第二章分辨率与信噪比的基本概念.docx
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第二章分辨率与信噪比的基本概念
第二章分辨率与信噪比的基本概念
第一节分辨率的基本概念
关于分辨率的文献资料很多，但真正要把问题讲透还是不容易的。
读者可以自己去阅读M.B.widess及RalphW.Knapp和俞寿朋的文章⑷问冋。
但这些文章中公式很多，我在这里想用简单的几幅图来说明问题。
先讲"垂向分辨率”，也就是在时间域坐标上，两个波在什么情况下可以互相分辨开来？
、严格的分辨率定义
显然，想要使两个地震波完全分开，必须两个子波脉冲的包络完全分开，如图11（a），因
为如果两个子波的包络连在一起，必然形成互相干涉，于是这两个波的振幅、频率、自相关以及各种参数量都变得含混不清。
所以，Knapp认为，垂向分辨率应该用地震子波脉冲的时间延续度来定义。
并且把这种分
辨率称为厚层分辨率（这个叫法不是很确切，我认为称作“严格的分辨率”较为合适）。
可惜我们地震子波的延续度很长，在常规的两三千米勘探深度上，一个地震子波大概至少要振两三下，时间延续度长达100—200ms（折合约为150—360m）。
如果室内子波处理得很理想，压缩成一个振动相位，则也往往要长达50—80ms（折合约为75—120m左右）。
这个分辨率当然是很差的，但严格的说，分辨率是应该这样来定义的。
二、不太严格的分辨率定义
目前广泛流传着一个不太严格的垂向分辨率公式，即时间分辨率
1
tR=「：
t—
（1）
2.3f
式中，f*是地震子波的视频率（或主频）。
从这个公式出发，只要剖面上主频偏高，就认为其时间分辨率高。
如果把层速度V乘上tR，就得到厚度分辨率公式
.*
AVtR丸
Zr二-Z-
（2）
24.6
入为视波长，z-成为可分辨厚度。
按这个公式，如果视频率为30Hz,速度为3000m/ms,
可分辨厚度为22m
这两个公式假定了地震子波是理想的雷克子波。
用楔形模型可以证明：
在上述分辨厚度时，
相邻两个雷克子波的过零点互相重合，此时叠加的合成波形在两个波峰之间出现一个波谷，波谷的谷底振幅为零，两个波峰刚刚分开，如图11（b）。
一般来说，我们可以接受这两个公式，
但请注意图11（b）右方波形的振幅已经不真实，由1.000下降到0.595。
此外，如果实际子波
不是零相位的，并且反褶积并没有把它压缩成一个正峰，则可分辨厚度比此公式肯定要差。
例如图11（d）及（e）分别为最小相位子波及混合相位子波的例子，当子波错开半个视周期时，其合成波形看不到相应的两个波峰，很难分辨谁是谁。
所以，瑞利（Rayleigh）准则指出：
“一个反射波的分辨率的极限是1/4波长。
”注意
|和曲乍量卞Hl应的带通f-诡
/K|UT"和
这里说的极限两字。
公式
（2）的Zr实际上也接近于四分之一视波长，因而Knapp把这四分之一视波长定义称为
“薄层分辨率”。
由于实际地震子波并不是零相位的雷克子波，公式
（1）及
（2）并不严格。
所以我们应该
进一步讨论一下对不同的子波具有不同频宽时，它们的特点是什么？
三、三种相位特性带通子波的分辨率
我用零相位、最小相位及混合相位三类带通子波，绘了一张不同子波的波形图，见图12。
从此图来看，第一，子波的分辨率首先与频带宽度有关。
例如左边两个子波，由于频带很窄，小于一个倍频程，则产生连续振动。
此时，虽然视波长不是很大，但连续相位互相干涉，其分辨率肯定不能再用公式
（1）来表达。
第二，不论什么样的子波，随着频带的加宽，子波的连续振动相位数逐渐减少，并且主峰慢慢变窄、变尖锐，也就是分辨率逐渐变高，混合相位的子波也是如此。
