第6章 树和二叉树.docx

1、第6章 树和二叉树第6章 树和二叉树6.1 树的定义和基本术语树(Tree)是n(n0)个结点的有限集。在任意一棵非空树中：1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；2）当n1时，其余结点可分为m（m0）个互不相交的有限集T1，T2,，Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。其中A是整棵树的根，而B、C、D等就是A的子树。结点：结点的度：以该结点为根的子树的数目，如D有三棵子树，D的度为3.树的度：一棵树中，某个结点的度最大就是树的度。叶子：又称终端结点，指没有孩子的结点。如K、L、F等。非终端结点：有孩子的结点。如E、C、D等。孩子：结点子树的根称为孩子

2、。双亲（有时称父结点，有时又称母结点）：兄弟：同一个双亲的孩子之间互称为兄弟，如H、I、J都是D的孩子，那么H、I、J互称为兄弟。祖先：D和A是M的祖先。子孙：E、F、K等都是A的子孙。层次：从根开始称为第1层，根的孩子为第2层，如此之般。堂兄弟：如果双亲在同一层的结点互为堂兄弟。如：M与K、L互称为堂兄弟。深度：树中结点的最大层次称为树的深度。上图深度为4，又称为高度。有序树：如果一棵树的每个结点，其若干个孩子中，左右顺序不能互换，称为有序树。无序树：在有序树中，最左边的那个孩子称为第一个孩子，最右边的那个称为最后一个孩子。森林：由若干棵（0或1或多棵）互不相交的树构成的。6.2 二叉树6.

3、2.1 二叉树的定义二叉树（Binary Tree），是一棵特殊的树：每个结点的度都不超过2（0、1、2），且是有序树。其左右孩子不能交换位置。二叉树有5种基本形态：题目：已知一棵二叉树有3个结点，问有几种可能形态？思考：有n个结点的二叉树有几种可能的形态？答：种形态6.2.2 二叉树的性质性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i=1）性质2：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点。性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端（叶子）结点数为n0，度为2的结点数为n2，则有公式：n0=n2+1证明：一方面，结点的总数n=n0+n1+n2另一方面：结点的总数n=B+1，而边数Bn2*2+n1*

4、1+n0*0所以： n0+n1+n22n2+n1+1n0=n2+1完全二叉树：如果一棵二叉树，它的编号与满二叉树完全一致。其特点：1） 叶子只可能在最后两层上；2） 对任一结点，若其右分支下的子孙的最大层次为l，则左分支下的子孙最大层次必为l或l+1。1满二叉树：如果有一棵二叉树，它的每一层的结点个数恰好为最多的可能个数，也就是第i层上有2i-1个结点，这样的二叉树称为满二叉树。形象地说，就是一棵二叉树满满的。对于满二叉树，可以对结点进行编号，从上往下，从左往右进行。性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为（向下取整为不大于该数的最大整数，如2.69结果为2，类似的还有向上取整，取不小于该数的

5、最小整数，如3）证明：设该树的深度为k，根据性质2及完全二叉树的定义有：性质5：对于一棵有n个结点的完全二叉树，如果按照上面的编号，则：1）如果i=1，则结点i是根，它没有双亲；如果i1，则它有双亲，其双亲结点编号为 2）如果i很大，2in，则结点i无左孩子，且该结点为叶子；否则，如果i不大，2in，则结点i无右孩子；否则，如果i不大，2i+1data ); /访问T； PreOrderTraverse(T-lchild ); /再以前序方式访问T-lchild; PreOrderTraverse(T-rchild ); /再以前序方式访问T-rchild; return OK;对于非递归方式

6、，需要用栈。A、B、E、L、D、H、O、JStatus PreOrderTraverse_2( BiTree *T ) /非递归方式前序遍历二叉树T InitStack( S ); if( T=NULL ) return ERROR; /如果T本身是空树，无法访问 Push( S, T ); /根入栈 while( !EmptyStack( S ) ) /如果栈不空，继续循环 Pop( S, p ); printf( p-data ); /访问p if( p-rchild!=NULL) /如果p的左孩子不空，则入栈 Push( S, p-rchild ); if( p-lchild!=NULL

