第三章 专题强化三.docx

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第三章专题强化三

专题强化三　动力学两类基本问题和临界极值问题

专题解读

1.本专题是动力学方法处理动力学两类基本问题、多过程问题和临界极值问题，高考在选择题和计算题中命题频率都很高．

2．学好本专题可以培养同学们的分析推理能力，应用数学知识和方法解决物理问题的能力．

3．本专题用到的规律和方法有：

整体法和隔离法、牛顿运动定律和运动学公式、临界条件和相关的数学知识．

一、动力学的两类基本问题

1．由物体的受力情况求解运动情况的基本思路：

先求出几个力的合力，由牛顿第二定律（F合＝ma）求出加速度，再由运动学的有关公式求出速度或位移．

2．由物体的运动情况求解受力情况的基本思路：

已知加速度或根据运动规律求出加速度，再由牛顿第二定律求出合力，从而确定未知力．

3．应用牛顿第二定律解决动力学问题，受力分析和运动分析是关键，加速度是解决此类问题的纽带，分析流程如下：

自测1

　（2018·江西省南昌市第二次模拟）如图1所示，物体从倾角为α的固定斜面顶端由静止释放，它滑到底端时速度大小为v1；若它由斜面顶端沿竖直方向自由落下，末速度大小为v，已知v1是v的k倍，且k<1.物体与斜面间的动摩擦因数为（　　）

图1

A．（1－k）sinαB．（1－k）cosα

C．（1－k2）tanαD.

答案　C

解析　设斜面长为x，高为h，物体下滑过程受到的摩擦力为Ff，由于物体沿斜面匀加速下滑，设加速度为a，则由牛顿第二定律可得

mgsinα－Ff＝ma，

Ff＝μmgcosα，

所以a＝g（sinα－μcosα），

由运动学公式可知v12＝2ax＝2gx（sinα－μcosα），

v2＝2gh

由题意：

v1＝kv

且h＝x·sinα

解得：

μ＝（1－k2）tanα，故C正确．

二、动力学中的临界与极值问题

1．临界或极值条件的标志

（1）题目中“刚好”“恰好”“正好”等关键词句，明显表明题述的过程存在着临界点．

（2）题目中“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词句，表明题述过程存在着“起止点”，而这些“起止点”一般对应着临界状态．

（3）题目中“最大”“最小”“至多”“至少”等词句，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点．

2．常见临界问题的条件

（1）接触与脱离的临界条件：

两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0.

（2）相对滑动的临界条件：

静摩擦力达到最大值．

（3）绳子断裂与松弛的临界条件：

绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0.

（4）最终速度（收尾速度）的临界条件：

物体所受合外力为零．

自测2

　（2015·山东理综·16）如图2，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A（A、B接触面竖直），此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的质量之比为（　　）

图2

A.B.

C.D.

答案　B

解析　对滑块A、B整体在水平方向上有F＝μ2（mA＋mB）g；对滑块B在竖直方向上有μ1F＝mBg；联立解得：

＝，选项B正确.

命题点一　动力学两类基本问题

1．解题关键

（1）两类分析——物体的受力分析和物体的运动过程分析；

（2）两个桥梁——加速度是联系运动和力的桥梁；速度是各物理过程间相互联系的桥梁．

2．常用方法

（1）合成法

在物体受力个数较少（2个或3个）时一般采用合成法．

（2）正交分解法

若物体的受力个数较多（3个或3个以上）时，则采用正交分解法．

类型1　已知物体受力情况，分析物体运动情况

例1

　（2018·陕西省榆林市第三次模拟）如图3所示为四旋翼无人机，它是一种能够垂直起降的小型遥控飞行器，目前正得到越来越广泛的应用．一架质量为m＝2kg的无人机，其动力系统所能提供的最大升力F＝36N，运动过程中所受空气阻力大小恒定，无人机在地面上从静止开始，以最大升力竖直向上起飞，在t＝5s时离地面的高度为75m（g取10m/s2）．

