名师推荐新课标江西省招生考试数学信息训练卷及答案解析.docx
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名师推荐新课标江西省招生考试数学信息训练卷及答案解析
2018年江西省中等学校招生考试数学信息训练试卷
（二）
一、选择题
1．下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中．汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油．某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：
油电混动汽车
普通汽车
购买价格
17.48
15.98
每百公里燃油成本（元）
31
46
某人计划购入一辆上述品牌的汽车．他估算了未来10年的用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本．则他在估算时，预计平均每年行驶的公里数至少为（ ）
A．5000B．10000C．15000D．20000
3．小明在暗室做小孔成像实验，如图1，固定光源（线段MN）发出的光经过小孔（动点K）成像（线段M′N′）于足够长的固定挡板（直线l）上，其中MN∥l．已知点K匀速运动，其运动路径由AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．记它的一段时间为x，M′N′的长度为y，若y关于x的函数图象大致如图2所示，则点K的运动路径可能为（ ）
A．A→B→C→D→AB．B→C→D→A→BC．B→C→A→D→BD．D→A→B→C→D
二、填空题
4．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为______．
5．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的
，另一根露出水面的长度是它的
，两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是______cm．
6．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长
m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为
m，则鱼竿转过的角度是______．
三、解答题
7．某私立中学准备招聘教职员工60名，所有员工的月工资情况如下：
员工
管理人员
教学人员
人员结构
校长
副校长
部处主任
教研组长
高级教师
中级教师
初级教师
员工人数/人
1
2
4
10
3
每人月工资/元
20000
17000
2500
2300
2200
2000
900
请根据上表提供的信息，回答下列问题：
（1）如果学校准备招聘“高级教师”和“中级教师”共40名（其他员工人数不变），其中高级教师至少要招聘13人，而且学校对高级、中级教师的月支付工资不超过83000元，按学校要求，对高级、中级教师有几种招聘方案？
（2）
（1）中的哪种方案对学校所支付的月工资最少？
并说明理由；
（3）在学校所支付的月工资最少时，将上表补充完整，并求所有员工月工资的中位数和众数．
四、解答题
8．已知抛物线C1：
y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；
（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．
五、解答题
9．操作：
如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．
探究：
（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？
并求出此时∠AFD的度数．
归纳：
（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？
试证明你的结论；
猜想：
（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？
试在图中画出图形，并直接写出结论．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；简单几何体的三视图．
【分析】根据各图形的主视图结合中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：
A、主视图为矩形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、主视图为等腰三角形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C、主视图为圆，是中心对称图形，故本选项错误；
D、主视图为正方形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
2．油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中．汽车在低速行驶时，使用蓄电池带动电动机驱动汽车，节约燃油．某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下：
油电混动汽车
普通汽车
购买价格
17.48
15.98
每百公里燃油成本（元）
31
46
某人计划购入一辆上述品牌的汽车．他估算了未来10年的用车成本，在只考虑车价和燃油成本的情况下，发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本．则他在估算时，预计平均每年行驶的公里数至少为（ ）
A．5000B．10000C．15000D．20000
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】设平均每年行驶的公里数至少为x公里，根据购买的单价和每百公里燃油的成本列出不等式，再进行求解即可．
【解答】解：
设平均每年行驶的公里数至少为x公里，根据题意得：
174800+
x×10≤159800+
x×10，
解得：
x≥10000．
答：
平均每年行驶的公里数至少为10000公里．
故选B．
3．小明在暗室做小孔成像实验，如图1，固定光源（线段MN）发出的光经过小孔（动点K）成像（线段M′N′）于足够长的固定挡板（直线l）上，其中MN∥l．已知点K匀速运动，其运动路径由AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．记它的一段时间为x，M′N′的长度为y，若y关于x的函数图象大致如图2所示，则点K的运动路径可能为（ ）
A．A→B→C→D→AB．B→C→D→A→BC．B→C→A→D→BD．D→A→B→C→D
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据题意可以明确各段对应的y的大小，从而可以解答本题．
【解答】解：
由题意可得，
当K在点A处时，y最大，在C处时，y最小，
点K匀速运动，由图2可知，
点K从开始运动到第一次到达的位置一定为点C，第三次到达的位置一定为点A，
故选项B符合，从B→C，y随x的增大而减小，从C→D，y随x的增大而增大，从D→A，y随x的增大而增大，A→B，y随x的增大而减小，
故选B．
二、填空题
4．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为 25 ．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据扇形面积公式：
S=
•L•R（L是弧长，R是半径），求出弧长BD，根据题意BD=AD+DC，由此即可解决问题．
【解答】解：
由题意
=AD+CD=10，
S扇形ADB=
•
•AB=
×10×5=25，
故答案为25．
5．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的
，另一根露出水面的长度是它的
，两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是 80 cm．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【分析】设水的深度为xcm，根据两根铁棒露出水面的长度占自身长度的比例，可得第一根的长度为
x，另一根的长度为
x，根据两根铁棒长度之和为220cm，列方程求解．
【解答】解：
设水的深度为xcm，
由题意得，
x+
x=220，
解得：
x=80，
即水深80cm．
故答案为：
80．
6．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长
m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为
