西安市高新第一中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试含答案解析.docx
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西安市高新第一中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试含答案解析
一、选择题
1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点的新位置，因而，类似地，在上折出点使，表示方程的一个正根的线段是（）
A．线段B．线段C．线段D．线段
2．下列方程属于一元二次方程的是（）
A．B．
C．D．
3．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
4．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．5000（1+x）＝6050B．5000（1+2x）＝6050
C．5000（1﹣x）2＝6050D．5000（1+x）2＝6050
5．方程的解是（）
A．B．
C．，D．，
6．若m是方程的一个根，设，，则p与q的大小关系为（）
A．p＜qB．p＝qC．p＞qD．与c的取值有关
7．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（ ）
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
图1
图2
A．17B．18C．19D．20
8．当分式的值为0时，则等于（）
A．3B．0C．D．-3
9．关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m≤B．m≥且m≠2
C．m≤且m≠﹣2D．m≥
10．已知关于x的二次方程（k1），则方程根的情况是（）
A．没有实数根B．有两不等实数根C．有两相等实数根D．无法确定
11．若，则的值是（）
A．3B．-1C．3或1D．3或-1
12．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝2D．x1＝1，x2＝2
二、填空题
13．已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则+3β的值为________．
14．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．
15．写出有一个根为1的一元二次方程是______．
16．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．
17．已知函数为正比例函数，则常数的值为______．
18．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则________．
19．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
20．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝_____．
三、解答题
21．
（1）x2﹣8x+1＝0；
（2）2（x﹣2）2＝x2﹣4．
22．已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．
（1）求证：
无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
23．已知是关于的一元二次方程两个实数根．
（1）求取值范围；
（2）若，求实数的值．
24．解方程：
（1）；
（2）x（2x+5）=2x+5．
25．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：
销售单价（元）
34
35
36
37
38
39
40
月平均销售量（件）
430
425
420
415
410
405
400
若要使利润达到4250元，且尽可能多的提升月平均销售量，则销售单价应定为多少元？
26．阅读下列材料，解答问题．
．
解：
设，则，
原方程可化为，
，即．
或，解得．
请利用上述方法解方程：
．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：
B
【分析】
设正方形的边长为1，AF＝AM＝x，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：
设正方形的边长为1，AF＝AM＝x，
则BE＝EF＝，AE＝x+，
在Rt△ABE中，
∴AE2＝AB2+BE2，
∴（x+）2＝1+（）2，
∴x2+x-1＝0，
∴AM的长为x2+x-1＝0的一个正根，
故选：
B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型．
2．D
解析：
D
【分析】
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．据此判断即可．
【详解】
解：
A、移项得：
，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项错误；
C、ax2+bx+c=0，当a=0时，它不是一元二次方程，故C错误；
D符合一元二次方程的定义，故D正确；
故选：
D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．A
解析：
A
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方即可得到结果．
【详解】
解：
∵x2+6x-1=0，
∴x2+6x=1，
∴x2+6x+9=10，
∴（x+3）²=10，
故选：
A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4．D
解析：
D
【分析】
根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．
【详解】
解：
设每天的增长率为x，
依题意，得：
5000（1+x）2＝6050．
故选：
D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．C
解析：
C
【分析】
移项并因式分解，得到两个关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】
解：
移项，得，
因式分解，得，
∴或，
解得，，
故选：
C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
6．A
解析：
A
【分析】
结合m是方程的一个根，计算p-q的值即可解决问题．
【详解】
解：
∵m是方程的一个根，
∴
∵，，
∴，
∴p＜q
故选：
A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．
7．C
解析：
C
【分析】
根据日历的特点得到，，列出一元二次方程解出e的值．
【详解】
解：
根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1，
则，，，，
∵最大的数与最小的数乘积是297，
∴，解得，取正数，．
故选：
C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．
8．D
解析：
D
【分析】
先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【详解】
依题意得：
，
解得x＝−3．
故选：
D
【点睛】
本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
9．B
解析：
B
【分析】
关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，由于二次项系数有字母，要考虑二次项系数不为0，再由一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，满足△≥0，取它们的公共部分即可．
【详解】
关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，
m-2≠0,
m≠2,
△=9-4×（-1）×（m-2）≥0,
m,
关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，m的取值范围是m且m≠2．
故选：
B．
【点睛】
本题考查关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根的问题，关键掌握方程的定义，二次项系数不为0，含x的最高次项的次数为2，而且是整式的方程，注意判别式使用条件，前提是一元二次方程，还要求一般形式．
10．B
解析：
B
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出：
无论（k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【详解】
在方程中，
∵，，，
∴
，
∴无论（k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
故选：
B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．
11．A
解析：
A
【分析】
用，解出关于a的方程，取正值即为的值是．
【详解】
解：
令，
则，
即，
即，
解得，，
又因为，所以
故的值是3，
故选：
A．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意．
12．D
解析：
D
【分析】
方程x（x﹣2）＝x﹣2移项后，运用因式分解法可以求得方程的解，本题得以解决．
【详解】
解：
x（x﹣2）＝x﹣2，
移项，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
提公因式，得（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝1．
故选：
D．
【点睛】
本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是会利用提公因式法解方程．
二、填空题
13．10【分析】原方程变为（）-3（）-1=0得到β是方程x2-3x-1=0的两根根据根与系数的关系得到关系式代入求出即可【详解】解：
∵α2+3α﹣1＝0∴（）-3（）-1=0∵实数αβ满足α2+3α﹣
解析：
10
【分析】
原方程变为（）-3（）-1=0，得到、β是方程x2-3x-1=0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．
【详解】
解：
∵α2+3α﹣1＝0，
∴（）-3（）-1=0，
∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，
∴、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴+β＝3，＝﹣1，，
∴原式＝1++3β＝1+3（+β）＝1+3×3＝10，
故答案为10．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，熟练的根据根与系数的关系进行计算是解题的关键．
14．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：
∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：
；故答案为4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题
解析：
4
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：
∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：
；
故答案为
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