中考数学解法探究专题 图形运动中的函数关系问题.docx

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中考数学解法探究专题图形运动中的函数关系问题

中考数学解法探究专题图形运动中的函数关系问题

考题研究：

在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等.这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.

解题攻略：

图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．

产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．

由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．

类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为（3,4），点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．

类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．

由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．

一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．

一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．

关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．

解题思路：

图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．

计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．

前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．

一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．

例题解析

1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．

（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；

（2）当t为何值时，线段EN与⊙M相切？

（3）若⊙M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围．

【考点】MR：

圆的综合题．

【分析】

（1）连接MF．只要证明MF∥AD，可得=，即=，解方程即可；

（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，可得=，即=，解方程即可；

（3）由题意可知：

当0＜t≤时，⊙M与线段EN只有一个公共点；

【解答】解：

（1）连接MF．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8，

在Rt△AOB中，AB==10，

∵MB=MF，AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=∠MFB，

∴MF∥AD，

∴=，

∴=，

∴BF=t（0＜t≤8）．

（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，

∴=，

∴=，

∴t=．

∴t=s时，线段EN与⊙M相切．

（3）由题意可知：

当0＜t≤时，⊙M与线段EN只有一个公共点．

2．如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6cm，BC=8cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k•AP（k＞0），联接PC、PQ．

（1）求⊙O的半径长；

（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB=∠CPQ，求k的值．

【考点】MR：

圆的综合题．

【分析】

（1）首先证明∠ACB=90°，然后利用勾股定理即可解决问题．

（2）如图2中，作PH⊥BC于H．由PH∥AC，推出=，推出=，推出PH=（10﹣x），根据y=•CQ•PH计算即可．

（3）因为△CPQ与△ABC相似，∠CPQ=∠ACB=90°，又因为∠CQP＞∠B，所以只有∠PCB=∠B，推出PC=PB，由∠B+∠A=90°，∠ACP+∠PCB=90°，推出∠A=∠ACP，推出PA=PC=PB=5，由△COQ∽△BCA，推出=，推出=，即可解决问题．

【解答】解：

（1）∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，∵AC=6，BC=8，

∴AB===10，

∴⊙O的半径为5．

（2）如图2中，作PH⊥BC于H．

∵PH∥AC，

∴=，

∴=，

∴PH=（10﹣x），

∴y=•CQ•PH=•（8﹣2x）•（10﹣x）=x2﹣x+24（0＜x＜4）．

（3）如图2中，

∵△CPQ与△ABC相似，∠CPQ=∠ACB=90°，

又∵∠CQP＞∠B，

∴只有∠PCB=∠B，

∴PC=PB，

∵∠B+∠A=90°，∠ACP+∠PCB=90°，

∴∠A=∠ACP，

∴PA=PC=PB=5，

∴△COQ∽△BCA，

∴=，

∴=，

∴k=．

3．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点Q从点A出发，沿着AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着对角线BD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为圆心，PB长为半径的⊙P与BD、AB的另一个交点分别为E、F，连结EF、QE．

（1）填空：

FB=　t　（用t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，点Q与点F相遇？

（3）当线段QE与⊙P有两个公共点时，求t的取值范围．

【考点】MR：

圆的综合题．

【分析】

（1）只要证明EF∥AD，可得=，即=，可得BF=t．

（2）当点Q与点F相遇时，AQ+BF=AB，可得t+t=6，解方程即可．

（3）求出直线QE与⊙P相切时的时间t，观察图象即可解决问题．

【解答】解：

（1）∵BE是⊙P的直径，四边形ABCD是矩形，

∴∠EFB=∠A=90°

在Rt△ABC中，∵AD=8，AB=6，

∴BD==10，

∵EF∥AD，

∴=，

∴=，

∴BF=t．

给答案为t．

（2）当点Q与点F相遇时，AQ+BF=AB，

∴t+t=6，

∴t=s，

∴当t=s时，点Q与点F相遇．

（3）当直线QE与⊙P相切时，

∵∠BEQ=∠A=90°，∠QBE=∠ABD，

∴△QBE∽△DBA，

∴=，

∴=，

∴t=s，

∵线段QE与⊙P有两个公共点，

∴t的取值范围：

＜t≤．

4．已知：

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t（s）．

（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；

（2）当t=2s时，求tan∠QPA的值；

（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；

（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

【考点】HF：

二次函数综合题．

【分析】

（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）当t=2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；

（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；

（4）当点Q在线段OA上时，S=S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．

【解答】解：

（1）当t=1s时，则CP=2，

∵OC=3，四边形OABC是矩形，

∴P（2，3），且A（4，0），

∵抛物线过原点O，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，

∴，解得，

∴过O、P、A三点的抛物线的解析式为y=﹣x2+3x；

（2）当t=2s时，则CP=2×2=4=BC，即点P与点B重合，OQ=2，如图1，

∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，

∴tan∠QPA==；

（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，

则CP=2t，OQ=t，

∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，

∵PC∥OA，

∴△PBM∽△QAM，

∴=，且BM=2AM，

∴=2，解得t=3，

∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；

（4）当0≤t≤2时，如图3，

由题意可知CP=2t，

∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；

当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，

由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，

同（3）可得==，

∴BM=•AM，

∴3﹣AM=•AM，解得AM=，

∴S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；

当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，

由题意可知OQ=t，AQ=t﹣4，

∵AB∥OC，

∴=，即=，解得AM=，

∴BM=3﹣=，

∴S=S△BCM=×4×=；

综上可知S=．

5．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；

（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

【考点】HF：

二次函数综合题．

【分析】

（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；

（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；

（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．

【解答】解：

（1）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+6，

∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，

∴抛物线的顶点坐标为（2，8）；

（2）如图1，过P作PC⊥y轴于点C，

∵OA=OB=6，

∴∠