初中命题证明详解.docx

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初中命题证明详解

中考命题证明总复习

1、

平行线性质定理：

两条直线平行被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）；

已知：

如图所示，a//b

求证：

∠1=∠2

证明：

∵a//b

∴∠1=∠3

∵∠2=∠3，

∴∠1=∠2

已知：

如图所示，a//b3求证：

∠1+∠2=180°

证明：

∵a//b

∴∠1=∠3

∵∠2+∠3=180°

∴∠1+∠2=180°

2、

平行线判定定理：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行.

已知：

如图所示，直线a和直线b被直线l所截，其中∠1=∠2

求证：

a//b

证明：

∵∠2=∠3，∠1=∠2

∴a//b

已知：

如图所示，直线a和直线b被直线l所截，其中∠1+∠2=180°3

求证：

a//b

证明：

∵∠2+∠3=180°，∠1+∠2=180°

∴∠1=∠3

∴a//b

3、三角形的内角和定理：

三角形的内角和等于180°

已知：

三角形ABC

求证：

∠A+∠B+∠C=180°

过点A作EF∥BC，

∴∠B=∠BAE

∠C=∠CAF

又∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180°

∴∠B+∠C+∠BAC=180°

4、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

已知：

在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，

求证：

△ABC≌△DEF．

证明：

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°

而∠B=∠E，∠C=∠F，

∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，

∠A＝∠D

AB＝DE

∠B＝∠E

∴：

△ABC≌△DEF（ASA）

5、角平分线的性质定理：

角平分线上的点到两边的距离相等，反之角内部到两边的距离相等的点在角平分线上

已知：

如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F

求证：

PE=PF

证明：

∵OC是∠AOB的平分线

∴∠POE=∠POF

∵PE⊥OA，PF⊥OB，

∴∠PEO=∠PFO

又∵OP=OP

∴△POE≌△POF

∴PE=PF

故角平分线上的点到两边的距离相等

已知：

如图点p是∠AOB内的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F且PE=PF

求证：

Op是∠AOB的平分线

证明：

∵PE⊥OA，PF⊥OB，

∴∠PEO=∠PFO=90°

又∵PE=PF

∴△POE≌△POF

∴∠POE=∠POF

∴Op是∠AOB的平分线

故角内部到两边的距离相等的点在角平分线上

6、线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，反之到两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上

已知：

如图所示，当A，D不重合，AD⊥BC，DB=CD．

求证：

AB=AC，

证明：

∵AD⊥BC，DB=CD．

∴AD=AD，∠ADB=∠ADC，BD=DC，

∴△ADB≌△ADC，

∴AB=AC．

当A，D重合，

D为BC的中点，则BD=DC，

故线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

已知：

如图所示，线段BC,当A，D不重合，AB=AC

求证：

点A在线段BC的垂直平分线上

证明：

连接AB,AC,作AD⊥BC于点D

∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形

∴BD=DC

当A，D重合，

D为BC的中点，则BD=DC，

故两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上

7、等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合；

已知：

如图所示，在△ABC中，AB=AC．

求证：

∠B=∠C．

证明：

如图，过D作BC⊥AD，垂足为点D

∵AB=AC，AD=AD

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）

∴∠B=∠C．

已知：

如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线

求证：

BD=CD，AD⊥BC．

证明：

在△ABD与△ACD中，

AB＝AC

∠BAD＝∠CAD

AD＝AD

∴△ABD≌△ACD（SAS）．

∴BD=CD，∠BDA＝∠CDA=90°．

即AD⊥BC

8、等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形

已知：

如图，在ΔOAB中，∠A=∠B

求证:

OA=OB.

证明：

过O点作OC⊥AB，垂足为C.

在ΔOAC和ΔOBC中，

∠A=∠B

∠OCA=∠OCB=90°

OC=OC

∴ΔOAC≌ΔOBC

∴OA=OB

9、

等边三角形的性质定理：

等边三角形各角都等于60°

已知：

如图，在ΔOAB中，OA=OB=AB

求证:

∠A=∠B=∠O=60°

证明：

∵OB=OB

∴∠A=∠B

∵OB=AB

∴∠O=∠A

∴∠A=∠B=∠O

又∵∠A+∠B+∠O=180°

∴∠A=∠B=∠O=60°

10、

等边三角形的判定定理：

三个角相等的三角形（或有一个角是60°等腰三角形）是等边三角形；

已知：

如图，在ΔOAB中，∠A=∠B=∠O

求证:

ΔOAB是等边三角形

证明：

∵∠A=∠B

∴OA=OB

∵∠O=∠A

∴OB=AB

∴OA=OB=AB

∴ΔOAB是等边三角形

已知：

如图，在ΔOAB中，∠O=60°，OA=OB求证:

