中考二次函数与几何图形经典题型汇编PDF详解版.docx
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中考二次函数与几何图形经典题型汇编PDF详解版
2020年中考二次函数与几何图形
经典题型汇编
中考复习战略汇集
注：
题目较难，慎重下载
二次函数与几何图形
模式1：
平行四边形
分类标准：
讨论对角线
例如：
请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况
（1）当边AB是对角线时，那么有AP//BC
（2）当边AC是对角线时，那么有AB//CP
（3）当边BC是对角线时，那么有AC//BP
1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
2、如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．
模式2：
梯形
分类标准：
讨论上下底
例如：
请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成梯形，则可分成以下几种情况
（1）当边AB是底时，那么有AB//PC
（2）当边AC是底时，那么有AC//BP
（3）当边BC是底时，那么有BC//AP
3、已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为（4,0），
点C的坐标为（0，-2），直线y=-2x与边BC相交于点D．
3
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？
若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？
若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将
△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
模式3：
直角三角形
分类标准：
讨论直角的位置或者斜边的位置
例如：
请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况
（1）当∠A为直角时，AC⊥AB
（2）当∠B为直角时，BC⊥BA
（3）当∠C为直角时，CA⊥CB
5、如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q
两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ=3AB时，求tan∠CED的值；
4
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
6：
如图1，直线y=-4x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，
3
0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？
若存在，求出对应的t
值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
模式4：
等腰三角形
分类标准：
讨论顶角的位置或者底边的位置
例如：
请在抛物线上找一点p使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况
（1）当∠A为顶角时，AC=AB
（2）当∠B为顶角时，BC=BA
（3）当∠C为顶角时，CA=CB
7：
已知：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与
（1）中的抛物线交于另一点M，点M
的横坐标为6
5
说明理由；
，那么
EF＝2GO是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请
（3）对于
（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．
8、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）经过点B（12，0）和C（0，－6），对称轴为x
＝2．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？
若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．
（3）在
（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？
若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
模式5：
相似三角形
突破口：
寻找比例关系以及特殊角
9、在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=450，AD=2，BC=6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上。
（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式。
（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径。
（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，
EF的长。
（4）
设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？
若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。
模拟题汇编之动点折叠问题
1.已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.
（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？
2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：
将B、C两点的坐标代y=kx+b,0=3k-3,k=1,∴y=x-3…………1分
⎧3b+c=0
将B、C两点的坐标代入得：
⎨
⎩c=-3
⎧b=-2
，解得：
⎨
⎩c=-3
所以二次函数的表达式为：
y=x2-2x-3.…………………3分
/
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形.设P点坐标为（x，x2-2x-3），
//
PP交CO于E.若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO.…………………5分
/3
连结PP则PE⊥CO于E，∴OE=EC=2
∴y=-3.∴x2-2x-3=-3
.………………………………6分
2
解得x=2+
2
2
10，x=2-
2
10（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（2
2
，-3）.…………………………9分
2
3.已知抛物线y=-x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B,C（点B在点C的右侧）.过点A作垂直于y轴的直线l.在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP.
（1）写出A，B，C三点的坐标；
（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：
①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；
②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M.是否存在点P，使得点M落在
x轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
A
D
BC
MP
4.在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD＝1，AB＝3，BC＝4，M、N分别是底边
BC和腰CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，始终保持AM⊥MN、NP
⊥BC．
（1）证明：
△CNP为等腰直角三角形；
（2）设NP＝x，当△ABM≌△MPN时，求x的值；
（3）设四边形ABPN的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指出x取何值时，四边形ABPN的面积最大，最大面积是多少．
解：
（1）过D作DQ⊥BC于Q，则四边形ABQD为平行四边形DQ=AB=3，BQ=AD=1
∴QC=DQ△DQC中∠C=∠QDC=45°
∴Rt△NPC为等腰Rt△………………（4分）
（2）∵VABM≌VMPNMP=AB=3,BM=NP
∵△NPC为等腰Rt△
∴PC=NP=x∴BM=BC－MP－PC=1－x∴1-x=x∴x=1
2
∴当VABM≌VMPN时，x=1……（8分）
2
（3）S
=1（AB+NP）BP=
1（3+x）（4－x）=－1
x2+
1x+6=－
四边形ABPN2222
11
（x-
22
）+6.125（11分）
∴当x取1
2
时，四边形
ABPN面积最大，最大面积为6.125.……（14分）
5.在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t.
⑴求tan∠FOB的值；
⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；
⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）作AH⊥x轴于H，交CF于P
∵A（2,2）∴AH=OH=2∴∠AOB=45°
∴CD=OD=DE=EF=t∴tan∠FOB=
（2）∵CF∥OB∴△ACF∽△AOB
t=1
2t2
……………………3分
∴AP=CFAHOB
即2-t=t
2OB
∴OB=2t
∴S=1OB⋅AH=
2t（0………………6分
2-t
∆OAB
22-t
（3）要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°
∴只要OE=EF或OE=EF
EBEFEFEB
即:
BE=2t或EB=1t
2
①当BE=2t时,BO=4t,
∴2t2-t
=4t
∴t=0（舍去）或t=3
2
∴B（6,0）……………………8分
②当EB=1t时,
2
（ⅰ）当B在E的右侧时,OB=OE+EB=5t,
2
∴2t2-t
=5t
2
∴t=0（舍去）或t=6
5
∴B（3,0）…………………10分
（ⅱ）当B在E的左侧时,如图，OB=OE-EB=3t,
2
∴2t2-t
=3t
2
∴t=0（舍去）或t=2
3
∴B（1,0）……………………12分
6.（本小题满分12分）如图，抛物线的顶点坐标是⎛5，－9⎫，且经过点A（8,14）.
