八年级数学十一讲课内容.docx
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八年级数学十一讲课内容
第一章平行线
1.平面内两条直线的位置关系：
平行或相交，垂直关系是相交直线中的特例。
2.在复杂图形中寻找同位角、内错角、同旁内角（概念的运用，寻找三线八角）。
3.平行线知识在几何问题中的应用（辅助线的添加）。
练习1如图，已知射线CB∥DA，∠C=∠DAB=100°，点E、F在BC上，且满足∠FDB=∠ADB，DE平分∠CDF。
1）求∠EDB的度数；
2）若平行移动AB，那么∠DBC：
∠DFC的值是否随之发生变化？
若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
3）在平移AB的过程中，是否存在某种关系，使∠DEC=∠DBA？
若存在，求出其度数；若不存在，说明理由。
练习2如图，已知两条平行直线AB、CD之间有一点E，M在AB上，N在CD上，试判断∠1、∠2与∠MEN之间的关系，并说明理由。
练习3已知点E、F在△ABC的边所在直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH，EG分别交边BC所在直线于点H，G。
1）如图1，点E，F在边AB上，那么EG+FH=AC成立吗？
为什么？
2）如图2，当E，F在直线AB上时，EG，FH和AC之间存在什么关系？
试证明。
第二章特殊三角形
1.三角形常识
1）三角形中，三个内角和为180°。
常用于进行三角形相关的角度运算（注意有时候不需要每个角都求出来，运用角的和差关系进行计算也是角度计算中常用的方法之一）。
2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
3）构成三角形的三条边的关系：
两边之和大于第三边。
注意：
不存在两角之和大于第三角这种限定。
4）三角形中，较大边所对的角肯定大于较小边所对的角，同理较大角所对的边大于较小角所对的边。
简单的说，同一三角形中，大边对大角，大角对大边。
2.等腰三角形
1）等腰三角形的两底角相等。
等腰三角形已知一角就可求出另外两角，三个角可以用一个数学符号表示。
2）三线合一。
等腰三角形最常用的性质，常用于判断角平分线、垂直或线段中点。
3）等腰三角形的判定。
常用于判断有一个公共点的两条线段相等。
4）实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造等腰三角形的方法有：
角平分线+平行线；角平分线+垂线；线段垂直平分线；三角形中角的2倍关系。
5）画等腰三角形的题目。
其中，以已知一条线段为边构造等腰三角形时，须分类讨论：
当该线段为底边时，做该线段的垂直平分线；当该线段为腰时，分别以两端点为圆心，以线段长为半径画圆。
练习4如图，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数。
练习5如图，AP、BQ分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的角平分线，且AP=AB=BQ，P、B、C在一条直线上，A、C、Q在一条直线上，则∠ACB的度数是多少？
练习6如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，则BD，CE，DE之间存在着什么关系？
试证明。
练习7等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形的顶角为。
练习8如图，在直线l上找一点P，使△PAB为等腰三角形，这样的点P有几个？
试做出所有的点。
练习9如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？
为什么？
练习10如图，△ABC中，AB=2AC，AD是∠BAC的平分线，且AD=BD，试说明∠ADB=2∠ADC的理由。
3.等边三角形
1）三条边相等，三个内角均为60°。
2）三线合一。
3）等边三角形的判定：
有一个角是60°的等腰三角形；三边相等；三个角都是60°。
4）等边三角形中60°角的应用。
常用到三角形的外角性质：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
练习11如图，△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：
BP=2PQ。
4.直角三角形
1）直角三角形两锐角互余。
当图中出现2个及以上直角时考虑用此性质找相等的角：
同角或等角的余角相等。
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
直角三角形斜边上的中线把三角形分成两个等腰三角形。
●30°角所对的直角边等于斜边的一半。
●一个三角形中，如果一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边是斜边。
●题中出现直角及中点时，先考虑能否用到直角三角形斜边中线的性质。
练习12△ABC中，BF⊥AC，CG⊥AB，垂足分别为F、G，D是BC的中点，DE⊥FG，垂足为E，求证：
GE=EF。
5.勾股定理及其逆定理
1）勾股定理是现阶段求线段长度的主要方法，如果图中缺乏直角条件，则需要添加辅助线构造直角三角形来应用勾股定理。
由于勾股定理是一个代数式，因此在使用时往往需要设线段长为未知数来进行计算。
2）勾股定理及其逆定理的应用中，设未知数进行计算的方法在数学中属于数形结合思想。
3）常见需要构造直角三角形的题型：
●已知四条边长以及一个直角的四边形，往往需要连接两点来构造直角三角形；
●已知两个直角以及两条边长的四边形，往往需要延长边来构造直角三角形；
●已知边长或角度的三角形，往往需要做垂线来构造之间三角形。
4）勾股定理中常见的计算问题：
●折叠问题中勾股定理的应用；
●完全平方公式在相关计算中的应用；
●有一条公共边的两直角三角形。
练习13如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C´的位置上，已知AB=3，BC=7，求重合部分的面积。
练习14在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD。
练习15如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。
