广东省惠州市届高三第一次调研考试数学理.docx

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广东省惠州市届高三第一次调研考试数学理

广东省惠州市2019届高三第一次调研考试

数学（理）试题

（本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：

如果在事件发生的条件下，事件发生的条件概率记为,

那么.

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知集合，集合，则（　　）

A.B.C.D.

2．若是真命题，是假命题，则（　　）

A．是真命题B．是假命题C．是真命题D．是真命题

3．的展开式中的系数是（）

A．6B．12C．24D．48

4．在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是（）

A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形

5．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）

6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（　　）．

A．B．　

C．　D．

7．已知、的取值如下表所示：

若与线性相关，

且，则（　　）

0

1

3

4

2.2

4.3

4.8

6.7

A．B．C．D．

8．对实数和，定义运算“”：

．设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）．

A．　B．　C．　D．

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：

第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9.复数Ｚ＝（i是虚数单位）则复数Ｚ的虚部等于．

10.若向量，，则与夹角余弦值等于_____________．

11.已知函数则=．

多面体

面数（F）

顶点数（V）

棱数（E）

三棱锥

4

4

6

三棱柱

5

6

…

正方体

…

…

…

…

…

…

…

12.计算：

　　．

13．18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足一个等式关系.请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F、V、E之间的关系等式：

．

（二）选做题：

第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴垂直，则直线的极坐标方程为．

15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到的距离为　　　　　　　．

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、

证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）

已知函数为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为．

（1）求的解析式  ；  

（2）若  ，求的值．

17.（本小题满分12分）

某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人）选3人参加学校的义务劳动.

（1）设所选3人中女生人数为，求的分布列及；

（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；

（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

18.（本小题满分14分）

如图，已知平面，，△是

正三角形，，且是的中点．

（1）求证：

平面；

（2）求证：

平面平面；

（3）求平面与平面所成锐二面角的大小。

19．（本小题满分14分）

等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，．

（1）求与；

（2）设，求证：

.

20.（本小题满分14分）

已知椭圆（＞＞0）的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。

（1）求椭圆的方程：

（2）设直线与椭圆相交于不同的两点。

已知点的坐标为（-，0），点（0，）在线段的垂直平分线上，且=4。

求的值。

21．（本小题满分14分）

已知三次函数．

（1）若函数过点且在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（2）当时，若，试求的取值范围；

（3）对，都有，试求实数的最大值，并求取得最大值时的表达式．

参考答案

一．选择题：

共8小题，每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

D

C

C

C

B

D

B

1．【解析】由交集的定义选A.

2．【解析】或（）一真必真，且（）一假必假，非（）真假相反，故选D

3．【解析】，令

的系数为．故选．

4.【解析】在中，若，则即

．故选．

5．【解析】因成等比，则当时圆锥曲线为椭圆其离心率为；当时圆锥曲线为双曲线其离心率为故选

6．【解析】第一步：

，第二步：

，输出．故选B

7．【解析】，线性回归直线过样本中心点

．故选D．

8．【解析】由题设

画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为，，，，．从图象中可以看出，直线穿过点，点之间时，直线与图象有且只有两个公共点，同时，直线穿过点，点时，直线与图象有且只有两个公共点，所以实数的取值范围是．故选Ｂ

二．填空题：

共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9．110．11．12．13．

14．15．

9．【解析】．虚部为1．

10．【解析】

11.【解析】因函数所有

12.【解析】由该定积分的几何意义可知为半圆：

的面积。

.

13.【解析】

三、解答题：

16.（本小题满分12分）

解：

（1）图象上相邻的两个最高点之间的距离为,

则..………2分

是偶函数,,又，．

则　．………5分

（2）由已知得，．

则．………8分

…12分

17.（本小题满分12分）

解：

（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得：

　--------３分

的分布列为

0

1

2

　　　　　　　　　　　　　　----------------５分

（2）设“甲、乙都不被选中”为事件，则

所求概率为-------------８分

（3）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，

　　　　　　　　------------10分

（或直接得　------------1２分

18.（本小题满分14分）

解：

（1）解：

取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=

又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。

-------------------2分

又∵AF平面BCE，BP平面BCE，

∴AF//平面BCE。

-------------------4分

（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。

∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，

∴DE⊥AF。

又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE。

--------------------------------6分

又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。

又∵BP平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE。

------------------------8分

（3）法一、由

（2），以F为坐标原点，

FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），

建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，

则C（0，—1，0），----------------------------9分

------11分

显然，为平面ACD的法向量。

设面BCE与面ACD所成锐二面角为

则.

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.-----14分

法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO．

则．

由ＡＢ是的中位线，则．

在，．

，又．

．----------------------------12分

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.-------------------------14分

19．（本小题满分14分）

解：

（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q，

由题知:

，，

解直得,q=2或q=-8（舍去），d=1；----------------------5分

；------------------------7分

（2）证明：

，．

　法一、　下面用数学归纳法证明对一切正整数成立．

（１），命题成立．------------------8分

（２）

则当＝

＝，这就是说当时命题成立。

--12分

综上所述原命题成立．-----------------------------------１４分

法二、

--------------------------14分

法三、设数列，，则---------------9分

--------12分

数列单调递增，于是，而

------------------------------14分

20.（本小题满分14分）

（1）解：

由，得，再由，得----2分

由题意可知，解方程组得---5分

所以椭圆的方程为--------6分

（2）解：

由

（1）可知A（-2,0）。

设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为,--------7分

于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，

得--------8分

由得--------9分

设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：

（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。

线段AB的垂直平分线为y轴，于是

------11分

②当k时，线段AB的垂直平分线方程为

令x=0，解得由

整理得---13分

综上。

--------14分

21．（本小题满分14分）

解：

（1）∵函数过点，∴，①

又，函数点处的切线方程为，

∴，∴，②

由①和②解得，，，故；-------------4分

（2）法一、

可得：

----------------------6分

----------------7分

。

．--------------------9分

法二、又

（★）

作出（★）不等式表示的平面区域如图：

目标函数：

----------7分

如图示当直线过点时，

取最大值16.

当直线过点时，

取最小值1.

综上所得：

--9分

（3）∵，

则，可得．-------10分

∵当时，，∴，，，

∴，----12分

∴，故的最大值为，

当时，，解得，，

∴取得最大值时．------------------------------14分