文科立体几何证明题型.docx

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文科立体几何证明题型

文科立体几何证明

线面、面面平行

1.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

①证明MN∥平面PAB；

②求四面体NBCM的体积．

2．如图，四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝

AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

（1）求证：

AP∥平面BEF；

（2）求证：

GH∥平面PAD.

3.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

①B，C，H，G四点共面；

②平面EFA1∥平面BCHG.

4．在本例（3）条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：

（1）平面A1BD1∥平面AC1D.

（2）若点N∈AD，求证：

C1N始终平行面A1BD1.

5如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD.

（1）证明：

平面AB1C∥平面DA1C1；

（2）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？

若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

6．如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

（1）求证：

BE＝DE；

（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：

DM∥平面BEC.

（3）在

（2）的条件下，在线段AD上是否存在一点N，使得BN∥面DEC，并说明理由．

7.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（1）已知AB＝BC，AE＝EC.求证：

AC⊥FB；

（2）已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：

GH∥平面ABC.

8.四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

（1）求四面体ABCD的体积；

（2）证明：

四边形EFGH是矩形．

线线、线面、面面垂直

1，如图，三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝

，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.

①证明：

AB⊥平面PFE；

②若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长．

2．如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

①求证：

DC⊥平面PAC；

②求证：

平面PAB⊥平面PAC；

③设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？

说明理由．

3.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD＝4，BD＝4

，AB＝2CD＝8.

（1）设M是PC上的一点，证明：

平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥PABCD的体积．

4.

（1）如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，D是棱AA1上的任一点，M，N分别为AB，BC1的中点．

①求证：

MN∥平面DCC1；

②试确定点D的位置，使得DC1⊥平面DBC.

5.如图，已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

①证明：

MN∥平面AA′C′C；

②设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．

6．如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．

（1）求证：

CD⊥平面SAD；

（2）若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？

并证明你的结论．

7.已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝2

，BD⊥A1A，∠BAD＝∠A1AC＝60°，点M是棱AA1的中点．

（1）求证：

A1C∥平面BMD；

（2）求点C1到平面BDD1B1的距离．

8.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.

（1）证明：

平面AEC⊥平面BED；

（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为

，求该三棱锥的侧面积．

9.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.

（1）证明：

B1C⊥AB；

（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABCA1B1C1的高．

10.如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．

（1）证明：

平面AEF⊥平面B1BCC1；

（2）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．

11.．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．

（1）求证：

AD⊥平面PBE；

（2）若Q是PC的中点，求证：

PA∥平面BDQ；

（3）若VPBCDE＝2VQABCD，试求

的值．

12．如图，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝4，AE＝2，EF＝1.

（1）求证：

BC⊥AF；

（2）若点M在线段AC上，且满足CM＝

CA，求证：

EM∥平面FBC；

（3）试判断直线AF与平面EBC是否垂直？

若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．