数学一答案及解题分析.docx
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数学一答案及解题分析
数学
（一）试题答案与解题分析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
（1）设y=y（x）在任意点x∈（0,+∞）满足
⎛ð⎞
∆y=（y+xsinx）∆x+o（∆x），若y⎜
x⎝
⎟=0，则y（x）=。
2⎠
【解】y=y（x）在任意点x∈（0,+∞）满足∆y=（y+xsinx）∆x+o（∆x）
x
则f（x）在（0,+∞）内可导，且
y′=
y+xsinx，于是得一阶线性微分方
x
⎧1
⎪y′−xy=xsinx
程初值问题，
⎨⎛ð=⎞
⎪y⎜
⎟=0
1dx
⎝2⎠
−
1dx
y′=e∫x
⎛ð=⎞
（∫xsinxe∫x
dx+C）=x（∫sinxdx+C）=x（−cosx+C）
由y⎜
⎟=0得C=0。
于是y=−xcosx。
⎝2⎠
（2）设Ω={（x,y,z）∈R3|x2+y2+（z−1）2≤1,
x≥0,
y≥0}则
∫∫∫
Ω
dΩ
x2+y2+z2
=。
【解】I=∫∫∫
Ω
dVð
=2
∫
x2+y2+z20
ð
∫
d⎝2
0
sinϕdϕ∫
2cosϕ
0
1⋅r2
r
dr=ð
3
（3）若f（x）=2nx（1−x）n，记M
=max{f（x）}，则limM
=。
nx∈[0,1]
n→∞n
【解】f'（x）=2n（1−x）n−1（1−（n+1）x）=0，得到唯一驻点x=
1
。
n+1
由f（x）在[0,1]上有最大值，可能的最大值点是在x=0，1或
n
1
n+1
取到，比较三点的函数值
12n⎛1⎞
得到Mn=
f（）=⎜1−⎟
n+1n+1n+1
⎝⎠
lim
n
2lim⎛11⎞。
Mn=
n→∞
⎜
n→∞⎝
−⎟
n+1⎠
⎤
−x
x
⎛1⎞
⎡⎛1
−（x+1）
⎞
x+1
=lim⎜1−
x→∞⎝
⎟
x+1⎠
=2lim⎢⎜1−
x→∞⎢⎣⎝
⎟
x+1⎠
⎥=2e−1。
⎦⎥
（4）假设在过点O（0,0）和A（ð,0）的曲线族y=asinx（a>0））中，有一条曲线L，使沿该曲线从
∫
O到A的积分（1+y3）dx+（2x+y）dy的值达到最小，则该曲线为。
L
3
【解】I（a）=∫L（1+y
）dx+（2x+y）dy=
∫（1+y3
L+AO
）dx+（2x+y）dy+ð
=∫∫（2−3y2）dxdy+ð
ð
=∫dx∫
asinx
（2−3y2）dy+ð=4a−
4a3+ð
D003
I′（a）=4−4a2=0,
a=1。
答案为
sinx。
（5）设〈1,〈2,〈3是3维列向量，记矩阵A=（〈1,〈2,〈3），B=（〈3,〈2,〈1），C=2A−B，已知
A=1，则C=．
【解】[方法1]
C=2A−B
=2（〈1,〈2,〈3）−（〈3,〈2,〈1）
=（2〈1−〈3,〈2,2〈3−〈1）
⎛20
⎜
−1⎞
⎟
=（〈1,〈2,〈3）⎜010⎟
⎝
2
⎠
⎜−10⎟
C=A
20−1
010
−102
=3
[方法2]
C=2A−B
=2（〈1,〈2,〈3）−（〈3,〈2,〈1）
=2〈1−〈3,〈2,2〈3−〈1
=2〈1,〈2,2〈3
+−〈3,〈2,−〈1
=4〈1,〈2,〈3−〈1,〈2,〈3
=3〈1,〈2,〈3
=3
（6）设总体X~N（0,⎛2）,设X1,X2,L,X15为其简单样本，则的分布是.