图3

（1）求运动过程中所受空气阻力大小；

（2）假设由于动力系统故障，悬停的无人机突然失去升力而坠落．无人机坠落地面时的速度为40m/s，求无人机悬停时距地面高度；

（3）假设在第

（2）问中的无人机坠落过程中，在遥控设备的干预下，动力系统重新启动提供向上最大升力．为保证安全着地，求无人机从开始下落到恢复升力的最长时间．

答案　

（1）4N　

（2）100m　（3）s

解析　

（1）根据题意，在上升过程中由牛顿第二定律得：

F－mg－Ff＝ma

由运动学规律得，上升高度：

h＝at2

联立解得：

Ff＝4N；

（2）下落过程由牛顿第二定律：

mg－Ff＝ma1

得：

a1＝8m/s2

落地时的速度v2＝2a1H

联立解得：

H＝100m；

（3）恢复升力后向下减速，由牛顿第二定律得：

F－mg＋Ff＝ma2

得：

a2＝10m/s2

设恢复升力后的速度为vm，则有＋＝H

得：

vm＝m/s

由：

vm＝a1t1

得：

t1＝s.

变式1

　（2018·河南省驻马店市第二次质检）如图4所示，某次滑雪训练，运动员站在水平雪道上第一次利用滑雪杖对雪面的作用获得水平推力F＝100N而由静止向前滑行，其作用时间为t1＝10s，撤除水平推力F后经过t2＝15s，他第二次利用滑雪杖对雪面的作用获得同样的水平推力，第二次利用滑雪杖对雪面的作用距离与第一次相同．已知该运动员连同装备的总质量为m＝75kg，在整个运动过程中受到的滑动摩擦力大小恒为Ff＝25N，求：

图4

（1）第一次利用滑雪杖对雪面作用获得的速度大小及这段时间内的位移大小；

（2）该运动员（可视为质点）第二次撤除水平推力后滑行的最大距离．

答案　

（1）10m/s　50m　

（2）187.5m

解析　

（1）设运动员利用滑雪杖获得的加速度为a1

由牛顿第二定律F－Ff＝ma1，得

a1＝1m/s2

第一次利用滑雪杖对雪面作用获得的速度大小为v1＝a1t1＝10m/s

通过的位移为x1＝a1t12＝50m

（2）运动员停止使用滑雪杖后，加速度大小为a2＝＝m/s2

经历时间t2速度变为v1′＝v1－a2t2＝5m/s

第二次利用滑雪杖获得的速度大小为v2，则v22－v1′2＝2a1x1

第二次撤去水平推力后，滑行的最大距离x2＝

联立解得x2＝187.5m.

类型2　已知物体运动情况，分析物体受力情况

例2

　如图5甲所示，一质量m＝0.4kg的小物块，以v0＝2m/s的初速度，在与斜面平行的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝.重力加速度g取10m/s2.求：

图5

（1）物块到达B点时速度和加速度的大小；

（2）拉力F的大小；

（3）若拉力F与斜面夹角为α，如图乙所示，试写出拉力F的表达式（用题目所给物理量的字母表示）．

答案　

（1）8m/s　3m/s2　

（2）5.2N　（3）F＝

解析　

（1）物块做匀加速直线运动，根据运动学公式，有L＝v0t＋at2，v＝v0＋at，联立解得a＝3m/s2，v＝8m/s

（2）对物块受力分析可得，平行斜面方向F－mgsinθ－Ff＝ma

垂直斜面方向FN＝mgcosθ

其中Ff＝μFN

解得F＝mg（sinθ＋μcosθ）＋ma＝5.2N

（3）拉力F与斜面夹角为α时，物块受力如图所示

根据牛顿第二定律有Fcosα－mgsinθ－Ff＝ma

FN＋Fsinα－mgcosθ＝0

其中Ff＝μFN

F＝.

