一元二次方程的知识点梳理教学提纲.docx
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一元二次方程的知识点梳理教学提纲
一、知识结构：
一元二次方程
二、考点精析
考点一、概念
（1）定义：
①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
（2）一般表达式：
⑶难点：
如何理解“未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A
B
C
D
变式：
当k时，关于x的方程
是一元二次方程。
例2、方程
是关于x的一元二次方程，则m的值为。
针对练习：
1、方程
的一次项系数是，常数项是。
2、若方程
是关于x的一元一次方程，
⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。
3、若方程
是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。
4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）
A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：
使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：
利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例1、已知
的值为2，则
的值为。
例2、关于x的一元二次方程
的一个根为0，则a的值为。
例3、已知关于x的一元二次方程
的系数满足
，则此方程
必有一根为。
例4、已知
是方程
的两个根，
是方程
的两个根，
则m的值为。
针对练习：
1、已知方程
的一根是2，则k为，另一根是。
2、已知关于x的方程
的一个解与方程
的解相同。
⑴求k的值；⑵方程的另一个解。
3、已知m是方程
的一个根，则代数式
。
4、已知
是
的根，则
。
5、方程
的一个根为（）
A
B1C
D
6、若
。
考点三、解法
⑴方法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：
降次
类型一、直接开方法：
对于
，
等形式均适用直接开方法
典型例题：
例1、解方程：
=0;
例2、若
，则x的值为。
针对练习：
下列方程无解的是（）
A.
B.
C.
D.
类型二、因式分解法:
方程特点：
左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
方程形式：
如
，
，
典型例题：
例1、
的根为（）
A
B
C
D
例2、若
，则4x+y的值为。
变式1：
。
变式2：
若
，则x+y的值为。
变式3：
若
，
，则x+y的值为。
例3、方程
的解为（）
A.
B.
C.
D.
针对练习：
1、下列说法中：
①方程
的二根为
，
，则
②
.
③
④
⑤方程
可变形为
正确的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
2、以
与
为根的一元二次方程是（）
A．
B．
C．
D．
3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
4、若实数x、y满足
，则x+y的值为（）
A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2
5、方程：
的解是。
类型三、配方法
在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、试用配方法说明
的值恒大于0。
例2、已知x、y为实数，求代数式
的最小值。
例3、已知
为实数，求
的值。
针对练习：
1、试用配方法说明
的值恒小于0。
2、已知
，则
.
3、若
，则t的最大值为，最小值为。
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式：
典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
例2、在实数范围内分解因式：
（1）
；
（2）
.⑶
说明：
①对于二次三项式
的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，
一般情况要用求根公式，这种方法首先令
=0，求出两根，再写成
=
.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.
类型五、“降次思想”的应用
⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
典型例题：
例1、已知
，求代数式
的值。
例2、已知
是一元二次方程
的一根，求
的值。
例3、用两种不同的方法解方程组
说明：
解二元二次方程组的具体思维方法有两种：
①先消元，再降次；②先降次，再
消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已
知的问题.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于
的方程
有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。
例2、关于x的方程
有实数根，则m的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
例3、已知关于x的方程
（1）求证：
无论k取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰
ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求
ABC的周长。
例4、已知二次三项式
是一个完全平方式，试求
的值.
例5、
为何值时，方程组
有两个不同的实数解？
有两个相同的实数解？
针对练习：
1、当k时，关于x的二次三项式
是完全平方式。
2、当
取何值时，多项式
是一个完全平方式？
这个完全平方式是什么？
3、已知方程
有两个不相等的实数根，则m的值是.
4、
为何值时，方程组
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.
5、当
取何值时，方程
的根与
均为有理数？
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题：
例1、关于x的方程
⑴有两个实数根，则m为,
⑵只有一个根，则m为。
例2、不解方程，判断关于x的方程
根的情况。
考点六、根与系数的关系
⑴前提：
对于
而言，当满足①
、②
时，
才能用韦达定理。
⑵主要内容：
⑶应用：
整体代入求值。
典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程
的两根，则这个直角三
角形的斜边是（）
A.
B.3C.6D.
例2、已知关于x的方程
有两个不相等的实数根
，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？
若存在，求出k的值；若不
存在，请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道
原来的方程是什么吗？
其正确解应该是多少？
例4、已知
，
，
，求
变式：
若
，
，则
的值为。
例5、已知
是方程
的两个根，那么
.
针对练习：
1、解方程组
干净——干干净净明白——明明白白2．已知
，
，求
的值。
一（包）菜子一（畦）秧苗一（片）沙滩两（条）腿
例一、青+（虫）=蜻赶—干=（走）
RSTUVWXYZ
我帮老师收作业。
我为大家扫地。
说来说去写来写去游来游去3、已知
是方程
的两实数根，求
的值。
红红的太阳像火球。
闪闪的星星像眼睛。
（3）、连线或填空
（爸）（全）（妈）（香）（蚁）（童）（哪）（男）（念）（树）（会）（间）很多很多的云很高很高的山很绿很绿的草
王马日巴义里那力对云心日越来越快越来越黑
一份报一堆果一个果一句话一棵树
他十分高兴地回家去了。
（十分＝特别＝非常＝格外）束一束束一束束美丽的鲜花
（6）燕子低飞、（小鱼）游出（水面）、（蚂蚁）搬家表示要（下雨）了。
6、认真检查写好的句子，发现错别字及时改。
绞丝旁：
红、绿、级、练、给
（21）取人之（长），补己之（短）。
五拃甸小学普琼鲜艳的红领巾轻巧的桥美丽的衣裳快乐的时光今天你学习了什么？
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遇到了什么困难？
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丁冬说话朋友你们红花绿草爷爷知道全家父母父亲
《1柳树醒了》、《9两只鸟蛋》、《4春晓、村居》、《13所见、小池》、《14荷叶圆圆》、《16要下雨了》（自选）、《18四个太阳》、《19乌鸦喝水》、《20司马光》、《24画家乡》（自选）、《25快乐的节日》情（亲情）（友情）（爱情）（热情）（情意）天上有一架飞机。
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（）月（）日是元旦节。
（）月（）日是中秋节。
远处短处到处找到照亮明亮明晚照明空气空军海军一架飞机一位老师一群老师一座房一间房子
一轮月牙一弯月牙一块面包一颗星星一个影子
花儿真香啊！
我们学校多美啊！
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