第三，在频带窄的时候，最小相位及混合相位子波与零相位的波形差别不大。
但是当频宽在一个倍频程以上的时候差别就大了。
例如零相位的10—80及10—160Hz的子波分辨率
相当好，一个正峰十分突出，而最小相位子波变成正负相间的一个强头部，后面跟着一连串的振荡波形。
而混合相位子波，则表现为一个高频的头部和后面拖着一个低频的长长的尾巴！
分
辨率就降低了。
所以说相同频带范围的子波中，以零相位子波的分辨率为最高。
以后我还要提到，实际子波都是混合相位的。
四、频带上下限与分辨率的关系
现在介绍一下频带上下限与分辨率的关系。
1.绝对频宽
如果我们将带通子波通频带的下限称为fl,上限为f2,则fl-f2称为绝对频宽B，即绝对频宽
B=f2一f1（3）
对于零相位子波，绝对频宽决定了包络的形态。
Knapp在他的文章中对此作出了数学证明，
他称之为“频移过程中子波包络的不变性”。
例如10—40Hz的子波包络与30—60Hz的包络完全一样，因此他认为二者的分辨率也一样。
见图13上方，左右两个子波的B都等于30,它们的
包络就一样，30—60Hz的子波振动相位数却增加了两倍！
2.相对频宽
f2与f相除称为相对频宽R即
rf2
R（4）
f1
相对频宽还有一种表达方法，即采用倍频程数
f2
OCT-3.32log10（）
f1
一个倍频程就是音乐中的一个“高八度”，也就是频率翻一翻。
对于两个零相位带通子波而言，只要以倍频程表示的相对频宽一样，那么，它们的波形就是一样的，只是波形的胖瘦不一样，如图13,左边上下两个子波，它们的相对频宽R都等于4，
于是它们的波形不变，只是包络缩放了一倍。
通带为20—80Hz的子波波形与10—40的子波，
只是在时间轴上压缩了一倍。
Knapp指出倍频程一样，波形一样时，还是瘦的子波分辨率最高。
所以他认为分辨率不能用倍频程来衡量，只能用绝对频宽来衡量。
相对频宽决定了子波的振动相位数。
图14是我统计的图12中零相位子波的连续相位数及
主峰视周期宽度的示意图。
从图中可以看到零相位子波窄于一个倍频程时，连续相位迅速增多，
一个倍频程时相位数约等于1.5个（此时用负极性显示，可见两个波峰）。
所以，如果我们在地
震剖面上看到大多数反射波有两到三个连续相位时，就可以说：
它的分辨率不高，频宽不够一个倍频程（或者是相位谱不好）。
图丄4母相牠了-波的畅宽与HI位數蚕卞同關2：
乾墓
Numbertjfphase-t即&pTcmim・ntpericdofasere-phasewnvetet
referstDdifferenthfind-withh
3.视频率
通频带的中心频率fc决定了视频率fp（或称主频），即
1/丄、
fp二fc（f2f1）（6）
2
主频就是我们眼睛看到的剖面上同相轴的胖瘦程度。
以上便是对带通子波的一般分析结果。
五、关于分辨率的争议
关于分辨率的讨论其实还存在着不少争议。
例如，Widess认为在没有噪声的情况下，反射波的可分辨厚度应该定为1/8视波长。
又如Knapp指出，如果研究孤立的薄地层，其实不一定需要有足够的带宽，例如大学物理教科书中就有使用单色光和相干原理测量肥皂泡薄膜厚度的实验。
Knapp除了把四分之一视波长称为“薄层分辨率”以外，又划分了另外一种分辨率——"韵
律层的分辨率"，即对薄层状的周期性重复的沉积韵律层来说，可以用高频来检测薄互层的厚度，这种韵律层产生一种对频率高次谐波的调谐作用。
我记得过去50年代老的地震教科书上也有一段关于测定薄互层厚度的反射调谐振幅的文章。