i
i=1
【解】由设X1,X2,L,X15为iid,~N（0,⎛2）,故线性和∑10（−1）X
10
2∑（−1）iXi
i=1
i=11
i
~N（0,10⎛2）,
i
15
i
∑X2服从
i=11
i=1
i
因此∑10（−1）iX/
10⎛
~N（0,1）又X/⎛
~N（0,1）,故∑15（X
/⎛）2~x2（5）。
依t分布的定义（典型模式）,注意下式分子与分母独立,知
i
−1
i
i
10⎛15⎞
i
10i15
2∑（−1）1X⎜
∑X2/5⎟
2∑（−1）Xi/
∑X2=i=1⎜=i=11
⎟~t（5）
i=1
i=11
10⎛⎜⎛⎟
⎜⎟
⎝⎠
答案为t（5）
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
）
（7）若limcos2x−
cos2x
=a≠0,则（）。
x→0
1+xk−1
（A）
k=2,a=−2。
（B）
k=−2,a=−2。
（C）
k=2,a=2。
（D）
k=−2,a=2。
【解】
limcos2x−
cos2x
x→0
1+xk−1
=2lim
cos2
2x−cos2x
x→0
=2lim
xk（cos2x+
cos2x−1
cos2x）
x→0
xk（1+
1）
cos2x
−1（2x）2，
=2lim2=a≠0
x→0
xk（1+
1）
cos2x
得到k=2,a=−2。
答案：
（A）。
⎪⎧
（8）设P0（x0,y0,z0）是条件极值问题⎨
minu（x,y,z）=x2+2y2+3z2
的解,
s.t
z−（x−1）2−y2−1=0
0
0
0
且x2+2y
2+3z
2=R2
。
又设ð1
ð2
分别是曲面x2+2y2+3z2=R2
和曲面
000
z−（x−1）2−y2−1=0在点P（x,y,z）的切平面,则（）。
（A）ð1与ð2互相垂直．
（B）ð1与ð2重合．
（C）ð1与ð2的法线的夹角是45︒．
（D）A,B,C都不正确．
【解1】构造辅助函数L（x,y,z,⎣）=x2+2y2+3z2−⎣（z−（x−1）2−y2−1）。
由拉格朗日乘子
法，在P0（x0,y0,z0）有
∂L
∂xP0
∂L
∂y
P0
∂L
∂zP0
=2x0+2⎣（x0−1）=0
=4y0+2⎣y0=0
=6z0−⎣=0
1
解这个方程组得，⎣=−2,x0=2,z0=−
3
v
。
ð1在P0的法矢量为
v
n1=（2x0,4y0,6z0）=（4,4y0,−2）；ð2在P0的法矢量为n2=（−2,−2y0,1）。
1212
显然有nv//nv。
又因为ð和ð相交，所以它们重合。
【解2】首先ð1//ð2，其次都过点P（x0,y0,z0），因此重合。
答案：
B。
∞∞a
n
（9）设常数〈>0，正项级数∑an收敛，则级数∑（−1）
n+2
（）。
n=1
n=1
n2+1+cos〈
（A）发散。
（B）条件收敛。
（C）绝对收敛。
（D）敛散性与〈的值有关。
【解】答：
（C）。
若正项级数收敛，所以∞
收敛。
另外有
∞
∑an
n=1
∑
n=1
an+2
（−1）n
an+2
2
=1⎛=1⎞
≤⎜an+2+2⎟
n+1+cos〈2⎝
n+1+cos〈⎠
级数∞
1对任意的常数〈都收敛，所以原级数绝对收敛。
n=1
∑n2+1+cos〈
（10）设由ez
=xy+yz+zx确定的隐函数为z=
f（x,y），则z=
f（x,y）存在的充分条件与曲面
z=f（x,y）在点（1,1,0）处的切平面方程分别为（）。
