甘肃省天水市中考数学试题解析版.docx
《甘肃省天水市中考数学试题解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《甘肃省天水市中考数学试题解析版.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
甘肃省天水市中考数学试题解析版
2014甘肃省天水市中考数学试卷
一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）（2014•天水）2014年天水市初中毕业生约47230人．将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．
4.723×103
B．
4.723×104
C．
4.723×105
D．
0.4723×105
考点：
科学记数法—表示较大的数．
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：
将47230用科学记数法表示为：
4.723×104．
故选B．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（4分）（2014•天水）要使式子
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．
x≥1
B．
x＜1
C．
x≤1
D．
x≠1
考点：
二次根式有意义的条件．
分析：
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答：
解：
由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选A．
点评：
本题考查的知识点为：
二次根式的被开方数是非负数．
3．（4分）（2014•天水）如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
由三视图判断几何体．
分析：
根据三视图想象立体图形，从主视图可以看出左边的一列有两个，左视图可以看出左边的一列后面一行有两个，俯视图中右边的一列有两排，综合起来可得解．
解答：
解：
从主视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一个；
从左视图可以看出左边的一列后面一行有两个，右边的一列只有一个；
从俯视图可以看出右边的一列有两排，右边的两列只有一排（第二排）．
故选A．
点评：
本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
4．（4分）（2014•天水）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．
y＝（x－1）2＋2
B．
y＝（x＋1）2＋2
C．
y＝（x－1）2－2
D．
y＝（x＋1）2－2
考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
解答：
解：
原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y＝（x－h）2＋k，代入得y＝（x－1）2＋2．
故选A．
点评：
此题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
5．（4分）（2014•天水）在数据1、3、5、5、7中，中位数是（ ）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
7
考点：
中位数．
分析：
根据中位数的概念求解．
解答：
解：
这组数据按照从小到大的顺序排列为：
1、3、5、5、7，则中位数为：
5．故选C．
点评：
本题考查了中位数的概念，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（4分）（2014•天水）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
平行四边形的判定．
专题：
数形结合．
分析：
根据平面的性质和平行四边形的判定求解．
解答：
解：
由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．
故选C．
点评：
解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系．注意图形结合的解题思想．
7．（4分）（2014•天水）已知函数y＝
的图象如图，以下结论：
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A（－1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＜b；
④若点P（x，y）在图象上，则点P1（－x，－y）也在图象上．
其中正确的个数是（ ）
A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
考点：
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：
利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征对每个小题逐一判断后即可确定正确的选项．
解答：
解：
①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，可得m＜0，故正确；
②在每个分支上y随x的增大而增大，正确；
③若点A（－1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＜b，错误；
④若点P（x，y）在图象上，则点P1（－x，－y）也在图象上，错误，
故选B．
点评：
本题考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握其性质，难度不大．
8．（4分）（2014•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和BC′F的周长之和为（ ）
A．
3
B．
4
C．
6
D．
8
考点：
翻折变换（折叠问题）．
分析：
由折叠特性可得CD＝BC′＝AB，∠FC′B＝∠EAB＝90°，∠EBC′＝∠ABC＝90°，推出∠ABE＝∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根据△ABE和△BC′F的周长＝2△ABE的周长求解．
解答：
解：
将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，
由折叠特性可得，CD＝BC′＝AB，∠FC′B＝∠EAB＝90°，∠EBC′＝∠ABC＝90°，
∵∠ABE＋∠EBF＝∠C′BF＋∠EBF＝90°∴∠ABE＝∠C′BF
在△BAE和△BC′F中，
∴△BAE≌△BC′F（ASA），
∵△ABE的周长＝AB＋AE＋EB＝AB＋AE＋ED＝AB＋AD＝1＋2＝3，
△ABE和△BC′F的周长＝2△ABE的周长＝2×3＝6．故选：
C．
点评：
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等．
9．（4分）（2014•天水）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿
线段B0、0A匀速运动到点A，则0P的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
动点问题的函数图象．
分析：
分点P在弧AB上，在线段BO上，线段OA上三种情况讨论得到OP的长度的变化情况，即可得解．
解答：
解：
点P在弧AB上时，OP的长度y等于半径的长度，不变；