但是，以上测肥皂泡厚度的例子必须是一层单独的薄膜，而韵律层则必须是许多互层周期地作简单重复，它们都是在特殊情况下的特例。
在这些特例中可能不需要频带很宽，也不需要低频成分。
但是对我们地下的实际沉积剖面来说，我认为：
无疑地我们需要一个较宽的频带，才能解决分辨率问题。
因为地的砂岩、泥岩、灰岩的沉积往往不是一个“孤立”的层，也不是简单的周期重复，而是千变万化的。
没有足够的频宽是不能准确描述它的。
六、不同频宽子波对不同厚度砂岩层的反映
我认为好的分辨率不能光看绝对频宽是多少，而还要看所占的频段在哪里。
例如40—160Hz的宽频（B=120）不一定比10—80Hz（B=70）的好。
因为前者缺乏10—40Hz低频段，会使厚砂层在波阻抗反演后形成砂层中央的阻抗值下陷。
为了说明不同频宽对描述砂岩分布的能力的情况，我作了如下的试验。
图15是不同频宽的零相位带通子波（即Sinc子波）反映砂层的反射波形图。
左方设计了从厚度为3m到60m的7个砂层模型的反射系数，假定采样率为2ms,
层速度为3000m/s。
右方各道是不同频带的子波与反射系数的褶积结果。
这些带通子波的形态可参看图20（a）。
从此图来看：
第⑦条曲线40—50Hz的子波频带太窄，连续振动多，肯定不
好；曲线②及③频带最宽，为5—135Hz及10—160Hz,它们的反射波形都接近为反射系数曲线，曲线⑥及⑩为10-23HZ及10—33Hz，频带虽然不太宽，但定性地尚可以反映出存在着7个砂层。
现在，我们把这个图的各个道积分一下，变成了相对波阻抗的形式，见图16。
左边第一道
就是7个砂层的波阻抗模型。
现在我们来看右边哪一条曲线描述这个模型最好。
显然,5—5Hz
及10—160Hz两条曲线最好。
右边曲线10—80Hz也不错,只要砂层都是孤立的,互相不挨,
就都能分辨，但它对6m到3m的砂层描绘得过分胖而没有棱角了。
再右边10—40Hz及10—23Hz
曲线进一步圆滑,没有棱角,正峰宽度几乎相等,厚度也就成一致的了,同时负峰明显增强,
10—23Hz的曲线连厚砂层也似乎变薄了。
曲线⑦40—50Hz更不行，子波连续振动3.5个相位，
分辨率最差,看不清与砂层的关系。
而曲线⑧及⑨对厚砂层也反映很差。
40—160Hz（B=120Hz）
按分辨率定义来说分辨率很高,但由于缺乏低频,反映10m以上砂层的能力是很差的,此曲线
对21m至60m砂层都出现中央波阻抗值下陷。
所以，绝对频宽很宽的子波如果缺少了低频，也
不是好事！
七、不同的频率有不同的用处
我认为不同的频率有不同的作用,其实道理很简单,在时间域,当子波的主瓣宽度（半周期）和砂层的时间厚度相一致时,褶积后,输出振幅达到最强,否则振幅要变弱。
这种效应相当于一种对不同砂层厚度的“滤波器”。
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显然，被增强的砂层厚度大致为1/4视波长（即时间厚度为半周期），所以有
4f
表2增强砂层的厚度与加强频率的关系
增强砂层的厚度（m）
75
37.5
25
18.8
12.5
9.4
7.5
6.2
4.7
加强频率
10
20
30
40
50
60
70
80
90
例如，你希望搞清楚厚度为60m的砂层，按表1,fi必须达到10Hz,否则如图16曲线⑧，
20—66Hz的曲线就不能反映出60m的砂层，但是它还可以勉强反映30m的砂层。
又例如要使
6m的砂层正确地反映出它的宽度和波阻抗数值，按附表2则需要高频f2达120Hz，
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