高中数学导数知识点归纳总结及例题.docx
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高中数学导数知识点归纳总结及例题
导数
考试知识要点
1.导数（导函数的简称）的定义：
设x0是函数yf（x）定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf（x0x）f（x0）；比值yf（x0x）f（x0）称为函数yf（x）在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限xx
f（x0x）f（x0）y存在，则称函数yf（x）在点x0处可导，并把这个极限叫做limx0xx0xlim
记作f’（x0）或y’|xx0，即f’（x0）=limyf（x）在x0处的导数，f（x0x）f（x0）y.limx0xx0x
注：
①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.
②以知函数yf（x）定义域为A，yf’（x）的定义域为B，则A与B关系为AB.
2.函数yf（x）在点x0处连续与点x0处可导的关系：
⑴函数yf（x）在点x0处连续是yf（x）在点x0处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果yf（x）在点x0处可导，那么yf（x）点x0处连续.
事实上，令xx0x，则xx0相当于x0.
1
于是limf（x）limf（x0x）lim[f（xx0）f（x0）f（x0）]xx0x0x0
lim[x0f（x0x）f（x0）f（x0x）f（x0）xf（x0）]limlimlimf（x0）f’（x0）0f（x0）f（x0）.x0x0x0xx
y|x|，当x＞0时，xx⑵如果yf（x）点x0处连续，那么yf（x）在点x0处可导，是不成立的.例：
f（x）|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为
yyy不存在.1；当x＜0时，1，故limx0xxx
注：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3.导数的几何意义：
函数yf（x）在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf（x）在点（x0,f（x））处的切线的斜率，也就是说，曲线yf（x）在点P（x0,f（x））处的切线的斜率是f’（x0），切线方程为yy0f’（x）（xx0）.
4.求导数的四则运算法则：
（uv）’u’v’yf1（x）f2（x）...fn（x）y’f1’（x）f2’（x）...fn’（x）
（uv）’vu’v’u（cv）’c’vcv’cv’（c为常数）
vu’v’uu（v0）2vv’
注：
①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：
设f（x）2sinx22，g（x）cosx，则f（x）,g（x）在x0处均不可导，但它们和xx
f（x）g（x）sinxcosx在x0处均可导.
5.复合函数的求导法则：
fx’（（x））f’（u）’（x）或y’xy’uu’x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6.函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：
设函数yf（x）在某个区间内可导，如果f’（x）＞0，则yf（x）为增函数；如果f’（x）＜0，则yf（x）为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数yf（x）在区间I内恒有f’（x）=0，则yf（x）为常数.
注：
①f（x）0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在（,）上并不是都有f（x）0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f（x）0是f（x）递减的充分非必
2
要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间（sinx）cosx（arcsinx）’1
x2
（xn）’nxn1（nR）（cosx）’sinx（arccosx）’1
x21’11’（arctanx）II.（lnx）（logax）logaexxx21’
（ex）’ex（ax）’axlna（arccotx）’
III.求导的常见方法：
①常用结论：
（ln|x|）’1x21（xa1）（xa2）...（xan）1.②形如y（xa1）（xa2）...（xan）或y两（xb1）（xb2）...（xbn）x
边同取自然对数，可转化求代数和形式.
③无理函数或形如yxx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，对两边y’1lnxxy’ylnxyy’xxlnxxx.求导可得yx
3
导数中的切线问题
例题1：
已知切点，求曲线的切线方程
曲线yx33x21在点（1，1）处的切线方程为（）
例题2：
已知斜率，求曲线的切线方程
与直线2xy40的平行的抛物线yx2的切线方程是（）
注意：
此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2xb，代入yx2，得x22xb0，又因为0，得b1，故选Ｄ．
例题3：
已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线yx32x上的点（1，1）的切线方程．
例题4：
已知过曲线外一点，求切线方程
1求过点（2，0）且与曲线y相切的直线方程．x
4
练习题：
已知函数yx33x，过点A（016），作曲线yf（x）的切线，求此切线方程．看看几个高考题
1.（2009全国卷Ⅱ）曲线yx在点1,1处的切线方程为2x1
22.（2010江西卷）设函数f（x）g（x）x，曲线yg（x）在点（1,g
（1））处的切线方程为
y2x1，则曲线yf（x）在点（1,f
（1））处切线的斜率为
3.（2009宁夏海南卷）曲线yxe2x1在点（0,1）处的切线方程为。
4.（2009浙江）（本题满分15分）已知函数f（x）x（1a）xa（a2）xb（a,bR）．（I）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值；
5.（2009北京）（本小题共14分）
设函数f（x）x3axb（a0）.