点P在BO上时，OP的长度y从半径的长度逐渐减小至0；
点P在OA上时，OP的长度从0逐渐增大至半径的长度．
纵观各选项，只有D选项图象符合．故选D．
点评：
本题考查了动点问题的函数图象，根据点P的位置分点P在弧上与两条半径上三段讨论是解题的关键．
10．（4分）（2014•天水）如图，是某公园的一角，∠AOB＝90°，
的半径OA长是6米，点C是OA的中点，点D在
上，CD∥OB，则图中草坪区（阴影部分）的面积是（ ）
A．
（3π＋
）米
B．
（
π＋
）米
C．
（3π＋9
）米
D．
（
π－9
）米
考点：
扇形面积的计算．
分析：
连接OD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠CDO＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠COD＝60°，根据两直线平行，内错角相等可得∠BOD＝∠CDO，然后根据S阴影＝S△COD＋S扇形OBD列式计算即可得解．
解答：
解：
如图，连接OD，∵∠AOB＝90°，CD∥OB，∴∠OCD＝180°－∠AOB＝180°－90°＝90°，
∵点C是OA的中点，∴OC＝
OA＝
OD＝
×6＝3米，∴∠CDO＝30°，∴∠COD＝90°－30°＝60°，
∴CD＝
OC＝3
，
∵CD∥OB，∴∠BOD＝∠CDO＝30°，
∴S阴影＝S△COD＋S扇形OBD，＝
×3×3
＋
，＝
＋3π．故选A．
点评：
本题考查了扇形的面积计算，主要利用了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，作辅助线，把阴影部分分成直角三角形和扇形两个部分是解题的关键．
二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果）
11．（4分）（2014•天水）写出一个图象经过点（－1，2）的一次函数的解析式 答案不唯一，如：
y＝x＋3等 ．
考点：
一次函数图象上点的坐标特征．
专题：
开放型．
分析：
由图象经过（－1，2）点可得出k与b的关系式b－k＝2，即可任意写出一个满足这个关系的一次函数解析式．
解答：
解：
设函数的解析式为y＝kx＋b，将（－1，2）代入得b－k＝2，所以可得y＝x＋3．
点评：
解答本题关键是确定k与b的关系式．
12．（4分）（2014•天水）若关于x的方程
－1＝0有增根，则a的值为 －1 ．
考点：
分式方程的增根．
分析：
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x－1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．
解答：
解：
方程两边都乘（x－1），得ax＋1－（x－1）＝0，
∵原方程有增根∴最简公分母x－1＝0，即增根为x＝1，把x＝1代入整式方程，得a＝－1．
点评：
增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．（4分）（2014•天水）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 20% ．
考点：
一元二次方程的应用．
专题：
增长率问题．
分析：
解答此题利用的数量关系是：
商品原来价格×（1－每次降价的百分率）2＝现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
解答：
解：
设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，125（1－x）2＝80，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－1.8（不合题意，舍去）；故答案为：
20%
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：
商品原来价格×（1－每次降价的百分率）2＝现在价格．
14．（4分）（2014•天水）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA＝
．
考点：
锐角三角函数的定义；勾股定理．
专题：
网格型．
分析：
根据勾股定理，可得AC的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．
解答：
解：
如图
，
由勾股定理得AC＝2
，AD＝4，cosA＝
，故答案为：
．
点评：
本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边．
15．（4分）（2014•天水）如图，PA，PB分别切⊙O于点A、B，点C在⊙O上，且∠ACB＝50°，则∠P＝ 80° ．
考点：
切线的性质．
分析：
根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质求出∠OAP＝∠OBP＝90°，根据多边形的内角和定理求出即可．
解答：
解：
连接OA、OB，
∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，点C在⊙O上，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°－90°－100°－90°＝80°，故答案为：
80°．
点评：
本题考查了圆周角定理和切线的性质的应用，注意：
圆的切线垂直于过切点的半径．
16．（4分）（2014•天水）天水市某校从三名男生和两名女生中选出两名同学做为“伏羲文化节”的志愿者，则选出一男一女的概率为
．
考点：
列表法与树状图法．
分析：
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：
解：
画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，∴选出一男一女的概率为：
＝
．
故答案为：
．
点评：
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（4分）（2014•天水）如图，点A是反比例函数y＝
的图象上－点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y＝
的图象于点C，则△OAC的面积为 2 ．
考点：
反比例函数系数k的几何意义．
分析：
由于AB⊥x轴，根据反比例函数k的几何意义得到S△AOB＝3，S△COB＝1，然后利用S△ACB＝S△AOB－S△COB进行计算．
解答：
解：
∵AB⊥x轴，∴S△AOB＝
×|6|＝3，S△COB＝
×|2|＝1，∴S△ACB＝S△AOB－S△COB＝2．故答案为2．
点评：
本题考查了反比例函数y＝
（k≠0）系数k的几何意义：
从反比例函数y＝
（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
18．（4分）（2014•天水）如图，一段抛物线y＝－x（x－1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（ （10.5，－0.25） ）．
考点：
二次函数图象与几何变换．
专题：
规律型．
分析：
根据旋转的性质，可得图形的大小形状没变，可得答案．
解答：
解：
y＝－x（x－1）（0≤x≤1），OA1＝A1A2＝1，P2P4＝P1P3＝2，P2（2.5，－0.25）
P10的横坐标是2.5＋2×[（10－2）÷2]＝10.5，p10的纵坐标是－0.25，故答案为（10.5，－0.25）．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换，注意旋转前后的图形大小与形状都没发生变化是解题关键．
