74镶嵌2.docx
《74镶嵌2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《74镶嵌2.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
74镶嵌2
7.4镶嵌
（二）
三维目标
1．进一步研究平面图形的镶嵌．
2．利用多边形的内角和寻找多边形镶嵌的条件．
3．经历探索多边形镶嵌的过程，发展学生的动手能力，进一步发展学生的合情推理能力、合作能力和空间观察．
4．通过多种平面图形的密铺，即镶嵌，培养学生创造性思维和审美意识．
教学重点:
多边形的内角和与镶嵌．
教学难点:
两种以上不同多边形的镶嵌．
导入新课
多边形的角与三角形内角和关系．
活动1．想一想：
如图1所示图形哪些是由线段围成的图形？
由线段围成的图形是怎样表示的？
构成这些图形的元素是什么？
不相邻顶点的连线称什么线呢？
答案：
如图1中，图
（1）（3）是由线段围成的图形．在同一平面内，由线段首尾顺次相接的图形叫多边形；如图3
（2）所示的五边形记为“五边形ABCDE”．组成多边形的要素：
（1）多边形的边──首尾顺次连接的线段叫多边形的边，n边形有n条边；
（2）多边形的内角──多边形相邻的两边组成的角叫多边形内角，如图2所示，多边形内角有∠A，∠B，∠C，∠D，∠E；（3）多边形的外角──多边形一条边，如BC与它相邻边DC延长线所组成的角叫多边形的外角，∠BCF是多边形的一个外角；（4）多边形的对角线──连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．AD，AC是五边形ABCDE的对角线．
试一试：
如图3所示，四边形被一条对角线分割成两个三角形，五边形被两条对角线分割成三个三角形，……n边形被同一顶点的对角线分成多少个三角形呢？
由此你得到求四边形、五边形、n边形内角和的方法了吗？
四边形、五边形、n边形的内角和是多少呢？
答案：
四边形内角和转化为两个三角形的内角和，内角和为180°×2=180°×（4-2），五边形内角和转化为三个三角形的内角和，五边形内角和为180°×3=180°×（5-2）…n边形的内角和转化为（n-2）个三角形的内角和，n边形内角和为180°×（n-）2，这就得出了多边形的内角和定理：
n边形内角和为（n-2）·180°（n≥3）．
做一做：
如图4所示，在
（1）
（2）（3）的图中分别是四边形ABCD、五边形ABCDE、六边形ABCDEF，它们的外角和分别是多少？
n边形的外角和呢？
答案：
图4
（1）∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-（∠A+∠B+∠C+∠D）=4×180°-360°
=（4-2）×180°=2×180°=360°；
图4
（2）∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=5×180°-（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）
=5×180°-3×180°=2×180°=360°；
图4（3）∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=6×180°-（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F）
=6×180°-4×180°=2×180°=360°；…（你理解吗？
）
n边形内角和∠1+∠2+…+∠n=n×180°-（n-2）·180°=2×180°=360°，可见n边形的外角和为360°．
推进新课
读一读:
平面镶嵌
随着日常生活水平的提高，人们对居室的布置、装潢更趋于完美、科学，卧室地面铺地板十分讲究，如图5所示是用相同规格的樱花木铺成的木地板，板与板之间抽出3边槽，密铺后将不会出现缝隙．
平面镶嵌：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫多边形覆盖平面或平面镶嵌问题．
案例1现有一张长方形墙纸，宽为4，长为9，要把它割成全等的2块，使这2块合成一个正方形，如图6所示，4×9=6×6，每一个小正方形边长为1个单位，长方形宽为4个单位，长为9个单位，如图阴影与空白部分把长方形分成面积相等的两部分．
案例23个相等的正方形如图7所示位置，把这个图形截去一部分使剩余部分合成一个中央有正方形方孔的正方形，利用这种余料可以拼成新的地板图案．
例题讲解:
【例1】如图8所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
分析：
把不规则的图形变为规则的图形，作辅助线连接BE，运用三角形内角和定理，转化∠D，∠C为规律多边形内角，∠D+∠C=∠1+∠2．
解答：
连接BE．由四边形内角和，知∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，