（Ⅰ）若曲线yf（x）在点（2,f（x））处与直线y8相切，求a,b的值；
332x
.1函数的单调性和导数
1．利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地，设函数yf（x）在某个区间可导，
如果在这个区间内f（x）0，则yf（x）为这个区间内的；
如果在这个区间内f（x）0，则yf（x）为这个区间内的
2．利用导数确定函数的单调性的步骤：
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求出函数的导数；
（3）解不等式f（x）＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式f（x）＜0，得函数的单调递减区间．
5
‘‘
【例题讲解】
a）
b）确定函数f（x）=2x3－6x2+7在哪个区间
（2）y=3x－x3
２．已知函数f（x）xlnx，则（）
A．在（0,）上递增B．在（0,）上递减求证：
yx1在（,0）上是增函数。
3
11
ee
32３．函数f（x）x3x5的单调递增区间是_____________．C．在0,上递增D．在0,上递减
6
函数图象及其导函数图象3
1.函数yf（x）在定义域（,3）2.函数f（x）的定义域为开区间（
/
/
3
3），导函数2
yf（x）
3
f（x）在（,3））
2
5.函数yf（x）的图象过原点且它的导函数f’（x）的图象是如图所示的一
条直线，则yf（x）图象的顶点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.（2007年广东佛山）设f（x）是函数f（x）的导函数,y
f（x）象如右图所示，则yf（x）的图象最有可能的是（）
yf（x）
A
B
7.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如下左图所示，则导函数y=f
（
x）的图象可能
为（）
7
8.（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数yf（x）的图像如下右图
所示，则yf（x）的图像可能是
（
）
9.（2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科）已
（x）ax2bxc的图象如右图，则知函数f（x）的导函数ff（x）的图象可能是（）
10.（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一
容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）
（A）（B）（C）
正视图侧视图
‘
（D）
11.（2008广州二模文、理）已知二次函数fx的图象如图1所示,则其导函数f
象大致形状是（）
x的图
8
12.（2009湖南卷文）若函数yf（x）的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数yf（x）．．．
在区间[a,b]上的图象可能是
（）A．B．C．D．a
baba
13.（福建卷11）如果函数yf（x）的图象如右图，那么导
函数yf（x）的图象可能是（）
14.（2008年福建卷12）已知函数y=f（x）,y=g（x）的导函数的图象如下图，那么
y=f（x）,y=g（x）的图象可能是（）
15.（2008珠海一模文、理）设f’（x）是函数f（x）的导函数，将yf（x）和yf’（x）的图
像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
9
A．
B．C．D．16.（湖南省株洲市2008届高三第二次质检）已知函数
则（）yf（x）的导函数yf（x）的图像如下，
函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点
f（x）有2个极大值点，2个极小值点
函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点
函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点函数
17.（2008珠海质检理）函数f（x）的定义域为
（a,b），其导函数f（x）在（a,b））
（A）.1（B）.2（C）.3（D）.4
118.【湛江市·文】函数f（x）lnxx2的图象大致是2
A．
C．
D．
219.【珠海·文】如图是二次函数f（x）xbxa的部分图
象，则函数g（x）lnxf（x）的零点所在的区间是（）
111
422
C.（1,2）D.（2,3）
A.（,）B.（,1）
10
）axbxcx在点x0处取得极大值5
，f’（x）的图象经过点（1,0），（2,0），如图所
的值.
1121.已知函数f（x其导函数y示.求：
（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a,b,c
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