初一难题集锦方程与绝对值答案解题过程.docx

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初一难题集锦方程与绝对值答案解题过程

答案与评分标准

一、解答题（共18小题，满分150分）

1、a，b为实数，下列各式对吗？

若不对，应附加什么条件？

（1）|a+b|=|a|+|b|；

（2）|ab|=|a||b|；

（3）|a﹣b|=|b﹣a|；

（4）若|a|=b，则a=b；

（5）若|a|＜|b|，则a＜b；

（6）若a＞b，则|a|＞|b|．

考点：

绝对值；不等式的性质。

分析：

根据绝对值和不等式的性质对每一小题进行分析．

解答：

解：

（1）错误．当a，b同号或其中一个为0时成立．

（2）正确．

（3）正确．

（4）错误．当a≥0时成立．

（5）错误．当b＞0时成立．

（6）错误．当a+b＞0时成立．

点评：

本题主要考查了绝对值和不等式的有关内容．需熟练掌握和运用绝对值和不等式的性质．

2、已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：

|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|．

考点：

整式的加减；数轴；绝对值。

分析：

解决此题关键要对a，b，c与0进行比较，进而确定b﹣a，a+c，c﹣b与0的关系，从而很好的去掉绝对值符号．

解答：

解：

由数轴可知：

a＞b＞0＞c，|a|＞|c|，

则b﹣a＜0，a+c＞0，c﹣b＜0．

∴|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|

=﹣（b﹣a）+（a+c）﹣2[﹣（c﹣b）]

=﹣b+a+a+c+2c﹣2b

=2a﹣3b+3c．

点评：

在去绝对值符号时要注意：

大于0的数值绝对值是它本身，小于零的数值绝对值是它的相反数．

3、已知x＜﹣3，化简：

|3+|2﹣|1+x|||．

考点：

绝对值。

专题：

计算题。

分析：

这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．

解答：

解：

∵x＜﹣3，

∵1+x＜0，3+x＜0，

∴原式=|3+|2+（1+x）||，

=|3+|3+x||，

=|3﹣（3+x）|，

=|﹣x|，

=﹣x．

点评：

本题考查了绝对值的知识，注意对于含有多层绝对值符号的问题，要从里往外一层一层地去绝对值符号．

4、若abc≠0，则++的所有可能值是什么？

考点：

绝对值。

专题：

计算题；分类讨论。

分析：

由已知可得，a，b，c均不为零，因为题中没有指明a，b，c的正负，故应该分四种情况：

（1）当a，b，c均大于零时；

（2）当a，b，c均小于零时；（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时；（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，从而确定答案．

解答：

解：

∵abc≠0，

∴a≠0，b≠0，c≠0．

∵

（1）当a，b，c均大于零时，原式=3；

（2）当a，b，c均小于零时，原式=﹣3；

（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；

（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=﹣1．

∴++的所有可能值是：

±3，±1．

点评：

此题主要考查了绝对值的性质，采用分类讨论思想是解答此题的关键．

5、若|x|=3，|y|=2，且|x﹣y|=y﹣x，求x+y的值．

考点：

非负数的性质：

绝对值；绝对值。

专题：

分类讨论。

分析：

根据|x﹣y|=y﹣x，即可得到y≥x，再根据|x|=3，|y|=2即可确定x，y的值，从而求解．

解答：

解：

因为|x﹣y|≥0，所以y﹣x≥0，y≥x．

由|x|=3，|y|=2可知，x＜0，即x=﹣3．

（1）当y=2时，x+y=﹣1；

（2）当y=﹣2时，x+y=﹣5．

所以x+y的值为﹣1或﹣5．

点评：

本题主要考查了绝对值的性质，若x≠0，且|x|=a，则x=±a，根据任何数的绝对值一定是非负数，正确确定x，y的大小关系，确定x，y的值，是解决本题的关键．

6、若a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1，试计算|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|的值．

考点：

绝对值。

专题：

探究型。

分析：

根据绝对值的定义和已知条件a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1确定出a、b、c的取值及相互关系，进而在分情况讨论的过程中确定|c﹣a|、|a﹣b|、|b﹣c|，从而问题解决．

解答：

解：

a，b，c均为整数，则a﹣b，c﹣a也应为整数，且|a﹣b|19，|c﹣a|99为两个非负整数，和为1，

所以只能是|a﹣b|19=0且|c﹣a|99=1，①

或|a﹣b|19=1且|c﹣a|99=0．②

由①知a﹣b=0且|c﹣a|=1，所以a=b，于是|b﹣c|=|a﹣c|=|c﹣a|=1；

由②知|a﹣b|=1且c﹣a=0，所以c=a，于是|b﹣c|=|b﹣a|=|a﹣b|=1．

无论①或②都有|b﹣c|=1且|a﹣b|+|c﹣a|=1，

所以|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|=2．

点评：

根据绝对值的定义和已知条件确定出a、b、c的取值及关系是解决本题的关键，同时注意讨论过程的全面性．

7、若|x﹣y+3|与|x+y﹣1999|互为相反数，求的值

考点：

解二元一次方程组；非负数的性质：

绝对值；代数式求值。

专题：

计算题。

分析：

先根据相反数的定义得到|x﹣y+3|与|x+y﹣1999|的关系，再根据绝对值的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式进行计算即可．

解答：

解：

依相反数的意义有|x﹣y+3|=﹣|x+y﹣1999|．

因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有|x﹣y+3|=0且|x+y﹣1999|=0．即

，

由①有x﹣y=﹣3，由②有x+y=1999．

②﹣①得2y=2002，y=1001，

所以===﹣1000．

点评：

本题考查的是相反数的定义、非负数的性质及解二元一次方程组，能根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程组是解答此题的关键．