三、解答题（本题3个小题，共28分.解答时写出必要的文字说明及演算过程）
19．（9分）（2014•天水）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到5点所用时间为6秒，∠AMN＝60，∠BMN＝45°．
（1）计算AB的长度．
（2）通过计算判断此车是否超速．
考点：
解直角三角形的应用．
分析：
（1）已知MN＝30m，∠AMN＝60，∠BMN＝45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；
（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时比较即可确定答案．
解答：
解：
（1）在Rt△AMN中，MN＝30，∠AMN＝60°，∴AN＝MN•tan∠BAO＝30
．
在Rt△BMN中，
∵∠BMN＝45°，∴BN＝MN＝30．∴AB＝AN＋BN＝（30＋30
）米；
（2）∵此车从A点行驶到5点所用时间为6秒，∴此车的速度为：
（30＋30
）÷6＝5＋5
＜60，
∴不会超速．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．
20．（9分）（2014•天水）空气质量的优劣直接影响着人们的身体健康．天水市某校兴趣小组，于2014年5月某一周，对天水市区的空气质量指数（AQI）进行监测，监测结果如图．请你回答下列问题：
（1）这一周空气质量指数的极差、众数分别是多少？
（2）当0≤AQI≤50时，空气质量为优．这一周空气质量为优的频率是多少？
（3）根据以上信息，谈谈你对天水市区空气质量的看法．
考点：
条形统计图；频数与频率；众数；极差．
分析：
（1）根据极差、众数的定义求解即可；
（2）先计算出当0≤AQI≤50时的天数，再除以7即可；
（3）根据极差可以看出天水市区空气质量差别较大，再由众数可得出天水市区的空气质量指数较多集中在30～50之间，空气质量为一般．
解答：
解：
（1）把这七个数据按照从小到大排列为30，35，40，50，50，70，73，极差为73－30＝43，
众数为50；
（2）空气质量为优的天数为5天，则频率为
；
（3）由上面的信息可得出，天水市区的空气质量指数较多集中在30～50之间，空气质量为一般．
点评：
本题考查了条形统计图、频率与频数以及众数、极差，是基础题，难度不大．
21．（10分）（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．
考点：
切线的判定与性质．
分析：
（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，求出∠CDA＋∠ADO＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE＝EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
解答：
解：
（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，
理由是：
连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，
即直线CD和⊙O的位置关系是相切；
（2）∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：
CD＝4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°，
设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：
CE2＝BE2＋BC2，则（4＋x）2＝x2＋（5＋3）2，
解得：
x＝6，即BE＝6．
点评：
本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
四、解答题（本题5个小题，共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
22．（8分）（2014•天水）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE＝∠CDF．
（1）求证：
AE＝CF；
（2）连结DB交CF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
分析：
（1）根据正方形的性质可得AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CF；
（2）求出BE＝BF，再求出DE＝DF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得BD垂直平分EF，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明．
解答：
（1）证明：
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，
在△ADE和△CDF中，
，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF；
（2）四边形DEGF是菱形．
理由如下：
在正方形ABCD中，AB＝BC，
∵AE＝CF，∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF，
∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴BD垂直平分EF，
又∵OG＝OD，∴四边形DEGF是菱形．
点评：
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
23．（9分）（2014•天水）如图，⊙M过坐标原点O，分别交两坐标轴于A（1，O），B（0，2）两点，直线CD交x轴于点C（6，0），交y轴于点D（0，3），过点O作直线OF，分别交⊙M于点E，交直线CD于点F．
（1）∠CDO＝∠BAO；
（2）求证：
OE•OF＝OA•OC；
（3）若OE＝
，试求点F的坐标．
考点：
圆的综合题．
分析：
（1）利用tan∠CDO＝cot∠BAO求出∠CDO＝∠BAO，
（2）连接AE，圆周角相等得出△OCF∽△OEA．再利用比例式求证．
（3）先求出OF的长度，再利用方程组求出交点，得出点P的坐标．
解答：
证明：
（1）如图：
∵C（6，0），D（0，3），∴tan∠CDO＝
＝
＝2，
∵A（1，O），B（0，2），cot∠BAO＝
＝2，∴∠CDO＝∠BAO，
（2）如图，连接AE，
由
（1）知∠CDO＝∠BAO，∴∠OCD＝∠OBA，
∵∠OBA＝∠OEA，∴∠OCD＝∠OEA，∴△OCF∽△OEA，∴
＝
，∴OE•OF＝OA•OC；
（3）由
（2）得OE•OF＝OA•OC，
∵OA＝1，0C＝6，OE＝
，∴OF═
＝
＝2
设F（x，y）∴x2＋y2＝8，
∵直线CD的函数式为：
y＝－
x＋3
∴组成的方程组为
，解得
或
∴F的坐标为：
（2，2）或（
，
）．
点评：
本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是利用圆周角相等得出△OCF∽△OEA．
24．（9分）（2014•天水）天水市某校为了开展“阳光体育”活动，需购买某一品牌的羽毛球，甲、乙两超市均以每只3元的价格出售，并对一次性购买这一品牌羽毛球不低于100只的用户均实行优惠：
甲超市每只羽毛球按原价的八折出售；乙超市送15只羽毛球后其余羽毛球每只按原价的九折出售．
（1）请你任选一超市，一次性购买x（x≥100且x为整数）只该品牌羽毛球，写出所付钱y（元）与x之间的函数关系式．
（2）若共购买260只该品牌羽毛球，其中在甲超市以甲超市的优惠方式购买一部分，剩下的又在乙超市以乙
升级会员 