中国古代算法案例.docx

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中国古代算法案例

《中国古代算法案例》

【内容分析】

本节课的主要内容是中国古代算法案例——更相减损术和秦九韶算法，位于《普通高中新课程标准实验教科书·数学》人教A版必修三第一章第三节，是在学生明确了算法的概念、程序框图、基本逻辑结构、基本算法语句等内容的基础上学习的，意在让学生了解中国古代数学的算法思想以及这两个具体的算法，一方面可以进一步理解算法思想、熟练程序框图的画法、练习三种逻辑结构、熟悉程序语言的编写，一方面可以认识到算法是中国古代数学的主要特征，是民族数学的瑰宝，激发学生的民族自豪感.

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的情形.学习时，可以与辗转相除法进行比较.秦九韶算法能使复杂的计算简单化，通过减少计算次数，提高计算效率.在教学中，可以结合《九章算术》、秦九韶的生平和他的著作《数书九章》，向学生介绍中国古代数学的特点、成就和对世界数学发展的贡献，增强文化自信.

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.现代社会，信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想成为现代人应具备的一种基本数学素养.同时，算法数学也是中国古代数学最大的特点之一，信息时代强调算法思想的重要性无疑能重扬中国数学的优良传统.吴文俊先生在《九章算术与刘徽》一书中说道：

“我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中，建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对”.

【学情分析】

1.本节课的授课对象为本校高一年级普通班学生，学生在逻辑思维、推理能力、分工合作、学习态度等方面存在较大差异.因此在教学过程中要注意分散内容难点、注意激发学生的积极性.

2.学生在学习过程中，都有这样一种现象——对计算机的好奇心强于对数学知识本身.本来是要借助现代信息技术去帮助我们学习数学，但学生的兴趣更多在计算机操作，而不在数学.因此很有必要在学习算法案例前请学生明确其学习目标，不要发生偏离，将算法内容的学习变成程序语言的学习和程序设计.

3.算法案例这一内容虽然是学生第一次接触，但经过前几节的学习，他们已经建立了初步的算法思想，而且对算法的学习兴趣比较浓厚.因此，学生对这两个案例的掌握应该还是比较容易的，只是这两个案例对应的程序设计比较难理解，学生很容易将本节重点偏离.教学中要注意做好引导.

【教学目标】

理解更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.了解秦九韶算法的计算过程，秦九韶算法的特点、程序框图和程序语言，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质，引导学生基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.

由具体到抽象、观察探究，理解更相减损术，体会使用算法解决问题的基本过程，在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因数的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤.

学习秦九韶算法时，模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.先从特殊的多项式求值方法出发，发现整体计算可以简化运算，然后给出一般的求多项式的值的方法，引导学生比较这两种方法需要计算加法和乘法的次数，从而发现秦九韶方法的优越性，引出“秦九韶算法”的概念，引导学生描述出蕴含在其中的算法思想，让学生编写算法，画程序框图，写程序语言，并在计算机上验算. 

通过算法案例的学习，学生可以了解中国古代数学家的灿烂成就，认识我国文化历史的悠久，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，提升民族自豪感和荣誉感.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中，体会算法思想，发展有条理地思考和表达的能力.

【教学流程】

我们课前已经阅读过有关更相减损术和秦九韶算法的阅读材料，认识到算法思想是中国古代数学最大的特点.本节课一起来具体认识、学习这两个算法案例.

算法案例一：

更相减损术

问题1.课前同学们阅读了《九章算术》中求最大公约数和约分的方法.现在请同学说说阅读之后的感受.

求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数.可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2.不都是偶数了，则另外摆（即副置）分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数.

教师引导学生理解更相减损术，并明确操作步骤.第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.

【设计意图】教师展示算法，引导学生明确步骤，理解算理.

问题2.用更相减损术求

（1）98与63的最大公约数，

（2）8251和6105的最大公约数.

同学操作，写出求解的一列式子，发现不管数字大小，这个算法都适用.

【设计意图】加深理解，把握特点，准确应用.让学生体会如果公约数较大或者根据观察不能得出，这个算法就显示了它的优越性，有学习的必要性.

问题3.怎样用程序框图和程序语言描述上述问题的求解过程？

同学尝试画出框图及写出程序，与课本上的框图和程序进行比较，加深理解.

【设计意图】更相减损术是一个反复执行的步骤，实际上是一个循环结构.这里让学生自己动手画框图，亲身经历算法设计的全过程，有助于进一步体会算法的基本思想.

问题4.阅读课本上的另一种求最大公约数的算法——辗转相除法，说一说具体的操作步骤.你会用辗转相除法求98与63的最大公约数以及8251和6105的最大公约数吗？

同学描述步骤，并且应用此算法求最大公约数.

【设计意图】通过计算，让学生感受、比较辗转相除法和更相减损术的不同之处.

算法案例二：

秦九韶算法

问题1.计算出下列各式的值.

（1）52-42

（2）202-192（3）20202-20192

【设计意图】让学生认识到因式分解起到的降次的作用.

问题2.计算出下列各代数式的值.

（1）当x=99时，f（x）=x2+x

（2）当x=99时，f（x）=x3+x2+x

【设计意图】让学生体会降次给计算带来的简便.

问题3.用两种方法求多项式f（x）=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值,并比较它们所用的加法和乘法的次数.

算法1：

f（5）=55+54+53+52+5+1,f（5）=3906   

算法2：

f（x）=（（（（x+1）x+1）x+1）x+1）x+1，f（5）=3906

传统的计算方法共需要10次乘法运算，5次加法运算.

采用降次计算求值仅需5次乘法和5次加法运算即可得出结果，比传统的计算方法少了5次乘法运算.