（A）
ez−x−y≠0与x+y+z=2。
（B）
ez+x+y≠0与x+y+z=2。
（C）
ez−x−y≠0与x−y−z=2。
（D）
ez+x+y≠0与x−y−z=2。
【解】
F（x,y,z）=ez−（xy+yz+zx），隐函数z=
f（x,y）存在的充分条件是
z
F（x,y,z）=ez−x−y≠0。
F（1,1,0）=（−y−z）
=−1，
x（1,1,0）
（1,1,0）
z
Fy（1,1,0）=（−x−z）（1,1,0）=−1，Fz（1,1,0）=（e
−x−y）=−1，
切平面为：
（x−1）+（y−1）+z=0，即x+y+z=2。
答案为（A）。
（11）设⎣1,⎣2是3阶矩阵A的两个不同的特征值，〈1,〈2是A的属于⎣1的线性无关的特征向量，〈3
是A的属于⎣2的特征向量，则〈1+A〈3，A（〈2−〈3），A〈1+〈3线性相关的充分必要条件是（）。
（A）
⎣1=0或⎣1⎣2=1
（B）
⎣2=0或⎣1⎣2=1
（C）
⎣1≠0且⎣1⎣2≠1
（D）
⎣2≠0且⎣1⎣2≠1
⎛1
⎜
⎜
【解】（〈1+A〈3,A（〈2−〈3）,A〈1+〈3）=（〈1,〈2,〈3）⎜0
⎝⎣2
0
⎣1
−⎣2
⎣1⎞
⎟
0⎟
1
⎟
⎠
由〈1,〈2,〈3
1
0
线性无关，又
⎣2
0
⎣1
−⎣2
⎣1
0=⎣1（1−⎣1⎣2）=0
1
⇔⎣1=0,or⎣1⎣2=1
所以，选（A）。
（12）对3阶矩阵A的伴随矩阵A*先交换第1行和第3行，然后将第2列的−2倍加到第3列，得到矩阵−E，其中E是3阶单位矩阵，则A=（）。
⎛1⎞⎛
⎜⎟⎜
−1⎞
⎟
⎟
⎛1⎞⎛1⎞
⎜
⎜⎟⎜⎟
⎜
（A）⎜
1−2⎟或⎜
−12⎟
。
（B）⎜
1−2⎟或⎜−21⎟。
⎟
⎝1⎠
⎛−1⎞
⎜⎟
⎝−1
⎜
⎛
⎜
⎟
⎜
⎠
⎠
−1⎞
⎟
⎝1⎠⎜
⎛1⎞⎛
⎜
1
⎝⎠
⎜⎟⎜
⎟
⎠
⎝
⎠
−1⎞
⎟
⎜
（C）⎜
−12⎟或⎜2−1
⎟。
（D）
⎜−21
⎟或⎜2−1⎟。
⎠
⎝−1
⎟⎝−1⎟
⎜⎟⎝−1⎟
【解】依题意
⎛
⎜
1
1⎞⎛1⎞
⎟⎜⎟
⎜1⎟A∗⎜
1−2⎟=−E
⎜
1
⎟
⎝
⎠
⎝1⎠⎜⎟
⎛1⎞⎛
⎜⎟⎜
⎜1−2⎟⎜
11
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
1⎞
⎟
1⎟A∗=−E，
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜−2
⎝1
1⎞
⎟
1⎟A∗=−E，
⎟
⎠
2
A=1
所以，A=±1.于是
⎛1⎞⎛
⎜⎟⎜
⎠
−1⎞
⎟
⎜
A=⎜−21
⎟或A=⎜2−1
⎟，故选（D）。
⎜
⎟
⎝1⎠
⎝−1⎟
（13）设P（A|B）=P（B|A）=1
4
P（A）=2.则（）
3
（A）A与B独立,且P（A∪B）=5/12;
（B）A与B独立,且P（A）=P（B）;
（C）A与B不独立,且P（A∪B）=7/12;
（D）A与B不独立,且P（A|B）=P（A|B）.
答案为（C）
（14）设总体X二阶矩存在,X1,X2,K,Xn是其简单样本，n>1,样本均值为X.
则对X期望估计时,（）.
（A）（B）
（X1+X）/2不是无偏,但它比X更有效.（X1+X）/2比X更有效.
（C）利用切贝雪夫定理，（X1+X）/2以概率收敛于0，因此是一致估计.（D）X比（X1+X）/2更有效.