练习16在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，试说明：
1）
+
=
；
2）a+b3）判断a+b，h，c+h为三边的三角形的形状，并说明理由。
练习17已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求三角形ABC的面积。
练习18已知Rt△ABC中，CD为AB上的中线，且CD=
AB，CD=1，△ABC的周长是2+
，求这个三角形的面积。
练习19如图，△ABC中，AB=2，AC=4，点D在BC边上，且AD=2，BD：
CD=2：
3，试判断△ABC的形状，并说明理由。
6.三角形问题中面积法的应用
1）直角三角形求斜边上的高；
2）勾股定理的证明；
3）平面内一点到三角形三边的距离问题（连接该点与三角形顶点，构造新的三角形）。
7.常用其他知识点及辅助线
1）线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等；
2）角平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
3）与角相关类题目：
●余角、补交；
●三角形的外角；
●特殊角：
30°（直角三角形），45°（等腰直角三角形），60°（等边三角形或直角三角形），90°
4）图形变换的应用（详见讲义）
练习20如图，已知△ABC中，AD为BC上的中线，AD=6.5，AB=5，AC=12，求∠BAC。
练习21如图，△ABC的外角平分线BP，CP相交于点P，试说明P也在∠BAC的平分线上。
练习22如图，△ABC中，AB=AC，过点A作BC的平行线l，点D是直线l上异于点A的任意一点，连接DB，DC，请判断AB+AC与DB+DC之间的大小关系，并说明理由。
练习23如图，已知线段BD上一点C，分别以BC和CD为边作等边△ABC和等边△CDE，连接AD和BE，在AD和BE上截取AG=BF，求证：
△CFG是正三角形
练习24如图，已知AE=AC，EF∥BC，EC平分∠DEF，求证：
AD⊥EC。
常见错题整理
1.如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，试求∠A的度数。
2.
如图，在△ABC中，AD=AC，BE=BC，
1）若∠ACB=96°，求∠DCE的度数；
2）∠DCE与∠A、∠B之间存在怎样的数量关系？
3.
如图，在△ABC中，∠BAC=130°，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，求∠PAQ的度数。
4.
如图，在△ABC中，∠BCA=2∠A，AC=2BC，求∠ABC的度数。
5.如图，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠CAB平分线，求证：
AC=AB+BD。
6.
如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD平分∠BAC，交BC于点D，BF⊥AE，垂足为E，求证：
BE=
（AC-AB）。
7.
如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F
1）求证：
AD=CE；
2）求∠DFC的度数
8.如图，已知△ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连结CE和DE，求证：
△CDE是等腰三角形。
9.已知：
等边△ABC的边长为a。
探究：
1）如图
（1），过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：
△MNG是等边三角形且MN=
a；
2）在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D,E,F。
如图
（2），若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：
结论1.OD+OE+OF=
a;
结论2.AD+BE+CF=
a.
②如图（3），若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1,2是否仍然成立？
如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。
10.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB上任一点，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，CH⊥AB，垂足为H，交AE于点G。
BD与CG相等吗？
请说明理由。
11.如图，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D。
1）若∠BAC=30°，求证：
AD=BD；
2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数。
12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ACB的平分线交AD、AB于点E、F，请说明：
AE=AF。
13.如图，AB∥CD，E是AD的中点，CF⊥AB，垂足为F，求证：
CE=EF。
14.
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，M,N分别为斜边AB上的两点，如果∠MCN=45°，那么AM2+BN2与MN2相等吗？
请说明理由。
15.如图，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长。
16.
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度数。
17.如图，在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25。
1）
△ABC内是否存在一点P到各边的距离相等，如果存在，请作出这一点，并说明理由；
2）求出这个距离。
18.
如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F，则CE平分∠DEF，请说明理由。
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