7、 ) Push( S, p-lchild ); return OK;2、中序（又称中根），它的进程是： 1）先用中序方式遍历其左子树； 2）再访问它； 3）再用中序方式遍历其右子树；以T1为例，可得到顺序：E、L、B、A、O、H、D、J算法的实现，仍然有递归与非递归方式，递归方式：Status InOrderTraverse( BiTree *T ) /递归方式中序遍历二叉树T if( T!=NULL ) InOrderTraverse(T-lchild ); /再以中序方式访问T-lchild; printf( T-data ); /访问T； InOrderTraverse(T-rchild

8、 ); /再以中序方式访问T-rchild; return OK;非递归算法：Status InOrderTraverse_2( BiTree *T ) /非递归方式中序遍历二叉树T InitStack( S ); p=T; if( T=NULL ) return ERROR; /如果T本身是空树，无法访问 while( !EmptyStack( S ) | p!=NULL ) while( p!=NULL ) /p的所有的左子树依次入栈 Push( S, p ); p=p-lchild; if( !EmptyStack( S ) ) Pop( S, p ); printf( p-data )

9、; p=p-rchild; return OK;E、L、B、A3、后序（又称后根），它的进程是： 1）先用后序方式遍历其左子树； 2）再用后序方式遍历其右子树； 3）再访问它；Status PostOrderTraverse( BiTree *T ) /递归方式后序遍历二叉树T if( T!=NULL ) PostOrderTraverse(T-lchild ); /再以后序方式访问T-lchild; PostOrderTraverse(T-rchild ); /再以后序方式访问T-rchild; printf( T-data ); /访问T； return OK;4、层次遍历，它的进程是从根

10、开始，从上到到，从左至右依次访问：以T1为例，可得顺序：A、B、D、E、H、J、L、O其算法可用非递归实现，借助队列来实现。A、B、D、E、H、J、L、OStatus LevelOrderTraverse( BiTree *T ) /层次遍历二叉树T if( T=NULL ) return ERROR; InitQueue( Q ); EnQueue( Q, T ); while( !EmptyQueue( Q ) ) DeQueue( Q, p ); /出队 printf( p-data ); if( p-lchild !=NULL ) EnQueue( Q, p-lchild ); if(

11、 p-rchild !=NULL ) EnQueue( Q, p-rchild ); return OK;5、补充算法：如何交换一棵二叉树的所有左、右孩子有递归和非递归的算法，下面先看递归：递归的思想与前序遍历很相似，每访问一个结点，就将该结点的左右孩子进行交换，再用递归对其左子树进行交换、右子树进行交换：Status ExchangeBiTree( BiTree &T ) if( T!=NULL ) s=T-lchild; T-lchild=T-rchild; T-rchild=s; /交换T的左右孩子； ExchangeBiTree( T-lchild ); /再调用函数，交换其左子树；

12、ExchangeBiTree( T-rchild ); /再调用函数，交换其右子树； return OK;非递归算法，与前序遍历又非常相似。Status ExchangeBiTree_2( BiTree &T ) if( T=NULL ) return ERROR; InitStack( S ); Push( S, T ); while( !EmptyStack( S ) ) Pop( S, p ); p-lchildp-rchild; if(p-lchild!=NULL) Push(S, p-lchild); if(p-rchild!=NULL) Push(S, p-rchild); ret

13、urn OK;6、补充算法：二叉树在数学表达式计算中的应用在栈与队列一章中，介绍过用栈来计算数学表达式。如：a+b*(c-d)-e/f，的中缀表示，它用中序遍历可得：a+b*c-d-e/f，如果用后序遍历，可得：abcd-*+ef/-，又称为后缀表示，也称为逆波兰式。如果用前序遍历：-+a*b-cd/ef，又称为前缀表示（波兰式）。(a*(b+c/(d-e)-f)+g)*l7、创建二叉树可用递归与非递归的方法，对于递归算法：用户如果输入：ABE#L#DHO#J#，则可得二叉树：Status CreateBiTree( BiTree &T, char *str ) static char *ch=str; if( ch=# ) T=NULL; ch+; else T=(BiTNode*) malloc( sizeof( BiTNode ); T-data=ch; ch+; CreateBiTree( T-lchild ); CreateBiTree( T-rchild ); return OK;