勾股定理.docx

1、勾股定理第二讲 勾股定理【例 1】 一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是_.答案：24提示：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，设其中一条直角边为x，另两条分别为(x-2)，(x+2),则有(x-2)2+x2=(x+2)2，解得x=0或x=8，x=0不合题意舍去，所以三边长为6、8、10，周长为24.【例 2】 在ABC中,若AB=17,AC=8,BC=15,则根据_可知ACB=_.答案：勾股定理逆定理 90提示：勾股定理逆定理是判定一个角是直角的重要方法，AC2+BC2=82+152=289=172=AB2，根据勾股定理的逆定理说明AB的对角是90度.【例

2、 3】 一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了_米.答案：3提示：桥长、偏离桥南头的距离、实际行驶的路程构成一个直角三角形，利用勾股定理，可得实际行驶的路程的平方=152+92=306，所以实际行驶了3米.【例 4】 若三角形中相等的两边长为10 cm,第三边长为16 cm,则第三边上的高为_cm.答案：6提示：等腰三角形三线合一，底边上的高也是底边的中线，所以底边的一半为8，则高为=6.【例 5】 如图8-41,矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为_cm2.图8-41答案：

3、60提示：根据勾股定理求出BC的长，BC2=132-52=144，则BC=12，面积为512=60.【例 6】 等边三角形的边长为4,则其面积为_.答案：4提示：根据勾股定理求出高为=2，面积为底高=4=4.【例 7】 如图8-42,在高3米,坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少需_米.图8-42答案：7提示：由勾股定理求出另一直角边为4，将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和=3+4=7.【例 8】 若+|a-12|+(b-5)2=0,则以a、b、c为三边的三角形是_三角形.答案：直角提示：满足a2+b2=c2.【例 9】 下列是勾股数的一组是_.A.4,5,6

4、 B.5,7,12 C.12,13,15 D.21,28,35答案：D提示：满足a2+b2=c2的正整数是勾股数，只有212+282=352，所以选D.【例 10】 下列说法不正确的是_.A.三个角的度数之比为134的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为345的三角形是直角三角形C.三边长度之比为345的三角形是直角三角形D.三边长度之比为51213的三角形是直角三角形答案：B提示：三个角的度数之比中有两个之和等于另一个，可以判定是直角三角形，另外两边的平方和=第三边的平方，也可以判定是直角三角形，三个角的度数之比为345的三角形，三个角分别是45度、60度和75度，不是直角三角形.【例

5、11】 一个圆桶底面直径为24 cm,高32 cm,则桶内所能容下的最长木棒为_.A.20 cm B.50 cm C.40 cm D.45 cm答案：C提示：根据勾股定理，最长木棒长的平方=242+322，解得40 cm.【例 12】 一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为_米.A.100 B.500 C.1 240 D.1 000答案：D提示：由于东西方向与南北方向互相垂直，两段路程与家离公司距离形成直角三角形，根据勾股定理求得家离公司距离=1 000米.【例 13】 （2011山东滨州，9，3分）在ABC

6、中,C=90, C=72,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)_.A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5【答案】C【例 14】 （2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是_.A2m B.3m C.6m D.9m【答案】C【例 15】 （2011台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走_公尺后，他与神仙百货的距离为340

7、公尺。A 100 B 180 C 220 D 260【答案】【例 16】 （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为_.A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cm【答案】D【例 17】 （2011贵州贵阳，7，3分）如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是_.（第7题图） （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7 【答案】D【例 18】 （2011河北，9，3分）

8、如图3，在ABC中，C=90，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为_.A B2 C3 D4 【答案】B【例 19】 （2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆命题成立的是_（只填写序号）同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形【答案】 【例 20】 (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角A30,B90,BC6米. 当正方形DEFH运

9、动到什么位置,即当AE 米时,有DCAEBC. 【答案】： 【例 21】 （2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果，那么”的形式： 。【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形【例 22】 （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，C 90，BC 12，AC 9，则AB_【答案】15【例 23】 （2011贵州安顺，16，4分）如图，在RtABC中，C=90，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，那么ADC的面积是 【答案】6cm

10、2【例 24】 （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是_cm2. 【答案】【例 25】 （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长_.【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+=16+【例 26】 （2011四川乐山25，12分）如图,在直角ABC中, ACB=90,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试

11、探究线段EF与EG的数量关系_. (1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明:(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明(3) 如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明)【例 27】 如图8-43，在四边形ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,C=90.图8-43(1)求BD的长_;(2)当AD为多少时,ABD=90_.(1)答案：5.提示：在BDC中，C=90，BC=3 cm，CD=4 cm，根据勾股定理，BD2=BC2+CD2，求得BD=5 cm.(

12、2)答案：13.提示：根据勾股定理的逆定理，三角形两边的平方和等于斜边的平方，则三角形是直角三角形，所以AD=13时，可满足AD2=BD2+AB2，可说明ABD=90，AD=13.【例 28】 有一块土地形状如图8-44所示,B=D=90,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积_.图8-44答案：234米2.提示：连结AC，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，根据勾股定理求出AC，进而求出AD.AC=25,AD=24，面积为ABBC+ADCD=234米2.【例 29】 甲、乙两船上午11时同时从港口A出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以

13、每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离_.图8-45答案：50海里.提示：东北方向航行，东南方向航行，则夹角为90度，根据勾股定理，相距= =50.【例 30】 一辆装满货物的卡车,高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图8-46所示的某工厂,问这辆卡车能否通过厂门(厂门上方为半圆形拱门)?说明你的理由._.图8-46提示：如图，作厂门的对称轴，求出PR的长，只要PR车高2.5，就说明卡车能通过厂门.在RtOPQ中，由勾股定理得PQ=0.6米,PR=0.6+2.3=2.92.5.这辆卡车能通过厂门.1. （2011湖北十堰，5，3分）如图，RtABC中，ACB=900，

14、DE过点C，且DE/AB，若ACD=500，则B的度数是_.第5题图A500 B400 C300 D250【答案】B2. （2011湖北随州，11，3分）下列说法中一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形RtABC中，C=90，两直角边a，b分别是方程x27x7=0的两个根，则AB边上的中线长为正确命题有_.A0个 B1个 C2个 D3个【答案】C3. （2011内蒙古呼和浩特市，9,3分）如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为 _.A. B. C.

15、D. 【答案】B4. （2011广东河源，9,4分）如图1,在 RtABC中,B=90.ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,已知BAE=30,则C的度数为。【答案】3005. （2011黑龙江省哈尔滨市，20，3分）如图，在RtABC中，ACB=90，点D是斜边AB的中点，DEAC,垂足为E，若DE=2，CD=,则BE的长为_.【答案】6. (湖南湘西,5,3分)如图，在RtABC中，C=90，若BC=3,AC=4,则AB的长是_.【答案】57. （2011山西，18，3分）如图，已知AB=12，ABBC于B，ABAD于A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，则AE的长是_.【答案】；8. 如（2011贵州遵义，15，4分）图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC中BC边上的高是_.【答案】9. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，C90，BC12，AC9，则AB_.【答案】1510. （2011黑龙江绥化，10，3分）已知三角形相邻两边长分别为20和30，第三边上的高为10，则此三角形的面积为 .【答案】或（答案不全或含错解，本题不得分）