答案为（D）
三、解答题（本题9小题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
∞
∞
（15）（本题满分11分）求幂级数∑
n=1
xn+1
n
∞
的和函数，并求∑
n=1
（−1）n+1
的和。
n
[解]方法1：
∑（−1）
n−1
xn=ln（1+x）
，其中
x∈（−1,1]
，幂级数
n=1n
∞
∑
n=1
xn+1
n
∞n
x
n
=x∑
n=1
=−xln（1−x）=S（x），其中x∈[−1,1），
∞
而∑
n=1
（−1）n+1
相当于
n
S（−1）
，且由
S（x）∈C[−1,1）得，
S（−1）=
lim
x→−1+
S（x）=
lim[−xln（1−x）]=ln2。
x→−1+
x
∞n
n
方法2：
令S1（x）=∑
n=1
，其收敛域即为S1（x）的定义域，为[−1,1），
且S（x）=xS1（x）。
任给x∈[−1,1），由逐项求导公式得，
′
S1′（x）=
∞⎛n⎞
x
∑⎜⎟
∞
=∑xn−1=
1,x∈（−1,1）。
n=1⎝n⎠
n=1
1−x
x
因此S（x）=S（x）−S（0）=
1dt=−ln（1−x）,x∈（−1,1）。
111
∫01−t
所以S（x）=xS1（x）=−xln（1−x）,x∈（−1,1）。
由S（x）∈C[−1,1）得，S（−1）=
limS（x）=
x→−1+
lim[−xln（1−x）]=ln2。
x→−1+
（16）（本题满分12分）已知f（x,y）=（x−6）（y+8），求f（x,y）在点（x,y）处的最大方向导数
g（x,y），并求g（x,y）在D={（x,y）x2+y2≤25}上的最大、最小值。
【解】由于
gradf（x,y）=（y+8,x−6），所以根据梯度的几何意义可知
g（x,y）=
（y+8）2+（x−6）2。
考虑h（x,y）=g2（x,y）=（x−6）2+（y+8）2，由于
⎧hx′=2（x−6）=0,
⎨
⎩h′y
=2（y+8）=0
在区域D上无解，所以h（x,y）的最大、最小值均在D的边界x2+y2=25上取到。
⋯7分
令F（x,y,⎣）=（x−6）2+（y+8）2+⎣（x2+y2−25），解
⎧Fx′=2（x−6）+2⎣x=0,
⎪
⎨Fy′=2（y+8）+2⎣y=0,
⎪
⎣
⎩F′=x2+y2−25=0
⎧x=3,
得⎨
⎩y=−4
⎧x=−3,
或⎨
⎩y=4.
因为h（3,−4）=25,h（−3,4）=225，所以g（x,y）在区域D上的最大、
最小值分别为
15,5。
（17）（本题满分11分）设f（x）在[a,b]上一阶可导，在（a,b）内二阶可导，f（a）=
f（b）=0，
f′（a）f′（b）
>0，证明：
（1）存在⎩∈（a,b），使f（⎩）=0；
（2）存在ç∈（a,b），使f′（ç）=
f′（ç）．
（3）存在⎛∈（a,b），使得f′（⎛）=
f（⎛）。
【证】
（1）不妨设f′（a）>0,
f′（b）>0，即lim
2
x→a+
f（x）−f（a）>0，
x−a
由极限的保序性，∃x1∈（a,a+™）,使得f（x1）>0，同理，∃x2∈（b−™,b）,使得f（x2）<0
则∃⎩∈（x1,x2）⊂（a,b）,使得f（⎩）=0。
（2）由
（1）可得到
∃⎩1∈（a,⎩），使得f′（⎩1）=0，且存在∃⎩2∈（⎩,b），
使得f′（⎩2）=0。
构造辅助函数
1
F（x）=
f′（x）e−x，则F（⎩）=0，F（⎩
）=0，
由Rolle定理，∃ç∈（⎩1,⎩2），使得F′（ç）=
f′（ç）e−ç
−f′（ç）e−ç
=0，
因为e−ç
≠0，所以F′（ç）=
f′（ç）−f′（ç）=0，即有f′（ç）=
f′（ç）。
（3）令h（x）=exf（x），由
（1）知函数h（x）在[a,b]上至少有三个零点a,⎩,b，
于是h'（x）=ex（f（x）+f'（x））在（a,b）上有两个零点，因此个零点。
f（x）+f'（x）在（a,b）上有两
再令g（x）=e−x（f（x）+f'（x）），则g（x）在（a,b）上有两个零点，存在⎛∈（a,b），使得
g′（⎰）=0。
由g'（⎰）=e−x（f"（⎰）−f（⎰））=0，得到f′（⎛）=
f（⎛）。
[特别提示]可进一步思考：
在同样条件下证明存在不同的两点x1，x2∈（a,b），使
f（x1）+f′（x1）=0与f（x2）+f′（x2）=0。
思路：
取辅助函数F（x）=
f（x）ex。
（18）（
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