勾股定理.docx
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勾股定理
第二讲勾股定理
【例1】一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是________________.
答案：
24
提示：
根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，设其中一条直角边为x，另两条分别为（x-2），（x+2）,则有（x-2）2+x2=（x+2）2，解得x=0或x=8，x=0不合题意舍去，所以三边长为6、8、10，周长为24.
【例2】在△ABC中,若AB=17,AC=8,BC=15,则根据______________可知∠ACB=_______________.
答案：
勾股定理逆定理90°
提示：
勾股定理逆定理是判定一个角是直角的重要方法，AC2+BC2=82+152=289=172=AB2，根据勾股定理的逆定理说明AB的对角是90度.
【例3】一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了______________米.
答案：
3
提示：
桥长、偏离桥南头的距离、实际行驶的路程构成一个直角三角形，利用勾股定理，可得实际行驶的路程的平方=152+92=306，所以实际行驶了3
米.
【例4】若三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,则第三边上的高为_____________cm.
答案：
6
提示：
等腰三角形三线合一，底边上的高也是底边的中线，所以底边的一半为8，则高为
=
=6.
【例5】如图8-41,矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则这个矩形的面积为______________cm2.
图8-41
答案：
60
提示：
根据勾股定理求出BC的长，BC2=132-52=144，则BC=12，面积为5×12=60.
【例6】等边三角形的边长为4,则其面积为_______________.
答案：
4
提示：
根据勾股定理求出高为
=2
，面积为底×高×
=4×
=4
.
【例7】如图8-42,在高3米,坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少需____________米.
图8-42
答案：
7
提示：
由勾股定理求出另一直角边为4，将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和=3+4=7.
【例8】若
+|a-12|+（b-5）2=0,则以a、b、c为三边的三角形是______________三角形.
答案：
直角
提示：
满足a2+b2=c2.
【例9】下列是勾股数的一组是________________.
A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,35
答案：
D
提示：
满足a2+b2=c2的正整数是勾股数，只有212+282=352，所以选D.
【例10】下列说法不正确的是________________.
A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形
B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
D.三边长度之比为5∶12∶13的三角形是直角三角形
答案：
B
提示：
三个角的度数之比中有两个之和等于另一个，可以判定是直角三角形，另外两边的平方和=第三边的平方，也可以判定是直角三角形，三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形，三个角分别是45度、60度和75度，不是直角三角形.
【例11】一个圆桶底面直径为24cm,高32cm,则桶内所能容下的最长木棒为___________.
A.20cmB.50cmC.40cmD.45cm
答案：
C
提示：
根据勾股定理，最长木棒长的平方=242+322，解得40cm.
【例12】一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为______________米.
A.100B.500C.1240D.1000
答案：
D
提示：
由于东西方向与南北方向互相垂直，两段路程与家离公司距离形成直角三角形，根据勾股定理求得家离公司距离=
=1000米.
【例13】（2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°,∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为（精确到0.1）________________.
A.9.1B.9.5C.3.1D.3.5
【答案】C
【例14】（2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是______________.
A2mB.3mC.6mD.9m
【答案】C
【例15】（2011台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走____________公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺。
A．100B．180C．220D．260
【答案】Ｃ
【例16】（2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图（3），则三角板的最大边的长为____________.
A.3cmB.6cmC.3
cmD.6
cm
【答案】D
【例17】（2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是______________.
（第7题图）
（A）3.5（B）4.2（C）5.8（D）7
【答案】D
【例18】（2011河北，9，3分）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为______________.
A．
B．2C．3D．4
【答案】B
【例19】（2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a，b，c满足
，那么这个三角形是直角三角形．
【答案】①④
【例20】（2011重庆綦江，16，4分）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝米时,有DC
＝AE
＋BC
.
【答案】：
【例21】（2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：
。
【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足
，那么这个三角形是直角三角形
【例22】（2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝______________．
【答案】15
【例23】（2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是．
【答案】6cm2
【例24】（2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若
=14cm，则阴影部分的面积是________cm2.
【答案】
【例25】（2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长______________.
【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+
=16+
【例26】（2011四川乐山25，12分）如图,在直角△ABC中,∠ACB=90
CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA（m,n为实数）.试探究线段EF与EG的数量关系______________.
（1）如图（14.2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是
证明:
（2）如图（14.3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是
证明
（3）如图（14.1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是
（写出关系式,不必证明）
【例27】如图8-43，在四边形ABCD中,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,∠C=90°.
图8-43
（1）求BD的长________________;
（2）当AD为多少时,∠ABD=90°________________.
（1）答案：
5.
提示：
在△BDC中，∠C=90°，BC=3cm，CD=4cm，根据勾股定理，BD2=BC2+CD2，求得BD=5cm.
（2）答案：
13.
提示：
根据勾股定理的逆定理，三角形两边的平方和等于斜边的平方，则三角形是直角三角形，所以AD=13时，可满足AD2=BD2+AB2，可说明∠ABD=90°，AD=
=13.
【例28】有一块土地形状如图8-44所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积________________.
图8-44
答案：
234米2.
提示：
连结AC，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，根据勾股定理求出AC，进而求出AD.AC=
=25,AD=
=24，面积为
AB×BC+
AD×CD=234米2.
【例29】甲、乙两船上午11时同时从港口A出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离________________.
图8-45
答案：
50海里.
提示：
东北方向航行，东南方向航行，则夹角为90度，根据勾股定理，相距=
=50.
【例30】一辆装满货物的卡车,高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图8-46所示的某工厂,问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）?
说明你的理由.________________.
图8-46
提示：
如图，作厂门的对称轴，求出PR的长，只要PR＞车高2.5，就说明卡车能通过厂门.
在Rt△OPQ中，由勾股定理得PQ=
=0.6米,
∴PR=0.6+2.3=2.9＞2.5.
∴这辆卡车能通过厂门.
1.（2011湖北十堰，5，3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，DE过点C，且DE//AB，若∠ACD=500，则∠B的度数是______________.
第5题图
A．500B．400C．300D．250
【答案】B
2.（2011湖北随州，11，3分）下列说法中
①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等
②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2
③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为
正确命题有______________.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
3.（2011内蒙古呼和浩特市，9,3分）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为______________.
A.
B.
C.
D.
【答案】B
4.（2011广东河源，9,4分）如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°.ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,已知∠BAE=30°,则∠C的度数为
。
【答案】300
5.（2011黑龙江省哈尔滨市，20，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC,垂足为E，若DE=2，CD=
则BE的长为______________.
【答案】
6.（湖南湘西,5,3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3,AC=4,则AB的长是______________.
【答案】5
7.（2011山西，18，3分）如图，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，则AE的长是______________.
【答案】
；
8.如（2011贵州遵义，15，4分）图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是______________.
【答案】
9.（2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝_____________.
【答案】15
10.（2011黑龙江绥化，10，3分）已知三角形相邻两边长分别为20
和30
，第三边上的高为10
，则此三角形的面积为
.
【答案】
或
（答案不全或含错解，本题不得分）
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