事件的相互独立性.docx
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事件的相互独立性
2．2.2 事件的相互独立性
[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一 相互独立事件的概念
设A，B为两个事件，若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．
思考1 不可能事件与任何一个事件相互独立吗？
答案 相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．
思考2 必然事件与任何一个事件相互独立吗？
答案 相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．
知识点二 相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
思考 如果事件A与事件B相互独立，则P（B|A）＝P（B）正确吗？
答案 正确．如果事件A与事件B相互独立，则P（B|A）＝P（B）．
题型一 相互独立事件的判断
例1 从一副扑克牌（去掉大、小王）中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？
是否互斥？
是否对立？
为什么？
（1）A与B；
（2）C与A.
解
（1）由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．
以下考虑它们是否为相互独立事件：
抽到K的概率为P（A）＝＝，
抽到红牌的概率为P（B）＝＝，
故P（A）P（B）＝×＝，
事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P（AB）＝＝，从而有P（A）P（B）＝P（AB），因此A与B是相互独立事件．
（2）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任取一张，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥，由于P（A）＝≠0，P（C）＝≠0，而P（AC）＝0，所以A与C不是相互独立事件，又抽不到K不一定抽到J，故A与C并非对立事件．
反思与感悟 对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
跟踪训练1
（1）甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：
“甲击中目标”，事件B：
“乙击中目标”，则事件A与事件B（ ）
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
（2）掷一枚正方体骰子一次，设事件A：
“出现偶数点”，事件B：
“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是（ ）
A．互斥但不相互独立
B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立
D．既不相互独立也不互斥
答案
（1）A
（2）B
解析
（1）对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
（2）事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．
所以P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝＝×，即P（AB）＝P（A）P（B），因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．
题型二 相互独立事件同时发生的概率
例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）2人都射中目标的概率；
（2）2人中恰有1人射中目标的概率；
（3）2人至少有1人射中目标的概率；
（4）2人至多有1人射中目标的概率．
解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件．
（1）2人都射中目标的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.8×0.9＝0.72.
（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：
一种是甲射中、乙未射中（事件A发生），另一种是甲未射中、乙射中（事件B发生）．根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为
P（A）＋P（B）＝P（A）·P（）＋P（）·P（B）
＝0.8×（1－0.9）＋（1－0.8）×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
（3）“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P＝P（AB）＋[P（A）＋P（B）]＝0.72＋0.26＝0.98.
（4）“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
故所求概率为P＝P（）＋P（A）＋P（B）
＝P（）·P（）＋P（A）·P（）＋P（）·P（B）＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
反思与感悟 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则与B，A与，与也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．
跟踪训练2 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
解 甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝.
（1）租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p1＝×＝，租车费都为2元的概率为p2＝×＝，租车费都为4元的概率为p3＝×＝.
所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝.
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元，0元，所以可得P（ξ＝4）＝×＋×＋×＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.
题型三 相互独立事件概率的综合应用
例3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
（3）用X表示甲、乙、丙三人计算机考试获合格证书的人数，求X的分布列．
解
（1）记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P（A）＝×＝，
P（B）＝×＝，
P（C）＝×＝.
因为P（C）>P（B）>P（A），所以丙获得合格证书的可能性大．
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
P（D）＝P（AB）＋P（AC）＋P（BC）
＝××＋××＋××＝.
（3）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P（X＝0）＝××＝，
P（X＝2）＝P（D）＝，
P（X＝3）＝××＝，
P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）－P（X＝3）
＝1－－－＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
反思与感悟 求较复杂事件概率的一般步骤如下：
（1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；
（2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
跟踪训练3 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（1）求学生小张选修甲的概率；
（2）记“函数f（x）＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（3）求ξ的分布列．
解
（1）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，
则
解得
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
（2）若函数f（x）＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.
当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，
所以P（A）＝P（ξ＝0）＝xyz＋（1－x）（1－y）（1－z）＝0.4×0.6×0.5＋（1－0.4）（1－0.6）（1－0.5）＝0.24，即事件A的概率为0.24.
（3）根据题意，知ξ可能的取值为0,2，P（ξ＝0）＝0.24.根据分布列的性质，知P（ξ＝2）＝1－P（ξ＝0）＝0.76.
所以ξ的分布列为
ξ
0
2
P
0.24
0.76
1．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ）
A．p1p2B．p1（1－p2）＋p2（1－p1）
C．1－p1p2D．1－（1－p1）（1－p2）
答案 B
解析 恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1（1－p2）＋p2（1－p1）．故选B.
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 A
解析 设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，根据题意知，P（A）＝＝，P（B）＝，且A与B相互独立．故他们都命中目标的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝×＝.
