第6章 树和二叉树.docx
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第6章树和二叉树
第6章树和二叉树
6.1树的定义和基本术语
树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。
在任意一棵非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1，T2,……，Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。
其中A是整棵树的根，而B、C、D等就是A的子树。
结点：
结点的度：
以该结点为根的子树的数目，如D有三棵子树，D的度为3.
树的度：
一棵树中，某个结点的度最大就是树的度。
叶子：
又称终端结点，指没有孩子的结点。
如K、L、F等。
非终端结点：
有孩子的结点。
如E、C、D等。
孩子：
结点子树的根称为孩子。
双亲（有时称父结点，有时又称母结点）：
兄弟：
同一个双亲的孩子之间互称为兄弟，如H、I、J都是D的孩子，那么H、I、J互称为兄弟。
祖先：
D和A是M的祖先。
子孙：
E、F、K等都是A的子孙。
层次：
从根开始称为第1层，根的孩子为第2层，如此之般。
堂兄弟：
如果双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
如：
M与K、L互称为堂兄弟。
深度：
树中结点的最大层次称为树的深度。
上图深度为4，又称为高度。
有序树：
如果一棵树的每个结点，其若干个孩子中，左右顺序不能互换，称为有序树。
无序树：
在有序树中，最左边的那个孩子称为第一个孩子，最右边的那个称为最后一个孩子。
森林：
由若干棵（0或1或多棵）互不相交的树构成的。
6.2二叉树
6.2.1二叉树的定义
二叉树（BinaryTree），
是一棵特殊的树：
每个结点的度都不超过2（0、1、2），且是有序树。
其左右孩子不能交换位置。
二叉树有5种基本形态：
题目：
已知一棵二叉树有3个结点，问有几种可能形态？
思考：
有n个结点的二叉树有几种可能的形态？
答：
种形态
6.2.2二叉树的性质
性质1：
在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>=1）
性质2：
深度为k的二叉树至多有2k-1个结点。
性质3：
对任何一棵二叉树T，如果其终端（叶子）结点数为n0，度为2的结点数为n2，则有公式：
n0=n2+1
证明：
一方面，结点的总数n=n0+n1+n2
另一方面：
结点的总数n=B+1，而边数B＝n2*2+n1*1+n0*0
所以：
n0+n1+n2＝2n2+n1+1
n0=n2+1
完全二叉树：
如果一棵二叉树，它的编号与满二叉树完全一致。
其特点：
1）叶子只可能在最后两层上；
2）对任一结点，若其右分支下的子孙的最大层次为l，则左分支下的子孙最大层次必为l或l+1。
1
满二叉树：
如果有一棵二叉树，它的每一层的结点个数恰好为最多的可能个数，也就是第i层上有2i-1个结点，这样的二叉树称为满二叉树。
形象地说，就是一棵二叉树满满的。
对于满二叉树，可以对结点进行编号，从上往下，从左往右进行。
性质4：
具有n个结点的完全二叉树的深度为
（向下取整为不大于该数的最大整数，如2.69结果为2，类似的还有向上取整，
取不小于该数的最小整数，如
＝3）
证明：
设该树的深度为k，根据性质2及完全二叉树的定义有：
性质5：
对于一棵有n个结点的完全二叉树，如果按照上面的编号，则：
1）如果i=1，则结点i是根，它没有双亲；如果i>1，则它有双亲，其双亲结点编号为
2）如果i很大，2i>n，则结点i无左孩子，且该结点为叶子；否则，如果i不大，2i<=n，则该结点有左孩子，且左孩子的编号为2i。
3）如果i很大，2i+1>n，则结点i无右孩子；否则，如果i不大，2i+1<=n，则该结点有右孩子，且右孩子的编号为2i+1。
6.2.3二叉树的存储结构
1、顺序存储结构
1
用一个数组来存储，如：
可得到：
6
一般用在满二叉树或完全二叉树中，比较方便，后面的排序一章中的堆排序就是用了这种方法。
2、链式存储结构：
typedefstructBiTNode{
TElemTypedata;
structBiTNode*lchild;
structBiTNode*rchild;
}BiTNode,*BiTree;
优点：
1）基本不会浪费空间；2）找左孩子与右孩子很方便；
缺点：
1）找双亲结点很困难；2）用来存储满二叉树会浪费空间（主要是指针本身需要空间。
二叉树的基本操作：
1）创建二叉树
2）几个遍历操作：
前序、中序、后序、层次
3）插入一个结点
4）删除一个结点
5）其它操作
6.3遍历二叉树和线索二叉树
6.3.1遍历二叉树
所谓遍历，就是按照某种顺序对二叉树中的所有的结点依个去访问，且只访问一次。
对于二叉树，有四种遍历方法：
前序、中序、后序、层次
1、前序（又称前根、先根、先序），它的进程是：
1）先访问根；
2）再以前序方式来访问该结点的左子树
3）再以前序方式来访问该结点的右子树
以二叉树T1为例：
1）先访问根A；
2）再以前序方式访问A的左子树（以B为根的二叉树）；
2.1先访问根B；
2.2再以前序访问B的左子树（以E为根的二叉树）；
2.2.1先访问根E；
2.2.2再以前序访问E的左子树（空），直接返回；
2.2.3再以前序访问E的右子树（以L为根的二叉树）；
2.2.3.1先访问根L；
2.2.3.2再以前序访问L的左子树（空），直接返回；
2.2.3.2再以前序访问L的右子树（空），直接返回；
2.3再以前序访问B的右子树（空），直接返回；
3）再以前序方式访问A的右子树（以D为根的二叉树）
……
可等到遍历序列：
A、B、E、L、D、H、O、J
实现的算法有两种：
递归方式、非递归方式
先看递归方式：
StatusPreOrderTraverse（BiTree*T）//递归方式前序遍历二叉树T
{
if（T!
