人教A版高中数学必修五第三章综合检测.docx
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人教A版高中数学必修五第三章综合检测
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第三章综合检测
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．）
1．设M＝2a（a－2）＋7，N＝（a－2）（a－3），则有（ ）
A．M＞N B．M≥N
C．M＜ND．M≤N
[答案] A
[解析] M－N＝（2a2－4a＋7）－（a2－5a＋6）
＝a2＋a＋1＝（a＋）2＋＞0，∴M＞N.
2．已知a＞0，b＞0，m＝＋，n＝＋，p＝，则m、n、p的大小顺序是（ ）
A．m≥n＞pB．m＞n≥p
C．n＞m＞pD．n≥m＞p
[答案] A
[解析] 取a＝1，b＝4，检验，m＝4.5，n＝3，p＝，∴m＞n＞p排除C，D；又n2－p2＝a＋b＋2－（a＋b）＝2＞0，∴n＞p，∴选A.
3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是（ ）
A．{x|x≥5或x≤－1}
B．{x|x＞5或x＜－1}
C．{x|－1＜x＜5}
D．{x|－1≤x≤5}
[答案] B
[解析] 不等式化为x2－4x－5＞0，
∴（x－5）（x＋1）＞0，∴x＜－1或x＞5.
4．（x－2y＋1）（x＋y－3）<0表示的平面区域为（ ）
[答案] C
[解析] 将点（0,0）代入不等式中，不等式成立，否定A、B，将（0,4）点代入不等式中，不等式成立，否定D，故选C.
5．点（1,2）和点（－1,3）在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围是（ ）
A．a<－B．a>1
C．a<－或a>1D．－[答案] C
[解析] 由题意知，（2a＋1）（3a－3）＞0，∴a＜－或a＞1.
6．设a＞0，b＞0，则下列不等式中正确的有几个（ ）
（1）a2＋1＞a；
（2）（a＋）（b＋）≥4；
（3）（a＋b）（＋）≥4；
（4）a2＋9＞6a；
（5）a2＋1＋＞2.
A．1B．2
C．3D．4
[答案] D
[解析] ∵a＞0，b＞0，∴a2＋1≥2a＞a，∴①正确；
（a＋）（b＋）＝（ab＋）＋（＋）≥2＋2＝4，等号在a＝b时成立，∴②正确；
（a＋b）（＋）＝2＋＋≥4.等号在a＝b时成立，∴③正确；
∵a2＋9－6a＝（a－3）2≥0，∴a2＋9≥6a.等号在a＝3时成立，∴④错误；
a2＋1＋≥2.等号在a＝0时成立，但a＞0，∴a2＋1＋＞2，∴⑤正确．故正确的不等式有4个．
7．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a≥ B．0C．1≤a≤D．0[答案] D
[解析] 由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l：
x＋y＝a在l1、l2之间或在l3上方．∴08．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈（0，]成立，则a的最小值为（ ）
A．0B．－2
C．－D．－3
[答案] C
[解析] ∵x∈（0，]，
∴a≥＝－x－.
由于函数y＝x＋在（0，]上单调递减，
∴在x＝处取得最小值.
∴－（x＋）≤－.
∴a≥－.
9．若x、y满足条件，则z＝－2x＋y的最大值为（ ）
A．1B．－
C．2D．－5
[答案] A
[解析] 作出可行域如下图，当直线y＝2x＋z平移到经过可行域上点A（1，－1）时，z取最大值，
∴zmax＝1.
10．设a＞b＞0，m＝－，n＝，则（ ）
A．m＜nB．m＞n
C．m＝nD．不能确定
[答案] A
[解析] ∵a＞b＞0，∴m＞0，n＞0，且b＜.
m2－n2＝（a＋b－2）－（a－b）＝2（b－）＜0∴m2＜n2，∴m＜n.
11．若实数x、y满足不等式组，则ω＝的取值范围是（ ）
A．[－1，]B．[－，]
C．[－，＋∞）D．[－，1）
[答案] D
[解析] 所求问题转化为求动点（x，y）与定点（－1,1）连线的斜率问题．不等式组表示的可行域如图所示．目标函数ω＝表示阴影部分的点与定点（－1,1）的连线的斜率，由图可见，点（－1,1）与点（1,0）连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到，故－≤w<1.