3．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是（ ）
A.B.C.D．1
答案 C
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．
根据题意，知事件A和B相互独立，
且P（A）＝，P（B）＝.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，
则C＝A∪B，且A和B互斥．
故P（C）＝P（A∪B）
＝P（A）＋P（B）
＝P（A）P（）＋P（）P（B）
＝×＋×＝.
4．两个相互独立的事件A和B，若P（A）＝，P（B）＝，则P（AB）＝________.
答案
解析 ∵A，B是相互独立事件，且P（A）＝，P（B）＝，
∴P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝.
5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
答案
解析 加工出来的零件的正品率是××（1－）＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．（列表比较）
互斥事件
相互独立事件
定义
不可能同时发生的两个事件
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响
概率公式
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
P（AB）＝P（A）P（B）
一、选择题
1．设A与B是相互独立事件，则下列命题中正确的是（ ）
A．A与B是对立事件
B．A与B是互斥事件
C．A与是不相互独立
D．A与是相互独立事件
答案 D
解析 ∵A与B是相互独立事件，
∴P（AB）＝P（A）P（B），
∴P（A）＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）·[1－P（B）]＝P（A）P（），
∴事件A与是相互独立事件．故选D.
2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童，则这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 两项至少有一项合格的概率是1－×＝.
3．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则两人合作译出密码的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 设甲独立破译密码的事件为A，乙独立破译密码的事件为B，则P（A）＝，P（B）＝，所以P（）＝，P（）＝，所以甲、乙两人合作译出密码的概率为1－P（）P（）＝1－×＝.
4．已知A，B是相互独立事件，若P（A）＝0.2，P（AB＋B＋A）＝0.44，则P（B）等于（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
答案 A
解析 ∵A，B是相互独立事件，
∴，B和A，均相互独立．
∵P（A）＝0.2，P（AB＋B＋A）＝0.44，
∴P（A）P（B）＋P（）P（B）＋P（A）P（）＝0.44，
∴0.2P（B）＋0.8P（B）＋0.2[1－P（B）]＝0.44，
解得P（B）＝0.3.
5.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，x，y构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率
P＝P（x＝1，y＝4）＋P（x＝2，y＝2）＋P（x＝4，y＝1）
＝×＋×＋×＝.
6.一射手对同一目标射击3次，已知该射手每次击中目标的概率为0.9，则这位射手至少2次击中目标的概率为（ ）
A.0.243B.0.729
C.0.81D.0.972
答案 D
解析 这位射手至少2次击中目标的概率为C×0.92×（1－0.9）＋C0.93＝0.972.
7．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）是（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 由题意，P（）·P（）＝，
P（）·P（B）＝P（A）·P（）．
设P（A）＝x，P（B）＝y，
则即
∴x2－2x＋1＝，
∴x－1＝－，或x－1＝（舍去），∴x＝.
二、填空题
8．某市派出甲、乙两支球队参加全省青年组、少年组足球赛，两队夺冠的概率分别为和，则该市足球队取得冠军的概率为________．
答案
解析 该市足球队取得冠军是指甲、乙两支球队中至少有一个取得冠军，其概率为1－×＝.
9．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：
第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
答案 0.09
解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝（1－0.4）×0.5×（1－0.4）×0.5＝0.09.
10．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
答案
解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A、B、C，则A、B、C相互独立且P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为：
1－P（）＝1－P（）·P（）·P（）＝1－××＝1－＝.
11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①P（B）＝；
②P（B|A1）＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
答案 ②④
解析 ①P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋P（A3B）＝×＋×＋×＝，①不正确，⑤不正确；②P（B|A1）＝＝，正确；③事件B与事件A1有关系，故不正确；④A1，A2，A3不可能同时发生，是两两互斥的事件，故正确．
三、解答题
12．某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为，，，他们考核所得的等级相互独立．
（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
解
（1）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A，B，C是相互独立事件，事件与事件E是对立事件，于是
P（E）＝1－P（）＝1－××＝.
（2）ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P（ξ＝30）＝P（）＝××＝，
P（ξ＝40）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝××＋××＋××＝.
P（ξ＝50）＝P（AB）＋P（AC）＋P（BC）＝××＋××＋××＝，
P（ξ＝60）＝P（ABC）＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ
30
40
50
60
P
13.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：
62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：
73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C表示“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两个地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
解
（1）两个地区用户的满意度评分的茎叶图如图．
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
（2）记CA1表示事件“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，CA2表示事件“A地区用户的满意度等级为非常满意”，CB1表示事件“B地区用户的满意度等级为不满意”，CB2表示事件“B地区用户的满意度等级为满意”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.
P（C）＝P（CB1CA1∪CB2CA2）＝P（CB1CA1）＋P（CB2CA2）＝P（CB1）P（CA1）＋P（CB2）P（CA2）．
由所给数据，得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P（CA1）＝，P（CA2）＝，P（CB1）＝，P（CB2）＝，P（C）＝×＋×＝0.48.
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