8、化简：

|3x+1|+|2x﹣1|．

考点：

绝对值。

分析：

本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．分x＜﹣，﹣≤x＜，x≥三种情况讨论

解答：

解：

分三种情况讨论如下：

（1）当x＜﹣时，

原式=﹣（3x+1）﹣（2x﹣1）=﹣5x；

（2）当﹣≤x＜时，

原式=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2；

（3）当x≥时，

原式=（3x+1）+（2x﹣1）=5x．

综合起来有：

|3x+1|+|2x﹣1|=．

点评：

本题考查了绝对值的知识，属于基础题，解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．

9、已知y=|2x+6|+|x﹣1|﹣4|x+1|，求y的最大值．

考点：

绝对值。

专题：

分类讨论。

分析：

首先使用“零点分段法”将y化简，有三个分界点：

﹣3，1，﹣1．则x的范围即可分为x≤﹣3，﹣3≤x≤﹣1，﹣1≤x≤1，x≥1四部分，即可确定绝对值内式子的符号，从而确定y的值．

解答：

解：

分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．

有三个分界点：

﹣3，1，﹣1．

（1）当x≤﹣3时，

y=﹣（2x+6）﹣（x﹣1）+4（x+1）=x﹣1，

由于x≤﹣3，所以y=x﹣1≤﹣4，y的最大值是﹣4．

（2）当﹣3≤x≤﹣1时，

y=（2x+6）﹣（x﹣1）+4（x+1）=5x+11，

由于﹣3≤x≤﹣1，所以﹣4≤5x+11≤6，y的最大值是6．

（3）当﹣1≤x≤1时，

y=（2x+6）﹣（x﹣1）﹣4（x+1）=﹣3x+3，

由于﹣1≤x≤1，所以0≤﹣3x+3≤6，y的最大值是6．

（4）当x≥1时，

y=（2x+6）+（x﹣1）﹣4（x+1）=﹣x+1，

由于x≥1，所以1﹣x≤0，y的最大值是0．

综上可知，当x=﹣1时，y取得最大值为6．

点评：

本题主要考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．对x的分为正确进行分类是解决本题的关键．

10、设a＜b＜c＜d，求|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|+|x﹣d|的最小值．

考点：

绝对值；数轴。

专题：

数形结合。

分析：

分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用|x﹣a|，|x﹣b|，|x﹣c|，|x﹣d|的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．

解答：

解：

设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则|x﹣a|表示线段AX之长，同理，|x﹣b|，|x﹣c|，|x﹣d|分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求|x﹣a|，|x﹣b|，|x﹣c|，|x﹣d|之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．

因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图所示：

所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，

即（d﹣a）+（c﹣b）．

点评：

以上分别用两种不同的方法即几何方法和代数方法进行求解．通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．

11、若2x+|4﹣5x|+|1﹣3x|+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．

考点：

一元一次不等式组的应用。

专题：

计算题。

分析：

要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x﹣5x+3x=0一种情况．因此必须有|4﹣5x|=4﹣5x且|1﹣3x|=3x﹣1．让4﹣5x≥0，3x﹣1≥0列式计算即可求得x该满足的条件，进而化简代数式即可．

解答：

解：

x应满足的条件是：

，

解得≤x≤，

∴原式=2x+（4﹣5x）+（3x﹣1）+4

=7．

点评：

考查代数式的化简及一元一次不等式组的应用；判断出绝对值内的代数式的符号是解决本题的关键；用到的知识点为：

一个数的绝对值是非负数．

12、x是什么实数时，下列等式成立：

（1）|（x﹣2）+（x﹣4）|=|x﹣2|+|x﹣4|；

（2）|（7x+6）（3x﹣5）|=（7x+6）（3x﹣5）．

考点：

含绝对值符号的一元一次方程。

专题：

计算题。

分析：

（1）根据等式的形式可判断出（x﹣2）及（x﹣4）同号，由此可得出答案；

（2）等式的形式可判断出（x﹣2）及（x﹣4）同号，由此可得出答案；

解答：

解：

由题意得：

①（x﹣2）≥0，（x﹣4）≥0，

解得：

x≥4；

②（x﹣2）≤0，（x﹣4）≤0，

解得：

x≤2，

故x≥4或x≤2时成立；

（2）由题意得：

（7x+6）（3x﹣5）≥0，

解得：

x≤﹣或x≥．

点评：

本题考查含绝对值的一元一次方程，难度不大，解决此题的关键是掌握绝对值的性质．

13、化简下列各式：

（1）

（2）|x+5|+|x﹣7|+|x+10|．

考点：

绝对值。

专题：

计算题；分类讨论。

分析：

此题要分类讨论，在x取不同值的情况下，去掉绝对值后结果不同．特别注意

（1）中dex不能取0，题

（2）要讨论全面．

解答：

解：

（1）当x＞0时，=0；

当x＜0时，=﹣2；

（2）当x≥7时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=3x+8；

当﹣5≤x≤7时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=x+5﹣（x﹣7）+x+10=x+22；

当﹣10≤x≤﹣5时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=﹣（x+5）﹣（x﹣7）+x+10=12﹣x；

当x≤﹣10时，|x+5|+|x﹣7|+|x+10|=﹣3x﹣8．

点评：

本题主要考查了绝对值：

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；绝对值是非负数≥0；0的绝对值还是零．

14、若a+b＜0，化简|a+b﹣1|﹣|3﹣a﹣b|．

考点：

绝对值。

专题：

计算题。

分析：

根据a+b＜0，即可确