全等三角形的经典模型一.docx
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全等三角形的经典模型一
全等三角形的
经典模型
（一）
3
满分晋级
三角形9级
全等三角形的经典模型
（二）
三角形8级
全等三角形的经典模型
（一）
三角形7级
倍长中线与截长补短
秋季班第四讲
秋季班第三讲
秋季班第二讲
漫画释义
作弊？
知识互联网
题型一：
等腰直角三角形模型
思路导航
等腰直角三角形数学模型思路：
⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或）.如图1；
⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；
⑶补全为正方形.如图3，4.
图1图2
图3图4
典题精练
【例1】已知：
如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，，O为BC的中点，
⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要
求证明）
⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持
AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.
⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．
1【解析】⑴OA=OB=OC
⑵连接OA,
∵OA=OCAN=CM
∴△ANO≌△CMO
∴ON=OM
∴
∴
∴
∴△OMN是等腰直角三角形
⑶△ONM依然为等腰直角三角形，
证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点
∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°，
∴AO=BO=OC，
∵在△ANO和△CMO中，
∴△ANO≌△CMO（SAS）
∴ON=OM，∠AON=∠COM，
又∵∠COM∠AOM=90°，
∴△OMN为等腰直角三角形．
【例2】两个全等的含，角的三角板和三角板，如
图所示放置，三点在一条直线上，连接，取的
中点，连接，．试判断的形状，并说明理由．
【解析】是等腰直角三角形．
证明：
连接．由题意，得
∴为等腰直角三角形.
∵，
∴．
∴，
∴≌．
∴．
又．
∴，
∴是等腰直角三角形．
【例3】已知：
如图，中，，，是的中
点，于，交于，连接．
求证：
．
1【解析】证法一：
如图，过点作于，交于．
∵，，
∴．
∵，∴．
∵，∴
∵，∴．
∴．
在和中，
∴．∴．
在和中，
∴．
∴．
证法二：
如图，作交的延长线于．
∵，∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴，
∵，∴．
在和中，
∴．∴
∴．
【例4】如图，等腰直角中，，为内部一点，满足
，求证：
．
【解析】补全正方形，连接DP，
易证是等边三角形，，，
∴，，∴，
∴．
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型
在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。
例4为求角度的应用，其他应用探究如下：
【探究一】证角等
【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM交BC于点D，连结DM，求证:
∠AMB=∠CMD．
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N，
∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，
易证Rt△ABM≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM，
∵M为AC中点，∴CM=CN，
∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND，
∴∠CND=∠CMD，
∴∠AMB=∠CMD．
【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定△DEF的形状．
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，
可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K，
∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:
Rt△ABD≌Rt△CAK，
∴∠ADB=∠CKN，CK=AD，
∵AD=EC，∴CK=CE，
易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，
易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．
【探究三】利用等积变形求面积
【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB，
可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M，
可知DN=EB=4，DM=FC=3，
由正方形对称性质，
可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12．
【探究四】求线段长
【备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的长．
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°，若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．
【解析】以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC．
可知BE=BD=3，FC=CD=2，
延长EB、FC交点G，∵∠BAC=45°，
由对称性，可得∠EAF=90°，且AE=AD=AF，
易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD，
设AD=x，则BG=x－3，CG=x－2，
在Rt△BCG中，由勾股定理，得，
解得x=6，即AD=6．
【探究五】求最小值
【备选5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值．
【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB，可知四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:
PM+PC=DM=．
题型二：
三垂直模型
思路导航
常见三垂直模型
例题精讲
【引例】已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：
AC⊥CE；
⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，，
其余条件不变，试判断AC⊥C1E这一结论是否成立？
若成立，给予证
明；若不成立，请说明理由.
①②③④
1【解析】⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD
∴
在与中
∴（SAS）
∴
∵
∴,即AC⊥CE
⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明
∴
∵∴
∴AC⊥C1E
典题精练
【例5】正方形中，点、的坐标分别为，，点在第一象限．求正方形边长及顶点的坐标．（计算应用：
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）
2【解析】过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延长交CG于F
点、的坐标分别为，
∴BE=8，AE=6，∴AB=10
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC
∵
∴
∵
∴△AEB≌△BFC
∴CF=BE=8，BF=AE=6
∴CG=12EF=14
∴C（14，12），正方形的边长为10
【点评】此题中三垂直模型：
【例6】如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，．
⑴求证：
；
⑵求证：
是线段的垂直平分线；
⑶是等腰三角形吗？
请说明理由．
【解析】⑴∵，，
∴，∴，
∵，，
∴，∴．
⑵∵是中点，∴
由⑴得：
，∴
∵，∴，
∵，∴
由等腰三角形的性质，得：
即是线段的垂直平分线．
⑶是等腰三角形，
由⑵得：
，由⑴得：
∴，∴是等腰三角形．
【例7】⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数=；
⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠APM=°，并写出你的推理过程．
（2013平谷一模）
3【解析】⑴图略，60°
⑵45°
证明：
作AE⊥AB且.
可证≌
∴，
∵∴
∴
∴是等腰直角三角形,
又△AEC≌△CAN（SAS）
∴
∴EC∥AN.
∴
思维拓展训练（选讲）
训练1.已知：
如图，中，AC=BC，，是上一点，AE⊥BD的延长线于E，并且，求证：
BD平分.
4【解析】延长AE交BC的延长线于F
∵BE⊥AF，
∴
∴在△AFC和△BDC中，
∴△AFC△BDC（ASA）
∴AF=BD
又∵
∴
∴BE是AF的中垂线∴BA=BF
∴BD平分
训练2.已知，在正方形ABCD中，E在BD上，DG⊥CE于G，DG交AC于F.求证：
OE=OF
1【解析】∵ABCD是正方形
∴OD=OC
∵DG⊥CE∴
∴∵
∴
∴在△DOF和△COE中，
∴△DOF≌△COE（ASA）
∴OE=OF
训练3.已知：
如图，中，，，是的中点，于．求证：
5【解析】∵，，是的中点
∴AD=BD=CD，AD⊥BC
∴
∵
∴
∴
∴在△BDH和△ADF中，
∴△BDH≌△ADF（ASA）
∴DH=DF
训练4.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
6【解析】在Rt△AEF和Rt△DEC中，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．
又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC
∴Rt△AEF≌Rt△DCE．
∴AE=CD．
∴AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm，
∴2（AE+AE+4）=32．
解得AE=6cm．
复习巩固
题型一等腰直角三角形模型巩固练习
【练习1】如图，△ACB、△ECD均为等腰直角三角形，则图中与△BDC全等的三角形为_________.
2【解析】△AEC
【练习2】如图，已知中，，是的中点，，垂足为．，交的延长线于点．求证：
．
2【解析】∵，，
∴，
．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵是的中点，
∴，
即．
题型二三垂直模型巩固练习
【练习3】已知：
如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．请探求DF与AB有何数量关系？
写出你所得到的结论并给予证明．
F
A
D
C
E
B
3【解析】经探求，结论是：
DF=AB．
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=，AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，∴∠AFD=，
∵AE=AD，
∴．
∴AB=DF．
【练习4】如图，中，，，是上任意一点，
交延长线于，于．求证：
．
4【解析】根据条件，、都与互余，
∴．
在和中，
，，
∴．
则，，
∴．
【练习5】四边形ABCD是正方形．
⑴如图1，点G是BC边上任意一点（不与B、C两点重合），连接
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