高中数学导数知识点归纳总结及例题.docx

1、高中数学导数知识点归纳总结及例题 导 数考试知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量 x，则函数值y也引起相应的增量 y f(x0 x) f(x0)；比值 yf(x0 x) f(x0)称为函数y f(x)在点x0到x0 x之间的平均变化率；如果极限 x xf(x0 x) f(x0) y存在，则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做 lim x 0 x x 0 xlim记作f(x0)或y|x x0，即f(x0)=limy f(x)在x0处的导数，f(x0 x) f(x0) y. lim x 0 x x 0 x注： x是

2、增量，我们也称为“改变量”，因为 x可正，可负，但不为零.以知函数y f(x)定义域为A，y f(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.2. 函数y f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：函数y f(x)在点x0处连续是y f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y f(x)在点x0处可导，那么y f(x)点x0处连续.事实上，令x x0 x，则x x0相当于 x 0.1 于是limf(x) limf(x0 x) limf(x x0) f(x0) f(x0) x x0 x 0 x 0 lim x 0f(x0 x) f(x0)f(x0 x) f(x0) x f(x0) li

3、m lim limf(x0) f(x0) 0 f(x0) f(x0). x 0 x 0 x 0 x x y| x|，当 x0时， x x如果y f(x)点x0处连续，那么y f(x)在点x0处可导，是不成立的. 例：f(x) |x|在点x0 0处连续，但在点x0 0处不可导，因为 y y y不存在. 1；当 x0时， 1，故lim x 0 x x x注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(x0,f(x)处的切线

4、的斜率是f(x0)，切线方程为y y0 f(x)(x x0).4. 求导数的四则运算法则：(u v) u v y f1(x) f2(x) . fn(x) y f1(x) f2(x) . fn(x)(uv) vu vu (cv) cv cv cv（c为常数）vu vu u (v 0) 2v v 注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设f(x) 2sinx 22，g(x) cosx ，则f(x),g(x)在x 0处均不可导，但它们和xxf(x) g(x) sinx cosx在x 0处均可导.5. 复合函

5、数的求导法则：fx( (x) f(u) (x)或yx yu ux复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则y f(x)为增函数；如果f(x)0，则y f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f(x)=0，则y f(x)为常数.注：f(x) 0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在( , )上并不是都有f(x) 0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x) 0是f（x）递减的充分非必2 要条件.一般地，如果f（x）在某区间 (sinx) co

6、sx (arcsinx) 1 x2(xn) nxn 1（n R） (cosx) sinx (arccosx) 1 x2 111(arctanx) II. (lnx) (logax) logae xxx2 1(ex) ex (ax) axlna (arccotx) III. 求导的常见方法： 常用结论：(ln|x|) 1x2 1 (x a1)(x a2).(x an)1.形如y (x a1)(x a2).(x an)或y 两(x b1)(x b2).(x bn)x边同取自然对数，可转化求代数和形式.无理函数或形如y xx这类函数，如y xx取自然对数之后可变形为lny xlnx，对两边y1 ln

7、x x y ylnx y y xxlnx xx. 求导可得yx3 导数中的切线问题例题1：已知切点，求曲线的切线方程曲线y x3 3x2 1在点(1， 1)处的切线方程为（ ） 例题2：已知斜率，求曲线的切线方程与直线2x y 4 0的平行的抛物线y x2的切线方程是（ ） 注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用 法加以解决，即设切线方程为y 2x b，代入y x2，得x2 2x b 0，又因为 0，得b 1，故选例题3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法 求过曲线y x3 2x上的点(1， 1)的切线方程 例题4：已知过曲

8、线外一点，求切线方程1求过点(2，0)且与曲线y 相切的直线方程 x 4 练习题： 已知函数y x3 3x，过点A(016) ，作曲线y f(x)的切线，求此切线方程看看几个高考题 1.（2009全国卷）曲线y x在点 1,1 处的切线方程为2x 122.（2010江西卷）设函数f(x) g(x) x，曲线y g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y 2x 1，则曲线y f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为3.（2009宁夏海南卷）曲线y xe 2x 1在点（0,1）处的切线方程为 。4.（2009浙江）（本题满分15分）已知函数f(x) x (1 a)x a(a 2)x b (a,b

9、R) （I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3，求a,b的值；5.（2009北京）（本小题共14分）设函数f(x) x 3ax b(a 0).（）若曲线y f(x)在点(2,f(x)处与直线y 8相切，求a,b的值； 332x.1 函数的单调性和导数 1利用导数的符号来判断函数单调性:一般地，设函数y f(x)在某个区间可导，如果在这个区间内f(x) 0，则y f(x)为这个区间内的；如果在这个区间内f(x) 0，则y f(x)为这个区间内的2利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f (x)0，得函数的单调

10、递增区间；解不等式f (x)0，得函数的单调递减区间5 【例题讲解】a) b) 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间(2)y=3xx3 已知函数f(x) xlnx，则（ ）A在(0, )上递增 B在(0, )上递减 求证：y x 1在( ,0)上是增函数。 3 1 1 e e 32函数f(x) x 3x 5的单调递增区间是_ C在 0, 上递增 D在 0, 上递减 6 函数图象及其导函数图象 31. 函数y f(x)在定义域( ,3)2. 函数f(x)的定义域为开区间( /3,3)，导函数2y f (x)3f (x)在( ,3)） 2 5. 函数y f(x)的图象过原点且它的导函数f(

11、x)的图象是如图所示的一条直线，则y f(x)图象的顶点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6. (2007年广东佛山)设f (x)是函数f(x)的导函数,y f (x)象如右图所示，则y f(x)的图象最有可能的是（ ）y f (x) AB7. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为( )7 8. （安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数y f(x)的图像如下右图所示，则y f (x)的图像可能是 （ ） 9. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已(x) ax2 bx c的图象

12、如右图，则知函数f(x)的导函数f f(x)的图象可能是( ) 10. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（ ）(A) (B) (C)正视图侧视图(D)11. (2008广州二模文、理)已知二次函数f x 的图象如图1所示 , 则其导函数f象大致形状是（ ） x 的图8 12. （2009湖南卷文）若函数y f(x)的导函数在区间a,b上是增函数，则函数y f(x)在区间a,b上的图象可能是( ) A B C D ab a b a13. （福建卷11）如果函数y f(x)的图象如右图，那么导

13、函数y f (x)的图象可能是 ( ) 14. （2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （ ） 15. (2008珠海一模文、理)设f(x)是函数f(x)的导函数，将y f(x)和y f(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 9 AB C D 16. (湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数则（ ） y f(x)的导函数y f (x)的图像如下，函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点f(x)有2个极大值点，2个极小值点函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点函数f(x)有1个极大值点

14、，3个极小值点 函数 17. (2008珠海质检理)函数f(x)的定义域为(a,b)，其导函数f (x)在(a,b) ）(A).1 (B).2 (C).3 (D).4118. 【湛江市文】函数f(x) lnx x2的图象大致是 2 ACD 219. 【珠海文】如图是二次函数f(x) x bx a的部分图象，则函数g(x) lnx f (x)的零点所在的区间是 （ ）111422C.(1,2) D.(2,3) A.(,) B.(,1)10 ) ax bx cx在点x0处取得极大值5，f(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所的值.11 21. 已知函数f(x其导函数y 示.求： （）x0的值；（）a,b,c