ç⎪
⎝28⎭
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），
试求点B、C、D的坐标；
（3）设点P是x轴上的任意一点，分别连结AC、BC．试判断：
PA+PB与AC+BC的大小关系，并说明理由.
（第24题图）
ç
解：
（1）（4分）设抛物线的解析式为y=a⎛x-
⎝
5⎫2
⎪
2⎭
-9……………1分
8
ç
∵抛物线经过A（8,14），∴14＝a⎛8-
⎝
5⎫2
⎪
2⎭
-9，解得：
a=1
82
…………2分
∴y=
1⎛5⎫2
-
çx⎪
2⎝2⎭
-9（或y=
8
1x2-
2
5x+2）…………………………1分
2
（2）（4分）令x=0得y=2，∴B（0,2）…………………………1分
令y=0得1x2-5x+2=0，解得x=1、x
=4………………………2分
2212
∴C（1,0）、D（4,0）…………………………………………………………1分
（3）（4分）结论：
PA+PB≥AC+BC
…………………………………1分
理由是：
①当点P与点C重合时，有PA+PB=AC+BC
……………1分
②当点P异于点C时，∵直线AC经过点A（8,14）、C（1,0），∴直线AC的解析式为
y=2x-2
………3分
设直线AC与y轴相交于点E，令x=0，得y=-2，
∴E（0,-2），
则点E（0,-2）与B（0,2）关于x轴对称
∴BC=EC，连结PE，则PE=PB，
∴AC+BC=AC+EC=AE，
∵在∆APE中，有PA+PE>AE
∴PA+PB=PA+PE>AE=AC+BC…………………………………1分综上所得AP+BP≥AC+BC………………………………………………1分
7.．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A（－2，－1），B（0,7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）当x为何值时，y＞0?
（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C、D两点（点C在对称轴的左侧），过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．
解：
解：
（1）把A（－2，－1），B（0,7）两点的坐标代入
y＝－x2＋bx＋c，得
－4－2b＋c＝－1
c＝7
，解得
b＝2
.
c＝7
所以，该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋7，
又因为y＝－x2＋2x＋7＝－（x－1）2＋8，所以对称轴为直线x＝1.
（2）当函数值y＝0时，
－x2＋2x＋7＝0的解为x＝1±22，
结合图象，容易知道1－220.
（3）当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n），则n＝－m2＋2m＋7，即CF＝－m2＋2m＋7.
因为C、D两点的纵坐标相等，
所以C、D两点关于对称轴x＝1对称，设点D的横坐标为p，则1－m＝p－1，
所以p＝2－m，所以CD＝（2－m）－m＝2－2m.因为CD＝CF，所以2－2m＝－m2＋2m＋7，整理，得m2－4m－5＝0，解得m＝－1或5.
因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取－1.当m＝－1时，n＝－m2＋2m＋7＝－（－1）2＋2×（－1）＋7＝4.于是，点C的坐标为（－1,4）．
8.如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分
别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q
沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）。
⑴求x为何值时，PQ⊥AC；
⑵设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
⑶当0＜x＜2时，求证：
AD平分△PQD的面积；
⑷探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）。
A
BPDC
解：
⑴∵当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。
当Q在AC上时，由题意得：
BP＝x，CQ＝2x，PC＝4－x，
∴AB＝BC＝CA＝4，∠C＝600，
若PQ⊥AC，则有∠QPC＝300，∴PC＝2CQ
4x22xx4
∴－＝×
，∴＝，
5
∴当x
4
（Q在AC上）时，PQ⊥AC；
＝
5
⑵当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QH⊥BC于H，
∵∠C＝600，QC＝2x，∴QH＝QC×sin600＝3x
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD1BC＝2
＝
2
∴DP＝2－x，∴y1
2
PD·QH1
2
（2－x）·3x＝－
2
x＋3x
⑶当0＜x＜2时，在Rt△QHC中，QC＝2x，∠C＝600，
∴HC＝x，∴BP＝HC
∵BD＝CD，∴DP＝DH，
∵AD⊥BC，QH⊥BC，∴AD∥QH，
∴OP＝OQ
∴S△PDO＝S△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；
⑷显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离
当x416
55
0x44x1616x4
PQ为直径的圆与AC相交。
5555
9.已知抛物线y=-x2+2（k-1）x+k+2与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的负半轴
上，点B在x轴的正半轴上．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设OA、OB的长分别为a、b，且a∶b＝1∶5，求抛物线的解析式；
（3）在
（2）的条件下，以AB为直径的⊙D与y轴的正半轴交于P点，过P点
作⊙D的
切线交x轴于E点，求点E的坐标。
解：
（1）设点A（x1，0），B（x2，0）且满足x1＜0＜x2
由题意可知x1⋅x1=-（k+2）<0，即k>-2
（2）∵a∶b＝1∶5，设OA=a，即-x1=a，则OB=5a，即x2=5a，a>0
⎧x1+x2=-a+5a=4a
⎧2（k-1）=4a
⎨x⋅x=-a⋅5a=-5a2
⎨-（k+2）=-5a2
∴⎩12
，即⎩
a=-3
∴k=2a+1，即5a2-2a-3=0，解得a1=1，2
5
（舍去）
∴k=3
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5
（3）由
（2）可知，当-x2+4x+5=0时，可得x1=-1，x2=5
即A（－1，0），B（5，0）∴AB＝6，则点D的坐标为（2，0）当PE是⊙D的切线时，PE⊥PD
由Rt△DPO∽Rt△DEP可得PD2=OD⋅DE
DE=9-9
即32=2⨯DE
∴2，故点E的坐标为（2，0）
10.如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD
在x轴上，其中A（－2,0），B（－1,－3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
（3）在第
（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
解：
（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
∴
解之得
；故为所求……4分
（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设BD的
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