ΔOAB是等边三角形

证明：

∵OA=OB

∴∠A=∠B

∵∠O=60°

∴∠A+∠B=180°-60°=120°

∴∠A=∠B=60°

∴∠A=∠B=∠O

∴ΔOAB是等边三角形

11、直角三角形的性质定理：

直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

已知：

如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°

求证：

∠ABC+∠BAC=90°

证明：

∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=90°

∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=90°

已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

求证：

CD=

AB；

证明：

如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴AD=BD，

∴四边形AEBC是平行四边形，

∵∠ACB=90°，

∴四边形AEBC是矩形，

∴AD=BD=CD=DE，

∴CD=

AB．

12、直角三角形的判定定理：

有两个角互余的三角形是直角三角形

已知：

如图所示，在△ABC中，∠ABC+∠BAC=90°∠ACB=90°

求证：

△ABC是直角三角形

证明：

∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,∠ABC+∠BAC=90°

∴∠ACB=180°-∠ABC+∠BAC=90°

∴△ABC是直角三角形

13、直角三角形全等的判定定理：

斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等

已知:

如图,在△ABC和△A′B′C′中,AC=A′C′,AB=A′B′,∠C=∠C′=90°

求证:

△ABC≌△A′B′C′.

证明：

∵∠C=90°

∴

∵∠C′=90°

∴

∵AC=A′C′,AB=A′B′

∴BC=BC’

∴△ABC≌△A′B′C′

14、平行四边形的有关性质（定义除外）和四边形是平行四边形的条件（用定义除外）；

平行四边形的性质：

平行四边形的对角线互相平分

已知：

如图所示，四边形ABCD是平行四边形

求证：

OA=OC,OB=OD

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD,BC=DA,AB∥CD,CB∥AD

∴∠BAC=∠ACD,∠ABO=∠CDO

∴△ABO≌△CDO（AAS）

∴OA=OC,OB=OD

①两组对边分别相等的四边形是平行四边形

已知:

如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA

求证:

四边形ABCD是平行四边形

证明:

连接AC

∵AB=CD,BC=DA,AC=CA

∴△ABC≌△CDA（SSS）

∴∠1=∠2,∠3=∠4

∴AB∥CD,CB∥AD

∴四边形ABCD是平行四边形

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

已知:

如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD

求证:

四边形ABCD是平行四边形

证明:

连接AC

∵AB∥CD

∴∠1=∠2

∵AB=CD,AC=CA

∴△ABC≌△CDA（SAS）

∴BC=DA

∴四边形ABCD是平行四边形

③对角线互相平分的四边形是平行四边形的

已知:

如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO

求证:

四边形ABCD是平行四边形

证明:

∵CO=AO,BO=DO,∠1=∠2

∴△AOD≌△COB（SAS）

∴∠3=∠4

∴AD∥CB

同理,AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形的

已知:

如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D

求证:

四边形ABCD是平行四边形

证明:

∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=360°

∴2∠A+2∠B=360°

∴∠A+∠B=180°

∴AD∥BC

同理,AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形

15、

矩形、菱形、正方形的有关性质（定义除外）和四边形是矩形、菱形、正方形的条件（用定义除外）；

矩形的性质：

①矩形的四个角都是直角

已知:

如图,四边形ABCD是矩形

求证:

∠A=∠B=∠C=∠D=90°

证明:

∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形

∴∠C=∠A=90°

∠B=1800-∠A=90°

∠D=1800-∠A=90°

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°

②矩形的两条对角线相等

已知:

如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线

求证:

AC=BD

证明:

∵四边形ABCD是矩形

∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°

∵BC=CB

∴△ABC≌△DCB（SAS）

∴AC=DB

①有三个角是直角的四边形是矩形

已知:

如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°

求证:

四边形ABCD是矩形

证明:

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°

∴AD∥BC,AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形

∴四边形ABCD是矩形

②对角线相等的平行四边形是矩形

已知:

如图,在□ABCD中,对角线AC=BD

求证:

四边形ABCD是矩形

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD,AB∥CD

∵AC=DB,BC=CB

∴△ABC≌△DCB

∴∠ABC=∠DCB

∵∠ABC+∠DCB=180°

∴∠ABC=90°

∴四边形ABCD是矩形

菱形的性质：

①菱形的四条边都相等

已知:

如图,四边形ABCD是菱形

求证:

AB=BC=CD=DA

证明:

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD,AD=BC

∴AB=BC=CD=AD

②菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角

已知:

如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O

求证:

（1）.AC⊥BD;

（2）.AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC

证明:

（1）∵四边形ABCD是菱形

∴AD=CD,AO=CO

∵DO=DO

∴△AOD≌△COD（SSS）

∴∠AOD=∠COD=90°

∴AC⊥BD

（2）∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD

（3）∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC

菱形的判定：

①四条边都相等的四边形是菱形

已知:

如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA

求证:

四边形ABCD是菱形

证明:

∵AB=BC=CD=DA

∴AB=CD,BC=DA

∴四边形ABCD是平行四边形

∵AB=AD

∴四边形ABCD是菱形

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形

已知:

如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD

求证:

四边形ABCD是菱形

证明:

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO=CO

∵AC⊥BD

∴DA=DC

∴四边形ABCD是菱形

正方形的性质：

①正方形的四个角都是直角,四条边都相等

已知:

四边形ABCD是正方形

求证:

（1）∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

（2）AB=BC=CD=DA

证明:

∵四边形ABCD是正方形

∴四边形ABCD是矩形,也是菱形

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA

②正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

已知:

四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线

求证:

（1）.AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;

（2）.AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.

证明:

∵四边形ABCD是正方形

∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形

∴AO=CO,BO=DO，AC=BD;

AC⊥BD

AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC

正方形的判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形

已知:

四边形ABCD是菱形,∠A=90°

求证:

四边形ABCD是正方形

证明:

∵四边形ABCD是菱形,∠A=90°

∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=180°-∠A=90°

∴∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形

∵AB=BC

∴四边形ABCD是正方形

②对角线相等的菱形是正方形

已知:

四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD

求证:

四边形ABCD是正方形

证明:

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形

∵AC=BD

∴四边形ABCD是矩形

∵AB=BC

∴四边形ABCD是正方形

③对角线互相垂直的矩形是正方形

已知:

四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD

求证:

四边形ABCD是正方形

证明:

∵四边形ABCD是矩形

∴∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形

∵AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形

∵∠ABC=90°

∴四边形ABCD是正方形

16、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半

已知：

D、E分别是△ABC的两边AB,AC的中点

求证：

DE∥BC，DE=

BC

证明：

延长DE到F，使EF=DE，连接CF．

∵AE=CE，∠AED=∠CEF，

∴△ADE≌△CEF．

∴AD=CF，∠ADE=∠CFE．

∴AD∥CF．

∵AD=BD，

∴BD=CF．

∴四边形BCFD是平行四边形．

∴DE∥BC，DE=

BC

17、垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.

已知：

如图，CD是圆0的直径，CD⊥AB

求证：

AM=BM,

证明：

连接OA,OB,则OA=OB

在Rt△OAM和Rt△OBM中,

∵OA=OB，OM=OM

∴Rt△OAM≌Rt△OBM.

∴AM=BM.

∴点A和点B关于CD对称.

∵⊙O关于直径CD对称,

∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,

∴

18、圆周角定理及其推论：

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；

已知：

如图，∠ABC是圆O的圆周角，∠AOC是圆O的圆心角

求证：

∠ABC=

∠AOC

证明：

分以下情况分析

第一种情况：

当∠ABC的一边BC经过圆心O时

∵∠AOC是△ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO

∴∠AOC=2∠ABO

∴∠ABC=

∠AOC

第二种情况：

①∠ABC的两边都不经过圆心O时，如右图所示

∵∠1是△ABO的外角

∴∠1=∠2+∠3

∵OA=OB

∴∠2=∠3

∴∠1=2∠2

∴∠2=

∠1

同理,∠4=

∠5

∴∠2+∠4=

（∠1+∠5）

∴∠ABC=

∠AOC

②∠ABC的两边都不经过圆心O时，如右图所示

连接BO并延长，与相交于点D

∵∠AOD是△ABO的外角

∴∠ABD=∠A+∠ABO

∵OA=OB

∴∠A=∠ABO

∴∠AOD=2∠ABD

∴∠ABD=

∠AOD

同理,∠CBD=

∠COD

∴∠ABD－∠CBD=

∠AOD－

∠COD

=

（∠AOD－∠COD）

∴∠ABC=

∠AOC

19、直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

已知：

如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点

求证：

∠ACB=90°

证明：

如图，AB是圆O的直径，C是圆上一点

连接OC，那么OC=OA=OB

所以，

因为

所以，

由此可得，2（

所以，

即直径所对的圆周角是直角

反之，三角形ABC是圆O的内接三角形。

设点O是斜边AB上的中点。

连接OC

因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

所以，OC=OA=OB

点O到圆上三点的距离相等，三个点确定一个圆，

所以，O是圆心，所以AB是圆O的直径

即90度圆周角所对的弦是直径