12．下列函数中，最小值是4的函数是（ ）
A．y＝x＋
B．y＝sinx＋（0C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋logx81
[答案] C
[解析] 当x＜0时，y＝x＋≤－4，排除A；
∵0＜x＜π，∴0＜sinx＜1.y＝sinx＋≥4.但sinx＝无解，排除B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4.等号在ex＝即ex＝2时成立．∴x＝ln2，D中，x＞0且x≠1，若0＜x＜1，则log3x＜0，logx81＜0，∴排除D.
二、填空题（本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上）
13．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是（1，m），则m＝________.
[答案] 2
[解析] 由题意知a>0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，∴a＝2，
∴不等式为2x2－6x＋4<0，即x2－3x＋2<0，
∴114．若点（x，y）在第一象限，且在直线2x＋3y＝6上移动，则logx＋logy的最大值是__________．
[答案] 1
[解析] 由题意x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
∴u＝logx＋logy＝log（x·y）＝log[（2x·3y）]
≤log[（）2]＝1，
等号在2x＝3y＝3，即x＝，y＝1时成立．
[点评] 也可以消元，用二次函数最值求解．
15．不等式（m＋1）x2＋（m2－2m－3）x－m＋3＞0恒成立，则m的取值范围是__________．
[答案] [－1,1）∪（1,3）
[解析] m＋1＝0时，m＝－1，不等式化为：
4＞0恒成立；m＋1≠0时，要使不等式恒成立须，
即，
∴－1＜m＜3且m≠1.
综上得－1≤m＜3且m≠1.
16．在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为__________．
[答案] 13
[解析] 可行域如图，A（2,2.5），B（4,2）．由于x、y∈N故可行域内整点有：
（1,1），（2,2），（3,2）.
可见经过（3,2）点时z取最大值，zmax＝13.
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）设x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2kx＋1－k2＝0的两个实根，求x＋x的最小值．
[解析] 由题意，得x1＋x2＝2k，
x1x2＝1－k2.
Δ＝4k2－4（1－k2）≥0，
∴k2≥.
∴x＋x＝（x1＋x2）2－2x1x2
＝4k2－2（1－k2）
＝6k2－2≥6×－2＝1.
∴x＋x的最小值为1.
18．（本题满分12分）若a＜1，解关于x的不等式＜1.
[解析] a＝0时，x∈R且x≠2；
a≠0时，
＜1⇔＞0
⇔[（a－1）x＋2]（x－2）＞0.
∵a＜1，∴a－1＜0.
∴化为（x－）（x－2）＜0，
当02，
∴不等式的解为2当a<0时，1－a>1，∴<2，
∴不等式解为∴当0＜a＜1时，不等式解集为；当a＜0时，不等式解集为；当a＝0时，解集为{x∈R|x≠2}．
19．（本题满分12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解析]
（1）依题意得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1000×（1＋0.6x）（0整理，得：
y＝－60x2＋20x＋200（0∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为
y＝－60x2＋20x＋200（0（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
当且仅当，
即，解得：
0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足020．（本题满分12分）已知x、y都是正数，则满足x＋2y＋xy＝30，求xy的最大值，并求出此时x、y的值．
[解析] 解法一：
∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2·又x＋2y＋xy＝30，令＝t，则2t＋t2≤30，∵t＞0∴0＜t≤3，∴0当xy＝18时，∵x＝2y.∴x＝6，y＝3.
因此当x＝6，y＝3时，xy取最大值18.
解法二：
由x＋2y＋xy＝30得y＝，
∵y＞0，x＞0，∴0＜x＜30
∴xy＝＝－
＝－
＝－（x－32）－＝－[（x＋2）＋]＋34
≤－2＋34＝18，等号在x＋2＝即x＝6时成立，此时y＝＝3.故当x＝6，y＝3时，xy取最大值18.
21．（本题满分12分）不等式（m2－2m－3）x2－（m－3）x－1<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
[解析] 由m2－2m－3＝0，得m＝－1或m＝3.
当m＝3时，原不等式化为－1<0恒成立；
当m＝－1时，原不等式化为4x－1<0，
∴x<，故m＝－1不满足题意．
当m2－2m－3≠0时，由题意，得
，
即，
∴－综上可知，实数m的取值范围是－22．（本题满分14分）已知关于x的方程（m＋1）x2＋2（2m＋1）x＋1－3m＝0的两根为x1、x2，若x1<1[解析] 设f（x）＝（m＋1）x2＋2（2m＋1）x＋1－3m，显然m＋1≠0.
（1）当m＋1>0时，可画简图：
则，即，不等式组无解．
（2）当m＋1<0时，可画简图：
则，即.
得－2由
（1）、
（2）知m的取值范围是（－2，－1）．
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