=NULL）
{
printf（T->data）;//访问T；
PreOrderTraverse（T->lchild）;//再以前序方式访问T->lchild;
PreOrderTraverse（T->rchild）;//再以前序方式访问T->rchild;
}
returnOK;
}
对于非递归方式，需要用栈。
A、B、E、L、D、H、O、J
StatusPreOrderTraverse_2（BiTree*T）//非递归方式前序遍历二叉树T
{
InitStack（S）;
if（T==NULL）returnERROR;//如果T本身是空树，无法访问
Push（S,T）;//根入栈
while（!
EmptyStack（S））//如果栈不空，继续循环
{
Pop（S,p）;
printf（p->data）;//访问p
if（p->rchild!
=NULL）//如果p的左孩子不空，则入栈
Push（S,p->rchild）;
if（p->lchild!
=NULL）
Push（S,p->lchild）;
}
returnOK;
}
2、中序（又称中根），它的进程是：
1）先用中序方式遍历其左子树；
2）再访问它；
3）再用中序方式遍历其右子树；
以T1为例，可得到顺序：
E、L、B、A、O、H、D、J
算法的实现，仍然有递归与非递归方式，递归方式：
StatusInOrderTraverse（BiTree*T）//递归方式中序遍历二叉树T
{
if（T!
=NULL）
{
InOrderTraverse（T->lchild）;//再以中序方式访问T->lchild;
printf（T->data）;//访问T；
InOrderTraverse（T->rchild）;//再以中序方式访问T->rchild;
}
returnOK;
}
非递归算法：
StatusInOrderTraverse_2（BiTree*T）//非递归方式中序遍历二叉树T
{
InitStack（S）;
p=T;
if（T==NULL）returnERROR;//如果T本身是空树，无法访问
while（!
EmptyStack（S）||p!
=NULL）
{
while（p!
=NULL）//p的所有的左子树依次入栈
{
Push（S,p）;
p=p->lchild;
}
if（!
EmptyStack（S））
{
Pop（S,p）;
printf（p->data）;
p=p->rchild;
}
}
returnOK;
}
E、L、B、A
3、后序（又称后根），它的进程是：
1）先用后序方式遍历其左子树；
2）再用后序方式遍历其右子树；
3）再访问它；
StatusPostOrderTraverse（BiTree*T）//递归方式后序遍历二叉树T
{
if（T!
=NULL）
{
PostOrderTraverse（T->lchild）;//再以后序方式访问T->lchild;
PostOrderTraverse（T->rchild）;//再以后序方式访问T->rchild;
printf（T->data）;//访问T；
}
returnOK;
}
4、层次遍历，它的进程是从根开始，从上到到，从左至右依次访问：
以T1为例，可得顺序：
A、B、D、E、H、J、L、O
其算法可用非递归实现，借助队列来实现。
A、B、D、E、H、J、L、O
StatusLevelOrderTraverse（BiTree*T）//层次遍历二叉树T
{
if（T==NULL）returnERROR;
InitQueue（Q）;
EnQueue（Q,T）;
while（!
EmptyQueue（Q））
{
DeQueue（Q,p）;//出队
printf（p->data）;
if（p->lchild!
=NULL）
EnQueue（Q,p->lchild）;
if（p->rchild!
=NULL）
EnQueue（Q,p->rchild）;
}
returnOK;
}
5、补充算法：
如何交换一棵二叉树的所有左、右孩子
有递归和非递归的算法，下面先看递归：
递归的思想与前序遍历很相似，每访问一个结点，就将该结点的左右孩子进行交换，再用递归对其左子树进行交换、右子树进行交换：
StatusExchangeBiTree（BiTree&T）
{
if（T!
=NULL）
{
s=T->lchild;T->lchild=T->rchild;T->rchild=s;//交换T的左右孩子；
ExchangeBiTree（T->lchild）;//再调用函数，交换其左子树；
ExchangeBiTree（T->rchild）;//再调用函数，交换其右子树；
}
returnOK;
}
非递归算法，与前序遍历又非常相似。
StatusExchangeBiTree_2（BiTree&T）
{
if（T==NULL）returnERROR;
InitStack（S）;
Push（S,T）;
while（!
EmptyStack（S））
{
Pop（S,p）;
p->lchild<－>p->rchild;
if（p->lchild!
=NULL）Push（S,p->lchild）;
if（p->rchild!
=NULL）Push（S,p->rchild）;
}
returnOK;
}
6、补充算法：
二叉树在数学表达式计算中的应用
在栈与队列一章中，介绍过用栈来计算数学表达式。
如：
a+b*（c-d）-e/f，的中缀表示，它用中序遍历可得：
a+b*c-d-e/f，如果用后序遍历，可得：
abcd-*+ef/-，又称为后缀表示，也称为逆波兰式。
如果用前序遍历：
-+a*b-cd/ef，又称为前缀表示（波兰式）。
（a*（b+c/（d-e）-f）+g）*l
7、创建二叉树
可用递归与非递归的方法，对于递归算法：
用户如果输入：
ABE#L###DHO###J##，则可得二叉树：
StatusCreateBiTree（BiTree&T,char*str）
{
staticchar*ch=str;
if（ch=='#'）{T=NULL;ch++;}
else
{
T=（BiTNode*）malloc（sizeof（BiTNode））;
T->data=ch;
ch++;
CreateBiTree（T->lchild）;
CreateBiTree（T->rchild）;
}
returnOK;
}
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