西高考）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198

3204　9234　4935　8200　3623　4869　6938　7481

A．08　　　　　　　　　　　B．07

C．02D．01

解析：

选D　从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的数字为08,02,14,07,01，…，故选出的第5个个体的编号为01.

[类题通法]

抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．

|（重点保分型考点——师生共研）

[必备知识]

系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

（1）先将总体的N个个体编号；

（2）确定分段间隔k，对编号进行分段．当

（n是样本容量）是整数时，取k＝

；

（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；

（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

[提醒]　系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当

不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．

[典题例析]

（2014·广东高考）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（　　）

A．50　　　　　　　　　　　B．40

C．25D．20

解析：

由

＝25，可得分段的间隔为25.故选C.

答案：

C

[类题通法]

解决系统抽样问题的两个关键步骤

（1）分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．

（2）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．

[演练冲关]

已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．

5

6

7

8

9

2

0　3

1

（1）若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为_________________________；

（2）分别统计这5名职工的体重（单位：

千克），获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．

解析：

（1）由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.

（2）由茎叶图知5名职工体重的平均数

＝

＝69，

则该样本的方差s2＝

×[（59－69）2＋（62－69）2＋（70－69）2＋（73－69）2＋（81－69）2]＝62.

答案：

（1）2,10,18,26,34

（2）62

|（常考常新型考点——多角探明）

[必备知识]

（1）定义：

在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

（2）分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

[提醒]　分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即

.

[多角探明]

分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向．这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误.

常见的命题角度有：

（1）与频率分布相结合问题；

（2）与概率相结合问题.

角度一：

与频率分布相结合问题

1．（2014·广东高考）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（　　）

A．100,10　　　　　　　　　B．200,10

C．100,20D．200,20

解析：

选D　易知（3500＋4500＋2000）×2%＝200，即样本容量；抽取的高中生人数为2000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.

角度二：

与概率相结合问题

2．（2015·广东六校联考）某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2014年自主招生的学生人数如下表所示：

中学

A

B

C

D

人数

30

40

20

10

为了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生中随机抽取50名参加问卷调查．

（1）从A，B，C，D四所中学中各抽取多少名学生？

（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生来自同一所中学的概率；

（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生中随机抽取2名学生，用X表示抽得A中学的学生人数，求X的分布列．

解：

（1）由题意知，四所中学报名参加该高校2014年自主招生的学生总人数为100，则抽样比为

＝

.

∵30×

＝15,40×

＝20,20×

＝10,10×

＝5，

∴应从A，B，C，D四所中学中抽取的学生人数分别为15,20,10,5.

（2）设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学”为事件M，

∵从50名学生中随机抽取2名学生的取法共有C

＝1225种，来自同一所中学的取法共有C

＋C

＋C

＋C

＝350（种），

∴P（M）＝

＝

.

即从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学的概率为

.

（3）由

（1）知，来自A，C两所中学的学生人数分别为15,10.

依题意得，X的所有可能取值为0,1,2，

∵P（X＝0）＝

＝

，P（X＝1）＝

＝

，

P（X＝2）＝

＝

，∴X的分布列为

X

0

1

2

P

[类题通法]

进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：

（1）

＝

；

（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．

一、选择题

1．（2014·湖南高考）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1、p2、p3，则（　　）

A．p1＝p2

C．p1＝p3

解析：

选D　根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是

，故p1＝p2＝p3，故选D.

2．某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　）

A．抽签法B．随机数法

C．系统抽样法D．分层抽样法

解析：

选D　从全体学生中抽取100名应用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．故选D.

3．（2015·东北三校联考）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝（　　）

A．54B．90

C．45D．126

解析：

选B　依题意得

×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.

4．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（　　）

A．5B．7

C．11D．13

解析：

选B　间隔数k＝

＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.

5．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，恰好抽到了4个男生、6个女生，则下列命题正确的是（　　）

A．该抽样可能是简单随机抽样

B．该抽样一定不是系统抽样

C．该抽样中女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率

D．该抽样中女生被抽到的概率小于男生被抽到的概率

解析：

选A　本题看似是一道分层抽样的题，实际上每种抽样方法都可能出现这个结果，故B不正确．根据抽样的等概率性知C，D不正确．

6．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（　　）

4954435482173793237887352096438426349164

5724550688770474476721763350258392120676

A．23B．09

C．02D．17

解析：

选C　从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.

二、填空题

7．（2014·天津高考）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．

解析：

设应从一年级本科生中抽取x名学生，

则

＝

，解得x＝60.

答案：

60

8．（2014·湖北高考）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．

解析：

分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件．

答案：

1800

9．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．

解析：

总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的抽样距为

，分层抽样的抽样比是

，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×

＝

，篮球运动员人数为12×

＝

，足球运动员人数为18×

＝

，可知n应是6的倍数，36的约数，故n＝6,12,18.当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为

，因为

必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6.

答案：

6

10．（2015·北京海淀区期末）某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．

解析：

第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.

答案：

50　1015

三、解答题

11．用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：

年级

相关人数

抽取人数

高一

99

x

高二

27

y

高三

18

2

（1）求x，y的值；

（2）若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这2人都来自高二年级的概率．

解：

（1）由题意可得

＝

＝

，所以x＝11，y＝3.

（2）记从高二年级抽取的3人为b1，b2，b3，从高三年级抽取的2人为c1，c2，则从这两个年级抽取的5人中选2人的所有等可能基本事件共有10个：

（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b1，c2），（b2，b3），（b2，c1），（b2，c2），（b3，c1），（b3，c2），（c1，c2），设所选的2人都来自高二年级为事件A，则A包含的基本事件有3个：

（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）．则P（A）＝

＝0.3，故所选的2人都来自高二年级的概率为0.3.

12．一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．

小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下：

得分（分）

40

45

50

55

60

百分率

15%

10%

25%

40%

10%

现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析．

（1）应抽取多少张选择题得60分的试卷？

（2）若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．

解：

（1）得60分的人数为40×10%＝4.

设抽取x张选择题得60分的试卷，则

＝

，

则x＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．

（2）设小张的试卷为a1，另三名得60分的同学的试卷为a2，a3，a4，所有抽取60分试卷的方法为：

（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P＝

＝

.