在△DOC与△BOE中，∠DOC=∠BOE，∴∠1+∠2=∠D+∠C，
所以∠A+∠B+∠C+∠E+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°．
方法总结：
把不规则图形转化为规则的多边形再求值，其中∠D+∠C=∠1+∠2，分析得出这个关系是关键，把∠D，∠C这两个不规则图形中的角转化为四边形ABEF内角的一部分．
【例2】
（1）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m=______，n=______，k=______．
（2）十二边形内角和为______，外角和为______．
（3）如果n边形内角和为1080°，则n_____，这个n边形每个内角相等，其中每一个内角为________．
（4）四边形中的外角和等于______，在它的外角中至多只能有_______个钝角，最多只能有______个锐角．
分析：
运用多边形内角和、对角线、外角和及内外角的关系解答．
（1）m边形一个顶点一般能引m-3条对角线，m-3=7，则m=10，没有对角线的多边形显然是三角形，k边形对角线与本身边数相等，即
=k，∴k=5．
（2）当n=12时，则十二边形内角和=（n-2）·180°=（12-2）×180°=1800°，外角和等于360°．
（3）（n-2）·180°=1080°，解得n=8，内角=
=135°．
（4）360°；如果有四个外角是钝角，则4α>360°，∴钝角最多只能有3个，内角中的锐角最多只有3个，如果有4个，4α<360°．
解答：
（1）1035
（2）1800°360°（3）8135°（4）360°33
方法总结：
理解对角线意义，正确区别每个顶点所引的对角线条数与n边形共有对角线条数公式：
n边形共有对角线
条，因为每个顶点所引对角线为（n-3）条，n个顶点所引对角线乘以n，即为n（n-3），但两个顶点之间重复一次，即为
条．
【例3】
（1）一个正多边形的各内角都等于120°，则n=______，一个n边形内角和与外角和相等，则n=_______．
（2）一个n边形的内角和是外角和的2倍，则n=_______．
（3）四边形ABCD中，∠1，∠2，∠3，∠4分别是∠A，∠B，∠C，∠D的外角，若∠A：
∠B：
∠C：
∠D=1：
2：
3：
4，则∠1：
∠2：
∠3：
∠4=_______．
（4）正方形、正五边形、正六边形的每个外角为α、β、γ，则α+β+γ=________．
（5）凸n边形的n个内角与某一个外角之和为1350°，则n=______．
分析：
（1）
（2）由多边形内角和外角和求解．（3）分别求出∠A，∠B，∠C，∠D的度数，再求∠1，∠2，∠3，∠4，∠A=
×360°=36°，∠B=
×360°=72°，∠C=
×360°=108°，∠D=
×360°=144°，则∠1=180°-∠A=144°，∠2=180°-∠B=108°，∠3=180°-∠C=72°，∠4=180°-∠D=36°．
（4）正方形每个外角为
=90°，正五边形每个外角为
=72°，正六边形每个外角为
=60°．
（5）令某外角为α，（n-2）×180°+α=1350°，令α=0，解得n=9.5，令α=180°，解得n=8.5，∴8.5解答：
（1）6四
（2）6（3）4：
3：
2：
1（4）222°（5）9
方法总结：
（5）题运用极端原理解决问题，（n-2）×180°+α=1350°，令α=0°或180°，求出n的两个极端值n=8.5，n=9.5，可判定n=9．
【例4】如图9所示，是用竹条做成的龙骨风筝．若∠1=∠3，∠2=∠4．
（1）问竹条AC与BD是否垂直，并说明理由．
（2）若∠1=45°，∠5=∠6=
∠BAD，求四边形ABCD各内角度数．
分析：
（1）运用三角形内角和探求∠3+∠4=∠2+∠1=90°．
（2）运用三角形内角和及多边形内角和求解．
解答：
（1）在△ABD中，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴2（∠1+∠2）=180°，即∠1+∠2=90°．∴∠AEB=180°-90°=90°．
∴AC⊥BD．
（2）∵∠1=45°，而∠1=∠3，∴∠3=45°，∠2+∠4=∠BAD=180°-2∠1=180°-2×45°=180°-90°=90°，∠5=∠6=
×∠BAD=
×90°=30°，∠EDC=90°-∠6=90°-30°=60°．
∴∠ADC=∠ABC=60°+45°=105°．四边形内角分别为105°，60°，105°，90°．
方法总结：
探求AC与BD的位置关系，关键是探索∠AED是否为90°，这里运用整体求值法，求出∠1+∠2=90°，在求∠ABC，∠ADC时，运用角的求和法，分别求出组成∠ABC的两个角后再相加．
【例5】如图10所示，将五块十字形的墙面瓷砖改铺成正方形图案，怎么切割呢？
试一试!