变式2

　（2019·安徽省蚌埠二中期中）如图6所示，质量M＝10kg的木楔ABC静置于粗糙水平地面上，木楔与地面间的动摩擦因数μ＝0.2.在木楔的倾角θ为37°的斜面上，有一质量m＝1.0kg的物块由静止开始从A点沿斜面下滑，当它在斜面上滑行距离x＝1m时，其速度v＝2m/s，在这过程中木楔没有动．（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g＝10m/s2）求：

图6

（1）物块与木楔间的动摩擦因数μ1；

（2）地面对木楔的摩擦力的大小和方向；

（3）在物块沿斜面下滑时，如果对物块施加一平行于斜面向下的推力F＝5N，则地面对木楔的摩擦力如何变化？

（不要求写出分析、计算的过程）

答案　

（1）0.5　

（2）1.6N，水平向左　（3）地面对木楔的摩擦力的大小、方向均不变

解析　

（1）由v2＝2ax，得a＝2m/s2

对物块由牛顿第二定律有mgsinθ－μ1mgcosθ＝ma，得μ1＝0.5

（2）以物块和木楔ABC整体为研究对象，作出受力图如图．

（m＋M）g－FN＝may，Ff＝max，ax＝acosθ，ay＝asinθ

解得：

FN＝108.8N，Ff＝1.6N

（3）对木楔来说物块加推力以后它受到物块的力没有任何变化，所以地面对木楔的摩擦力的大小、方向均不变．

命题点二　动力学方法分析多运动过程问题

1．将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接．

2．对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图．

3．根据“子过程”“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程．

4．分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助方程．

5．联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论．

例3

　（2018·福建省永安一中、德化一中、漳平一中联考）哈利法塔是目前世界最高的建筑（图7）．游客乘坐世界最快观光电梯从地面开始经历加速、匀速、减速的过程恰好到达观景台只需50秒，运行的最大速度为15m/s.观景台上可以鸟瞰整个迪拜全景，可将棕榈岛、帆船酒店等尽收眼底，颇为壮观．一位游客用便携式拉力传感器测得在加速阶段质量为1kg的物体受到的竖直向上拉力为11N，若电梯加速、减速过程视为匀变速直线运动（g取10m/s2）求：

图7

（1）电梯加速阶段的加速度大小及加速运动的时间；

（2）若减速阶段与加速阶段的加速度大小相等，求观景台的高度；

（3）若电梯设计安装有辅助牵引系统，电梯出现故障，绳索牵引力突然消失，电梯从观景台处自由落体，为防止电梯落地引发人员伤亡，电梯启动辅助牵引装置使其减速，牵引力为重力的3倍，下落过程所有阻力不计，则电梯自由下落最长多少时间必须启动辅助牵引装置？

答案　

（1）1m/s2　15s　

（2）525m　（3）s

解析　

（1）设电梯加速阶段的加速度为a，由牛顿第二定律得：

FT－mg＝ma

解得a＝1m/s2

由v＝v0＋at

解得t＝15s

（2）匀加速阶段位移x1＝at2＝×1×152m＝112.5m

匀速阶段位移x2＝v（50－2t）＝15×（50－2×15）m＝300m

匀减速阶段位移x3＝＝112.5m

因此观景台的高度x＝x1＋x2＋x3＝525m.

（3）由题意知，电梯到地面速度刚好为0

自由落体加速度a1＝g

启动辅助牵引装置后加速度大小a2＝＝＝2g，方向向上

则＋＝x

解得：

vm＝10m/s

则tm＝＝s

即电梯自由下落最长s时间必须启动辅助牵引装置．

变式3

　（2018·山东省济宁市上学期期末）如图8所示，一足够长斜面上铺有动物毛皮，毛皮表面具有一定的特殊性，物体上滑时顺着毛的生长方向，毛皮此时的阻力可以忽略；下滑时逆着毛的生长方向，会受到来自毛皮的滑动摩擦