考研数学高等数学强化习题定积分应用.docx
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考研数学高等数学强化习题定积分应用
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模块七定积分（应用）
Ⅰ经典习题
一．平面图形的计算
1、曲线yexsinx0
x
3
与x轴所围成图形的面积可表示为（）
A
3
B
3
exsinxdx
exsinxdx
0
0
C
exsinxdx
2
3
exsinxdx
exsinxdx
0
2
D
2
3
exsinxdx
exsinxdx
0
2
b
2、设为常数
（1）求曲线L:
y
2x3
bx
1的斜渐近线（记为l）的方程
x（x
2）
（2）设L与l从x
1延长到x
之间的图线的面积
A为有限值，求b,A
3、曲线yx2与直线y
x
2
所围成的平面图形的面积为
_________.
1
：
y1x
0x1
x
2
yax
4、假定曲线L
2
、轴和y轴所围地区被曲线
L：
2分为面
积相等的两部分
此中a是大于零的常数,试确立a的值.
5、求曲线y
x的一条切线l,使该曲线与切线l及直线x
0,x2
所围成的平面图形面
积最小.
6、计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形面积。
x2y2
7、求椭圆a2b21所围成图形的面积。
8、求以下各曲线围成的图形的面积
（1）2acos
（2）2a2cos
二．简单几何体的体积
9、曲线y1
x
1
2
0围成的图形绕
y轴旋转而成的立体的体积是（
）
及直线y
A
1
1
2
1
1
2
1
y
dy
B
1ydy
0
0
C
1
1
y
1
1
y
2
dy
1
0
D
1
1
y
2
1
y
2
dy
1
1
0
10、设曲线方程为y
ex（x
0）.
（1）把曲线
y
e
x、轴、y轴和直线
x
（
0）
所围平面图形绕
x轴旋转一周，得一
x
旋转体，求此旋转体体积V（
）;求知足V（a）
1limV（
）的a
2
（2）在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.
11、设抛物线yax2bxc过原点，当0x1时y0,又已知该抛物线与x轴及直线
x1所围图形的面积为1.试确立a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V
3
最小.
12、过坐标原点作曲线yex的切线，该切线与曲线yex以及x轴围成的向x轴负向无穷延
伸的平面图形记为D
（1）求D的面积
（2）求D饶直线x1所成旋转体体积V
13、设曲线y
ax2
（x0,a
0）与曲线y
1x2
交于点A,过坐标原点O和点A的直
线与曲线y
ax2
围成一平面图形
D
（1）求D饶
x轴旋转一周所成的旋转体体积
V（a）
（2）求a的值使V（a）为最大
14、在曲线yx2（x0）上某点A处作切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为1,试
12
求：
（1）切点A的坐标；
（2）过切点A的切线方程；
（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。
15、过原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx以及x围成平面图形D
（1）求D的面积
（2）求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V
16、求曲线y3|x21|与x轴围成的关闭图形绕直线y3旋转所得的旋转体体积.
17、设曲线y24ax及直线xx0x00所围成图形绕x轴旋转的体积。
三．曲线弧长（*数学一、数学二）
18、曲线r
aeb
a
0,b0，从
0到
0的弧长为（）
As
aeb
1b2d
Bs
1
abeb
2
d
0
0
Cs
1
aeb
2
d
D
s
abeb
1
abeb
2
d
0
0
19、计算曲线y
lnx上相应于
3
x
8的一段弧长。
20、求对数螺旋线
ea，相应于
0
的一段弧长。
21、求曲线
1，相应于3
4
的一段弧长。
4
3
22、求心形线
a1
cos
的全长。
23、求抛物线y
1x2，被圆x2
y2
3
所截下的有限部分弧长。
2
四．旋转曲面面积（*数学一、数学二）
24、已知摆线的参数方程为
x
a（t
sint）
2，常数a
0，设摆线一拱的
y
a（1
，此中0t
cost）
弧长的数值等于该弧段饶
x轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值，求
a
25、设有曲线y
x1,过原点作其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕
x轴
旋转一周所获得的旋转体的表面积.
26、由曲线段y
1x（0
x2）
绕x轴的旋转面面积.
2
五．物理应用（*数学一、数学二）
27、曲线x
atsint
，y
a1
cost,
0t2
的质心为
4
B
2
C
5
a
7
Aa,a
a,a
a,
Da,a
3
3
4
4
28、半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水同样，现将球从水中拿出，需要多少功？
29、一圆柱形的贮水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满水，试问要把桶内的水所有吸
出来需要做多少的功。
30、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉入木板的深度成正比，在击第一
次时，将铁钉击入木板1cm。
假如铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，问铁锤第二次时，铁
钉又击入多少？
31、等腰梯形的闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，
计算闸门的一侧所受的水压力（重力加快度按9.8m2/s计算）。
32、一底为8cm，高为6cm的等腰三角形片，铅直的沉入到水中，顶在上，底在下且与水
面平行，而顶离水面
3cm，试求它的每面所受的压力
（重力加快度按
9.8m2/s计算）。
33、求以下平面图形的形心坐标：
（1）平面地区：
D1
x,y|x2
y2
1,x
0,y
0；
（2）曲线：
x2
y2
1,x0,y
0；
（3）平面地区：
D2
x,y|x2
y2
1,1
x
1,0y1.
Ⅱ参照答案
一．平面图形的计算
1、C
2、【分析】：
（1）L:
y
2x3
bx
1的斜渐近线为
x（x
2）
y
lim2x
3
bx
1
lim
2
2
x
x
x
x
（x
2）
lim（y2x）
2x3
bx1
2x]
2x3
bx12x3
4x2
4
lim[
x（x
2）
lim
x（x
2）
x
x
x
所以斜渐近线方程为：
y
2x
4
[2x
3
bx
1（2x
（b
8）x1dx
b
15
1
（2）S
4）]dx
[
2
2]dx
A
1
x（x
2）
1
x（x2）
1
x
2
x
1lim[（2
b
15）ln（x
2）
lnx]1t
1lim[lnt（t
2）2b
15
（2b
15）ln3]
2t
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