分析：
此问题属于平面的镶嵌问题：
（1）要密铺；
（2）改为正方形．方法一：
在外围的四个正方形中，分别切割一块小直角三角形，面积为
×正方形面积．如图11所示；方法二：
只需剪切两次即可，如图12所示．
解答：
方法一：
如图11
（1）
（2）所示．
方法二：
如图12
（1）
（2）所示．
课堂小结
一般地，多边形能覆盖平面需要满足两个条件：
（1）拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）．
（2）相邻的多边形有公共边．
布置作业:
预习课本小结内容．
活动与探究
探索用两种正多边形镶嵌平面的条件．
[过程]让学生先从简单的两种正多边形开始探索．
（1）正三角形与正方形
正方形的每个内角90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个90°，则60x+90y=360，
即2x+3y=12，
又x、y是正整数，解得x=3，y=2．
即每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内有进行拼接．（如图13）
（2）正三角形与正六边形
正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个120°角，即60x+120y=360°，
即x+2y=6，x、y是正整数．
解得
即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如图14．
（3）正三角形和正十二边形
与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形．
由以上讨论可找到镶嵌平面的条件．
[结论]由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件；
（1）n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；
（2）n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍．
备课资料
一、归纳．延伸．拓展
1．多边形
（1）多边形定义：
在同一平面内不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的几何图形叫多边形，如图15所示，多边形记为五边形ABCDE．
（2）多边形的边：
所相连的线段叫多边形的边，如图15中的AB，BC，CD，DE，EA．
（3）多边形的角：
①内角──多边形相邻的两边所组成的角叫多边形内角，如∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，是五边形内角．②多边形的外角──多边形的一边与相邻一边延长线组成的角叫多边形的外角，如∠CBF是多边形的一个外角，五边形有五个外角．
（4）多边形的对角线：
多边形不相邻的两个顶点的连线组成的线段叫多边形的对角线，n边形从一个顶点可以引（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，n边形内对角线条数为
．
2．多边形的内角和及外角和
（1）多边形的内角和：
多边形的内角和为（n-2）×180°（n≥3）．
（2）多边形的外角和：
多边形的外角和为360°．
3．正多边形
（1）正多边形：
各边相等、每个内角相等的多边形叫正多边形．
（2）正三角形、正方形、正五边形、正六边形，每个内角分别为60°、90°、108°、120°．
二、参考练习
1．如图16，五角星顶角为∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，求：
（1）∠AOE；
（2）阴影部分的五边形内角和．
2．如图17，给你一些正三角形、正方形、正六边形，你能设计出几种平面镶嵌的方案？
（至少两种）
3．如图18所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
4．如图19，△ABC是钝角三角形，∠CAB<∠CBA<∠ACB，∠CAB、∠ACB外角平分线交对边延长线于D、E，且∠D=∠ACD，∠CAE=∠CEB，求∠BAC的度数．
5．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠，这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形填写表中空格：
正多边形边数
3
4
5
6
…
n
正多边形每个
内角的度数
60°
90°
…
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中至少选一种或在其他正多边形中选一种，请画出用这些不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这些正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？
请说明你的理由．
生活应用小乐园
6．你玩过“七巧板”吗？
那是我国古代人民创造的益智游戏，流传于世界不少国家，如图21，把分成七部分的正方形复写在原纸板上，然后把它割开，那么这7个“部件”就能拼成如图所示的图案：
鸟、猫、水壶．
试问：
（1）用2块部件能组成一个三角形吗？
3块呢？
5块呢？
（2）用哪些部件能组成正方形？
还能组成什么样的多边形？
答案：
1．
（1）∠AOE=108°（点拨：
∠AOE=36°+72°=108°）；
（2）540°+180°×2-2×180°=540°（点拨：
连BD、CE，把阴影部分分为一个五边形和两个三角形再减去2个平角）．
2．见下图，任选两种．
（1）由正三角形镶嵌
（2）由正方形镶嵌（3）由正六边形镶嵌
（4）正方形与三角形镶嵌;（5）正六边形与正三角形镶嵌;（6）正三角形、正方形、正六边形镶嵌
图22
3．540°．
点拨：
如图23，∠1=180°-∠3=，∠3=360°-∠B-∠D-∠F，
∴∠1=180°-360°+∠B+∠D+∠F．
∵∠2=180°-∠4，∠4=360°-∠C-∠E-∠G，
∴∠2=180°-360°+∠C+∠E+∠G，而∠A+∠1+∠2=180°，∠A+180°-360°+∠B+∠D+∠F+180°-360°+∠C+∠E+∠G=180°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．
4．12°．
点拨：
设∠CAB=∠CEA=x，则∠FCE=2x，∠FCB=4x，∠D=∠DCA=4x，在△ACD中，90°-
+8x=180°，∴x=12°．
5．
（1）
3
4
5
6
…
n
108°
120°
n
（2）①由一个正多边形密铺平面的有：
正三角形、正方形、正六边形，见图17．②由2个正多边形平面镶嵌，得出以下情况：
（a）正三角形与正方形；（b）正三角形与正六边形；（c）正十二边形与正三角形（正十二边形每个内角为110°，3×110°＋30°＝360°）如图24
（1）；（d）正八边形与正方形（正八边形每个内角为135°，135°×2+90°=360°）如图24
（2）．③由3个正多边形进行平面镶嵌：
（a）见图22（6）；（b）正六边形与正方形与正十二边见图24（3）；（c）正三角形、正六边形与正方形见图24（4）．
6．
（1）用2块部件能组成一个三角形：
①+②，③+⑤，用3块不能，5块能组成三角形③+④+⑤+⑥+⑦，等等．
（2）能组成长方形③+④+⑤；a直角梯形：
④+⑤，④+⑤+⑥，③+④，b五边形：
⑦+①+②，等等．
升级会员 