届高考数学典型试题解读不等式选讲.docx

1、届高考数学典型试题解读 不等式选讲典型高考数学试题解读 不等式选讲【考纲要求】1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)|ab|ac|cb|(a，bR)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法【命题规律】 不等式选讲近几年高考中是在解答题中第23题考查，一般设计绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题以及不等式的证明问题，难度中等.【典型高考试题变式】（一）绝对值不等式的解法例1.【2017新课标1】已知函数，.（1）当a

2、=1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含1，1，求实数a的取值范围.【分析】（1）将代入，不等式等价于，对按，讨论，得出不等式的解集；（2）当时，.若的解集包含，等价于当时.则在的最小值必为与之一，所以且，从而得.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.【变式1】【2018陕西山大附中等晋豫名校联考】已知函数（1）求不等式的解集；（2）设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【解析】（1）原不等式可化为：，即或，由得或，

3、由得或，综上原不等式的解为或.（2）原不等式等价于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【变式2】【2017湖北省荆州市质检】已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，上述不等式可化为或或解得或或所以或或，所以原不等式的解集为（二）不等式的证明例2.【2017年新课标2】已知证明：（1）；（2）【分析】（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向靠拢；（2）利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论【解析】（1）（2）因为所以，因此【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题

4、的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法【变式1】若a0，b0，且（1）求a3b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由【变式2】【2017河北邯郸联考】设（1）求的解集；（2）当时，求证：【解析】（1）由得：或或，解得，所以的解集为.（2）当，即时，要证，即证.因为，所以，即.（三）绝对值不等式的恒成立、参数范围问题例3.【2017新课标3】已知函数f（x）=x+1x2.（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.【分析】（1）将函数零点分段然后求解不等式即

5、可；（2）由题意结合绝对值不等式的性质有，则m的取值范围是.【解析】（1），当时，无解；当时，由得，解得；当时，由解得.所以的解集为.（2）由得，而，且当时，.故实数m的取值范围为.【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.【变式1】【2018河南中原名校质检】已知关于的不等式.（1）当时，解不等式；（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.【解析】（1）原不等式变为.当时，原不等式化为，解得，所以当时，原不等式化为，

6、所以.当时，原不等式化为，解得，所以.综上，原不等式解集为.【变式2】已知函数f(x)|2x1|2x3|.（1）求不等式f(x)6的解集；（2）若关于x的不等式f(x)|a1|的解集不是空集，求实数a的取值范围【解析】（1）原不等式等价于或或解得x2或x或1x4，所以a5，所以实数a的取值范围为(，3)(5，)【数学思想】数形结合思想分类讨论思想转化与化归思想.函数方程思想.【温馨提示】绝对值不等式中含参数时，通常要进行分类探求，注意分类要做到不重不漏；注意在分段时不要遗漏区间的端点值分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，

7、选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的.【典例试题演练】1.【2018辽宁鞍山中学二模】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，无解；当时，；当时，.综上，实数的取值范围为.（2）函数的最小值为，所以.2.【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数的一个零点为2.（1）求不等式的解集；（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.【解析】（1）由，得，所以，所以或或，解得，故不等式的解集为.（2），作出函数的图象，如图所示，直线过定点，当此直线经过点时，；当此直线与直线平行时，.故由图可知，.3.【2017四川省凉山州检测】已知

8、函数（1）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围；（2）若方程有三个不同的解，求实数的取值范围【解析】 （1）令，则，作出函数的图象，由图可知，函数的最小值为，所以，即，综上，实数的取值范围为.（2）在同一坐标系内作出函数图象和的图象如下图所示，由题意可知，把函数的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而4.【20176广西柳州市模拟】已知函数（1）若，解不等式；（2）如果，求的取值范围（2）若， 的最小值为；若， 的最小值为所以， ，所以实数的取值范围是5.设a，b，c均为正数，且abc1，证明：（1）abbcca；（2）21【证明】（1）由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1所以3(abbcca)1，即abbcca（2）因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc所以1.6.【2018河南漯河中学三模】若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.（1）求；（2）若正实数满足，求的最小值.【解析】（1）因为，所以，又因为，所以，从而实数的最大值.（2）因为 ，所以，从而，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.