m，则鱼竿转过的角度是 15° ．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出∠CAB，∠C′AB′，然后可以求出∠C′AC，即求出了鱼竿转过的角度．
【解答】解：
∵sin∠CAB=
=
=
，
∴∠CAB=45°．
∵sin∠C′AB′=
=
=
，
∴∠C′AB′=60°．
∴∠C′AC=60°﹣45°=15°，即鱼竿转过的角度是15°
故答案为：
15°．
三、解答题
7．某私立中学准备招聘教职员工60名，所有员工的月工资情况如下：
员工
管理人员
教学人员
人员结构
校长
副校长
部处主任
教研组长
高级教师
中级教师
初级教师
员工人数/人
1
2
4
10
3
每人月工资/元
20000
17000
2500
2300
2200
2000
900
请根据上表提供的信息，回答下列问题：
（1）如果学校准备招聘“高级教师”和“中级教师”共40名（其他员工人数不变），其中高级教师至少要招聘13人，而且学校对高级、中级教师的月支付工资不超过83000元，按学校要求，对高级、中级教师有几种招聘方案？
（2）
（1）中的哪种方案对学校所支付的月工资最少？
并说明理由；
（3）在学校所支付的月工资最少时，将上表补充完整，并求所有员工月工资的中位数和众数．
【考点】中位数；一元一次不等式的应用；众数．
【分析】
（1）设高级教师招聘x人，则中级教师招聘（40﹣x）人，根据题目中的不等关系：
学校对高级、中级教师的月支付工资不超过83000元，就可以列出不等式进行求解即可，确定招聘方案．
（2）在高级教师和中级教师招聘的人数确定时，中级教师招聘的人数越多，所需支付的月工资最少．
（3）根据中位数和众数的定义求解．
【解答】解：
（1）设高级教师招聘x人，则中级教师招聘（40﹣x）人，依题意得：
2200x+2000（40﹣x）≤83000，求得：
13≤x≤15
∴x=13，14，15
∴学校对高级教师，中级教师有三种招聘方案：
方案一：
高级教师13人，中级教师27人
方案二：
高级教师14人，中级教师26人
方案三：
高级教师15人，中级教师25人．
（2）在招聘高级教师和中级教师人数一定时，招聘中级教师的人越多，所需支付的月工资最少，故当高级教师招聘13人，中级教师招聘27人时，学校所支付的月工资最少，需支付2200×13+2000×27=82600元．
（3）如下表：
员工
管理人员
教学人员
人员结构
校长
副校长
部处主任
教研组长
高级教师
中级教师
初级教师
员工人数/人
1
2
4
10
13
27
3
每人月工资/元
20000
17000
2500
2300
2200
2000
900
在学校所支付的月工资最少时，中位数是2100元，众数是2000元．
四、解答题
8．已知抛物线C1：
y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；
（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】
（1）由抛物线经过原点可知当x=0时，y=0，由此可得关于x的一元二次方程，解方程即可求出抛物线x轴另一交点坐标；
（2）由△AMO为等腰直角三角形，抛物线的顶点为M，可求出b的值，再把原点坐标（0，0）代入求出a的值，即可求出抛物线C1的解析式；
（3）由b=1，易求线抛物线C1的解析式，设N（n，﹣1），再由点P（m，0）可求出n和m的关系，当顶点N在抛物线C1上可把N的坐标代入抛物线即可求出m的值．
【解答】解：
（1）∵抛物线C1：
y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）经过原点O，
∴0=4a+b，
∴当ax2+4ax+4a+b=0时，则ax2+4ax=0，
解得：
x=0或﹣4，
∴抛物线与x轴另一交点A坐标是（﹣4，0）；
（2）∵抛物线C1：
y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）
∴顶点M坐标为（﹣2，b），
∵△AMO为等腰直角三角形，
∴b=2，
∵抛物线C1：
y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，
∴a（0+2）2+2=0，
解得：
a=﹣
，
∴抛物线C1：
y=﹣
x2﹣2x；
（3）∵b=1，抛物线C1：
y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）
∴a=﹣
，
∴y=﹣
（x+2）2+1=﹣
x2﹣x，
设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），
∴n﹣m=m+2，
∴n=2m+2
即点N的坐标是（2m+2，﹣1），
∵顶点N在抛物线C1上，
∴﹣1=﹣
（2m+2+2）2+1，
解得：
m=﹣2+
或﹣2﹣
．
五、解答题
9．操作：
如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．
探究：
（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？
并求出此时∠AFD的度数．
归纳：
（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？
试证明你的结论；
猜想：
（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？
试在图中画出图形，并直接写出结论．
【考点】四边形综合题．
【分析】
（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF相等，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；
（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，理由为：
作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；
（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：
作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．
【解答】解：
（1）①∵∠EAP=∠BAP=30°，
∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，
∴∠ADE=∠AED=÷2=75°，
在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，
∴∠F=180°﹣60°﹣75°=45°；
②点E为DF的中点时，P也为BC的中点，理由如下：
如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，
∵EG∥AD，DE=EF，
∴EG=
AD=1，
∵AB=AE，
∴点A在线段BE的垂直平分线上，
同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，
∴AF垂直平分线段BE，
∴OB=OE，
∵GE∥BP，
∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，
∴△BOP≌△EOG，
∴BP=EG=1，即P为BC的中点，
∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，
∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；
（2）∠AFD的度数不会发生变化，
证明：
作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，
在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，
∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，
∴∠1+∠2=
×90°=45°，即∠FAG=45°，
则∠F=90°﹣45°=45°；
（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，
作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，
设∠DAG=∠EAG=α，
∴∠BAE=90°+2α，
∴∠FAE=
∠BAE=45°+α，
∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，
在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．
2016年9月24日
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