长方体和正方体.docx

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长方体和正方体

第八章长方体的再认识

一、概念

1、长方体的元素：

六个面、八个顶点、十二条棱

2、长方体的三元素的特点：

（主要是外观特征和数量关系）

①长方体的每个面都是长方形；

②长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。

③长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面形状大小都相同。

3、正方体是特殊的长方体。

4、平面是平的，无边无沿，没有厚度和大小，一般用平行四边形来表示。

记作：

平面ABCD或平面

。

5、将水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线成45度角的平行四边形。

6、斜二侧画法画长方体时要注意：

宽画成标注尺寸的一半；看不到的线画成虚线；要标字母和尺寸，要写结论。

长方体ABCD-EFGH、平面ABCD、棱AB、顶点A。

7、空间中两直线的位置关系有三种：

相交、平行、异面

1如果两条直线在同一平面内，有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是相交；

2如果两条直线在同一平面内，没有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是平行；

3如果两条直线既不平行也不相交，称这两条直线的位置关系是异面。

8、直线垂直于平面记作：

直线PQ⊥平面ABCD；直线平行于平面记作：

直线PQ∥平面ABCD。

9、计算公式之一：

（三条棱长分别是a、b、c的长方体）

1棱长和=

；②体积=

；③表面积=

；

④无盖表面积=

、

、

10、计算公式之二：

（边长是a正方体）

①棱长和=12

；②体积=

；③表面积=

；④无盖表面积=

。

11、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。

12、长方体中棱与棱的位置关系有3种，分别是平行、相交、异面。

13、长方体中棱与面的位置关系有2种，分别是：

平行、垂直。

14、长方体中面与面的位置关系有2种，分别是：

平行、垂直。

二、检验垂直或平行的方法：

1、检验直线与平面垂直的方法：

①铅垂线法：

将铅垂线靠近被测直线，如果铅垂线能够紧贴被测直线，说明直线垂直于水平面。

（可用于检验细棒是否垂直于水平面、黑板的边沿是否垂直于水平面）

②三角尺法：

将两把三角尺的一条直角边分别紧贴已知平面并且位置交叉，将两把三角尺的另一条直角边分别靠近被测细棒，如果两条直角边都能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。

（可用于检验细棒是否垂直于墙面）

③合页型折纸法：

将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度后直立于已知平面，用折痕靠近被测直线，如果折痕能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。

2、检验平面与平面垂直的方法：

①铅垂线法；②三角尺法；③合页型折纸法。

3、检验直线与平面平行的方法：

①铅垂线法：

从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。

如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。

（可用于检验黑板的边沿是否平行于水平面）

②长方形纸片法：

将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。

（可用于检验桌面上的灯管是否平行于桌面）

4、检验平面与平面平行的方法：

①长方形纸片法：

将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。

二、长方体中的棱与面的位置关系：

（长方体中有现成的合页型折纸、长方形纸片可供检验）

1、长方体中与某条棱平行的棱有3条，长方体中互相平行的棱共有18对；

2、长方体中与某条棱相交的棱有4条，长方体中相交的棱共有24对；

3、长方体中与某条棱异面的棱有4条，长方体中异面的棱共有24对；

4、长方体中与某条棱平行的面有2个；

5、长方体中与某条棱垂直的面有2个；

6、长方体中与某个面平行的棱有4条；

7、长方体中与某个面垂直的棱有4条；

8、长方体中与某个面平行的面有1个，长方体中互相平行的面共有3对；

9、长方体中与某个面垂直的面有4个，长方体中互相垂直的面共有12对。