上海奥术专题 第1讲 数阵与幻方学生.docx

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上海奥术专题第1讲数阵与幻方学生

教学过程

引入

公元前23世纪，黄河流域发生很大的水灾，大禹带领士兵与百姓前往治水。

有一天，正当大禹与士兵在河边现察洛河水情，商议治理大计时，突然看见在黄河支流洛水中，浮出一只巨型乌龟，只见此龟甲背平圆，行走水面，游来游去，非常奇特。

近处仔细观看，发现龟甲上载有9种花点的图案，大禹令士兵们将图案中的花点布局记了下来，带回去作了深入的研究。

他惊奇地发现，9种花点数正好是1-9这9个数，各数的位置排列也相当奇巧，纵横六线及两条对角线上三数之和都为15，既均衡对称，又深奥有趣，在奇偶数的交替变化之中似有一种旋转运动之妙。

由于神龟所背图是在黄河支流洛水中发现，且图中内容如书一样深奥，故人们称此为洛书。

这就是古老的“九宫图”最早的起源。

奇数阶幻方

幻方，亦称“九宫格”、纵横图。

将自然数1,2,3,……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之各都等于n/2*（n*n+1），这样的方阵称为幻方。

n是它的阶数，n/2*（n*n+1）为幻方的变幻常数。

已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。

把从1到9，这9个数分别填在如下三行三列的方格内，使之成为幻方。

（巩固练习1:

把从86到94，这9个数分别填在如下三行三列的方格内，使之具有幻方的性质。

）

（巩固练习2：

根据已填的数完完成表格，使其具有幻方的性质。

）

把1～25这25个数填在下图方框内，完成五阶幻方。

偶数阶幻方

把1～16这16个数填在四行、四列的方框内，完成四阶幻方。

（巩固练习:

把48～53这16个数填在四行、四列的方框内，完成四阶幻方。

）

数阵

数阵兵法

数阵古代作战时采取的一种密集的战斗队形。

系古代“十阵”之一。

《孙膑兵法·十阵》：

“数阵者，为不可掇。

”（掇，音duo，一声，掠取，引申为割取、击破。

）意谓数阵的作用是防止敌军击破。

孙膑认为数阵的列法是：

行列间距离间隔要缩小，但必须行列靠近而不混乱，兵器密集而使用自如。

前后要能相互支援。

若敌人退走，不要出阵追击，敌人进攻，不要出阵阻击。

或者截击其迂回部队，或者挫其前锋锐气。

阵势要严密得无隙可乘，两翼要稳如泰山。

若如此，便不会被敌人攻破。

数学中的数阵

　　数阵是由幻方演化出来的另一种数图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

将1～11填入左下图的○内，使每条直线上的三数之和都等于18。

（巩固拓展：

将1～9这九个自然数分别填入左下图中的九个○内，使三角形每边上的四数之和都等于20，且有一个顶点○内的数字为1。

）

如下页图所示。

把1、2、3、4、5、6、7、8、9分为三组，填到三个小三角形的各个角上的圆圈里，使每个小三角形的三个角的圆圈里的数之和都是15。

同时使大三角形三个角的圆圈里的数之和也是15。

花果山上要开全体大会，选出孙悟空的接班人，每张桌子都如图摆好了3个盘子，每个盘子里盛有3个桃子。

孙悟空下令：

“将1～9九个数字分别贴在九个桃子上（其中6和1已贴好），使得每个盘子里上的三个数之和以及三个盘子中间被连起来的的三个数字之和都相等。

谁先完成所有的题目，谁就是下一个美猴王。

”同学们，你也来试试吧？

总结全课

1、全课你都学到了什么？

2、回忆幻方的填法。

3、解数阵问题的一般思路是什么？

【练习1】把从57到65，这9个数分别填在如下三行三列的方格内，使之成为幻方。

【练习2】把22～47这16个数填在四行、四列的方框内，完成四阶幻方。

【练习3】请自制一个五阶幻方。

【练习4】1～6填入下图的六个○中，使每个大圆周上的四数之和都等于16。

【练习5】小明玩布阵游戏，他要用360名士兵守卫一座城池（见左下图，图中间表示城区，四周表示城墙，方格中的数表示兵力分布），要求四个角的兵力相同。

现在的兵力分布恰好每边有100名士兵，如果小明想使每边有150名士兵，那么兵力应如何分布？