【设计意图】比较两种算法，再次体会降次和整体计算在简化计算中的作用.

问题4.怎样求一般的多项式

当x=x0时的值？

求f（x0）的值时，

即

则

要求f（x0）值只需要做n次乘法，n次加法.这种算法是由南宋大数学家秦九韶在他的《数书九章》中首先介绍，我们把这种计算方法叫做秦九韶算法.

 思考：

在利用秦九韶算法计算n次多项式当x=x0时的值，需要多少次乘法计算和多少次加法计算？

 【设计意图】从具体问题推广到一般情况，渗透归纳的思想，同时通过计算所做加法和乘法的次数，感受秦九韶算法的优越性.体现了把高次转化为一次的化归思想方法.

问题5.利用秦九韶算法解决下列问题.

练习：

已知5次多项式f（x）=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，求当x=5时f（x）的值.

写法一：

同学用上述秦九韶算法的格式求解.

写法二：

另外可以用列表法简化计算过程.

变式：

已知5次多项式f（x）=2x5-4x3+3x2-6x+7，求当x=5时f（x）的值.

【设计意图】加强对秦九韶算法的理解，同时强调当某项系数为0时要注意的问题.

问题6.设计利用秦九韶算法计算n次多项式

当x=x0时f（x）的值的程序框图及程序语言.

第一步：

输入多项式次数n、最高次项的系数an和x0的值

第二步：

将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1

第三步：

输入i次项的系数ai

第四步：

v=vx0+ai,i=i-1 

第五步：

判断i是否大于或等于0,若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v.

程序框图

程序语言

思考：

上述循环结构属于哪种结构？

（当型）课后请同学们用另一种循环结构（直到型）画出程序框图并编写程序语言.

【设计意图】学会用框图和程序语言表述算法.

归纳小结：

1.通过对更相减损术和秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进一步的认识？

（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题;

（2）解决一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法.

2.更相减损术和秦九韶算法的特点及揭示的算法思想.

作业布置：

1.课本第47页练习2、第50页习题1.3A组第2题，B组第2题.

2.请同学们用另一种循环结构画出秦九韶算法的程序框图并编写程序语言.

3.（选做）探究课本第47页内容完成习题1.3A组第4题.

4.拓展阅读材料（见附录）

【教学反思】

本节所学的更相减损术和秦九韶算法，学生掌握起来还是比较容易的，只是这两个算法对应的程序设计较难理解，学生容易将本节重点偏移到程序上去，在教学时要注意注重算理的教学，程序只是一个辅助的工具.

把算法转化为计算机可执行程序，应用计算机解决相应的问题，学生能体会到虽然有时算法过程很复杂或计算很繁杂，但在计算机上运行，很快就可以获得解决问题的结果，并且一种算法可以解决一类问题，可以把人从一些机械、重复、繁杂的工作中解放出来.如果有条件，还可以让学生通过电脑操作，自我探索，及时验证自己的算法是否可行，及时获得成就感，激发其学习兴趣，这也符合新课程的理念.

【教学点评】

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.现代社会，信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想成为现代人应具备的一种基本数学素养.同时，算法思想是中国古代数学的重要特征，算法案例的教学同时也是对学生进行传统文化的教育.因此，虽然算法内容在高考中所占分值不多，但是仍然是一个需要认真学习的内容.

本节所学的两个算法案例，都能突出地体现算法的特征——能解决一类问题.学习时都是从具体问题出发，然后推广到一般情况，给出了解决这一类问题的通用的方法，体现了归纳的思想.通过从特殊到一般的数学思想，让学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力.

对于具体的问题，学生都会解决，抽象之后的符号及框图、程序，难度较大，不是所有同学都能理解.另外需要注意教学的重点，重在算理，不要让程序和计算机工具成为主角.

附录一：

课前阅读材料

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的情形.

更相减损术的具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”这里所说的“等数”就是最大公约数.可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2.不都是偶数了，则另外摆（即副置）分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数.

秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、 朱世杰并称宋元数学四大家.主要成就是1247年完成了数学名著《数学九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶算法是中国古代数学的一枝奇葩.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. 

美国著名科学史家萨顿说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”. 

秦九韶算法的特点、作用和数学思想：

1.秦九韶算法的特点：

通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可. 

2.秦九韶算法的作用：

解决了运算次数的问题，大大减少了乘法运算的次数，提高了运算效率. 

3.秦九韶算法体现的数学思想：

把高次转化为一次的化归思想方法.算法具有通用的特点，可以解决一类问题.

附录二：

课后拓展阅读材料

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的.唐宋两代都由国家明令规定为教科书.1084年，由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书.可以说，《九章算术》是中国为世界数学发展做出的杰出贡献.

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则，中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。

注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。

在九章算术中有许多数学问题都是世界上记载最早的。

例如，关于比例算法的问题，它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。

关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法，13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。

《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。

《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。

历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最为有名。

《九章算术》还流传到了日本和朝鲜，对其古代的数学发展也产生了很大的影响。

该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

1247年9月（宋理宗淳祐七年），秦九韶完成了划时代的数学名著《数书九章》（又名《数学九章》）.该书共18卷，分为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易等九大类，每类用9个例题（全书共81题）来阐明各种算法.中世纪的这部数学杰作，在许多方面都有创造，而书中具有世界意义的成就是“大衍求一术”和高次方程的数值解法“正负开方术”.

中国古代大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”：

“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题.秦九韶在《数书九章》（1247年成书）中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术.“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的成就之一，这比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”.

秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，他所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（W·G·Horner，1786—1837年）的同样解法早572年.秦九韶的正负方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去.现代计算数学中求代数方程的数值解的时候，人们把所流行的那种极其简便的计算方法称为“秦九韶程序”.