届高考数学典型试题解读不等式选讲.docx

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届高考数学典型试题解读不等式选讲

典型高考数学试题解读不等式选讲

【考纲要求】

1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

①|a＋b|≤|a|＋|b|（a，b∈R）．

②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|（a，b∈R）．

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c；　|ax＋b|≥c；　|x－c|＋|x－b|≥a．

3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：

比较法、综合法、分析法．

【命题规律】

不等式选讲近几年高考中是在解答题中第23题考查，一般设计绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题以及不等式的证明问题，难度中等.

【典型高考试题变式】

（一）绝对值不等式的解法

例1.【2017新课标1】已知函数，.

（1）当a=1时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求实数a的取值范围.

【分析】

（1）将代入，不等式等价于，对按，

，讨论，得出不等式的解集；

（2）当时，.若的解集包含，等价于当时.则在的最小值必为与之一，所以且，从而得.

（2）当时，.

所以的解集包含，等价于当时.

又在的最小值必为与之一，所以且，得.

所以的取值范围为.

【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，

借助图象解题.

【变式1】【2018陕西山大附中等晋豫名校联考】

已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.

【解析】

（1）原不等式可化为：

，

即或，

由得或，

由得或，

综上原不等式的解为或.

（2）原不等式等价于的解集非空，

令，即，

由，所以，

所以.

【变式2】【2017湖北省荆州市质检】

已知函数.

（1）当时，求的解集；

（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.

【解析】

（1）当时，，，

上述不等式可化为或或

解得或或

所以或或，

所以原不等式的解集为

（二）不等式的证明

例2.【2017年新课标2】已知．证明：

（1）；

（2）．

【分析】

（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向靠拢；

（2）利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论．

【解析】

（1）

（2）因为

所以，因此．

【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．

【变式1】若a>0，b>0，且＋＝．

（1）求a3＋b3的最小值；

（2）是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？

并说明理由．

【变式2】【2017河北邯郸联考】

设．

（1）求的解集；

（2）当时，求证：

．

【解析】

（1）由得：

或或，

解得，所以的解集为.

（2）当，即时，

要证，即证.

因为

，

所以，即.

（三）绝对值不等式的恒成立、参数范围问题

例3.【2017新课标3】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.

【分析】

（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；

（2）由题意结合绝对值不等式的性质有

，则m的取值范围是.

【解析】

（1），

当时，无解；

当时，由得，，解得；

当时，由解得.

所以的解集为.

（2）由得，而

，

且当时，.

故实数m的取值范围为.

【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：

法一：

利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：

利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：

通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

【变式1】【2018河南中原名校质检】

已知关于的不等式.

（1）当时，解不等式；

（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.

【解析】

（1）原不等式变为.

当时，原不等式化为，解得，所以

当时，原不等式化为，所以.

当时，原不等式化为，解得，所以.

综上，原不等式解集为.

【变式2】已知函数f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|.

（1）求不等式f（x）≤6的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）<|a－1|的解集不是空集，求实数a的取值范围．

【解析】

（1）原不等式等价于或或

解得

所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．

（2）因为f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|（2x＋1）－（2x－3）|＝4，

所以|a－1|>4，所以a<－3或a>5，

所以实数a的取值范围为（－∞，－3）∪（5，＋∞）．

【数学思想】

数形结合思想．

分类讨论思想．

转化与化归思想.

函数方程思想.

【温馨提示】

绝对值不等式中含参数时，通常要进行分类探求，注意分类要做到不重不漏；注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范．

用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的.

【典例试题演练】

1.【2018辽宁鞍山中学二模】已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.

【解析】

（1）当时，无解；

当时，；

当时，.

综上，实数的取值范围为.

（2）函数的最小值为，，所以.

2.【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数的一个零点为2.

（1）求不等式的解集；

（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.

【解析】

（1）由，，得，

所以，所以或或，

解得，故不等式的解集为.

（2），

作出函数的图象，如图所示，

直线过定点，

当此直线经过点时，；

当此直线与直线平行时，.

故由图可知，.

3.【2017四川省凉山州检测】已知函数．

（1）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围；

（2）若方程有三个不同的解，求实数的取值范围．

【解析】

（1）令，则，作出函数的图象，

由图可知，函数的最小值为，所以，即，

综上，实数的取值范围为.

（2）在同一坐标系内作出函数图象和的图象如下图所示，由题意可知，把函数的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而．

4.【20176广西柳州市模拟】已知函数．

（1）若，解不等式；

（2）如果，，求的取值范围．

（2）若，的最小值为；

若，的最小值为．

所以，，所以实数的取值范围是．

5.设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：

（1）ab＋bc＋ca≤；

（2）2＋＋≥1．

【证明】

（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1．

所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤．

（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），即＋＋≥a＋b＋c．

所以＋＋≥1.

6.【2018河南漯河中学三模】若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.

（1）求；

（2）若正实数满足，求的最小值.

【解析】

（1）因为，所以，

又因为，所以，

从而实数的最大值.

（2）因为

，

所以，从而，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.