八年级数学十一讲课内容.docx

1、八年级数学十一讲课内容第一章 平行线1. 平面内两条直线的位置关系：平行或相交，垂直关系是相交直线中的特例。2. 在复杂图形中寻找同位角、内错角、同旁内角（概念的运用，寻找三线八角）。3. 平行线知识在几何问题中的应用（辅助线的添加）。练习1 如图，已知射线CBDA，C=DAB=100，点E、F在BC上，且满足FDB=ADB，DE平分CDF。1) 求EDB的度数；2) 若平行移动AB，那么DBC：DFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；3) 在平移AB的过程中，是否存在某种关系，使DEC=DBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由。练习2 如图，已知两条平行

2、直线AB、CD之间有一点E，M在AB上，N在CD上，试判断1、2与MEN之间的关系，并说明理由。练习3 已知点E、F在ABC的边所在直线上，且AE=BF，FHEGAC，FH，EG分别交边BC所在直线于点H，G。1) 如图1，点E，F在边AB上，那么EG+FH=AC成立吗？为什么？2) 如图2，当E，F在直线AB上时，EG，FH和AC之间存在什么关系？试证明。第二章 特殊三角形1. 三角形常识1) 三角形中，三个内角和为180。常用于进行三角形相关的角度运算（注意有时候不需要每个角都求出来，运用角的和差关系进行计算也是角度计算中常用的方法之一）。2) 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和

3、。3) 构成三角形的三条边的关系：两边之和大于第三边。注意：不存在两角之和大于第三角这种限定。4) 三角形中，较大边所对的角肯定大于较小边所对的角，同理较大角所对的边大于较小角所对的边。简单的说，同一三角形中，大边对大角，大角对大边。2. 等腰三角形1) 等腰三角形的两底角相等。等腰三角形已知一角就可求出另外两角，三个角可以用一个数学符号表示。2) 三线合一。等腰三角形最常用的性质，常用于判断角平分线、垂直或线段中点。3) 等腰三角形的判定。常用于判断有一个公共点的两条线段相等。4) 实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造等腰三角形的方法有：

4、角平分线+平行线；角平分线+垂线；线段垂直平分线；三角形中角的2倍关系。5) 画等腰三角形的题目。其中，以已知一条线段为边构造等腰三角形时，须分类讨论：当该线段为底边时，做该线段的垂直平分线；当该线段为腰时，分别以两端点为圆心，以线段长为半径画圆。练习4 如图，ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且BAM=CAN，MN=AN，求MAC的度数。练习5 如图，AP、BQ分别是ABC的外角EAB和CBD的角平分线，且AP=AB=BQ，P、B、C在一条直线上，A、C、Q在一条直线上，则ACB的度数是多少？练习6 如图，ABC的平分线BF与ABC中ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过点F作

5、DFBC，交AB于点D，交AC于点E，则BD，CE，DE之间存在着什么关系？试证明。练习7 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则等腰三角形的顶角为 。练习8 如图，在直线l上找一点P，使PAB为等腰三角形，这样的点P有几个？试做出所有的点。练习9 如图，ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？练习10 如图，ABC中，AB=2AC，AD是BAC的平分线，且AD=BD，试说明ADB=2ADC的理由。3. 等边三角形1) 三条边相等，三个内角均为60。2) 三线合一。3) 等边三角形的判定：有一个角是60的等腰三角形；三边

6、相等；三个角都是60。4) 等边三角形中60角的应用。常用到三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。练习11 如图，ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQAD于Q，求证：BP=2PQ。4. 直角三角形1) 直角三角形两锐角互余。当图中出现2个及以上直角时考虑用此性质找相等的角：同角或等角的余角相等。2) 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。直角三角形斜边上的中线把三角形分成两个等腰三角形。 30角所对的直角边等于斜边的一半。 一个三角形中，如果一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边是斜边。 题中出现直角及中点时，

7、先考虑能否用到直角三角形斜边中线的性质。练习12 ABC中，BFAC，CGAB，垂足分别为F、G，D是BC的中点，DEFG，垂足为E，求证：GE=EF。5. 勾股定理及其逆定理1) 勾股定理是现阶段求线段长度的主要方法，如果图中缺乏直角条件，则需要添加辅助线构造直角三角形来应用勾股定理。由于勾股定理是一个代数式，因此在使用时往往需要设线段长为未知数来进行计算。2) 勾股定理及其逆定理的应用中，设未知数进行计算的方法在数学中属于数形结合思想。3) 常见需要构造直角三角形的题型： 已知四条边长以及一个直角的四边形，往往需要连接两点来构造直角三角形； 已知两个直角以及两条边长的四边形，往往需要延长边

8、来构造直角三角形； 已知边长或角度的三角形，往往需要做垂线来构造之间三角形。4) 勾股定理中常见的计算问题： 折叠问题中勾股定理的应用； 完全平方公式在相关计算中的应用； 有一条公共边的两直角三角形。练习13 如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，求重合部分的面积。练习14 在ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD。练习15 如图，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD的长。练习16 在ABC中，C=90，CDAB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，试说明：1) +=；2)

9、 a+bc+h；3) 判断a+b，h，c+h为三边的三角形的形状，并说明理由。练习17 已知ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求三角形ABC的面积。练习18 已知RtABC中，CD为AB上的中线，且CD=AB，CD=1，ABC的周长是2+，求这个三角形的面积。练习19 如图，ABC中，AB=2，AC=4，点D在BC边上，且AD=2，BD：CD=2：3，试判断ABC的形状，并说明理由。6. 三角形问题中面积法的应用1) 直角三角形求斜边上的高；2) 勾股定理的证明；3) 平面内一点到三角形三边的距离问题（连接该点与三角形顶点，构造新的三角形）。7. 常用其他知识点及辅助线1)

10、 线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等；2) 角平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上3) 与角相关类题目： 余角、补交； 三角形的外角； 特殊角：30（直角三角形），45（等腰直角三角形），60（等边三角形或直角三角形），904) 图形变换的应用（详见讲义）练习20 如图，已知ABC中，AD为BC上的中线，AD=6.5，AB=5，AC=12，求BAC。练习21 如图，ABC的外角平分线BP，CP相交于点P，试说明P也在BAC的平分线上。练习22 如图，ABC中，AB=AC，过点A作BC的平行线l，点D是直线l上异于点A的任意一点，连接DB，DC，请

11、判断AB+AC与DB+DC之间的大小关系，并说明理由。练习23 如图，已知线段BD上一点C，分别以BC和CD为边作等边ABC和等边CDE，连接AD和BE，在AD和BE上截取AG=BF，求证：CFG是正三角形练习24 如图，已知AE=AC，EFBC，EC平分DEF，求证：ADEC。常见错题整理1. 如图，ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，试求A的度数。2. 如图，在ABC中，AD=AC，BE=BC，1) 若ACB=96，求DCE的度数；2) DCE与A、B之间存在怎样的数量关系？3. 如图，在ABC中，BAC=130，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，求PAQ的度数。4.

12、 如图，在ABC中，BCA=2A，AC=2BC，求ABC的度数。5. 如图，ABC中，B=2C，AD是CAB平分线，求证：AC=AB+BD。6. 如图，在ABC中，ABC=3C，AD平分BAC，交BC于点D，BFAE，垂足为E，求证：BE=（AC-AB）。7. 如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F1) 求证：AD=CE；2) 求DFC的度数8. 如图，已知ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连结CE和DE，求证：CDE是等腰三角形。9. 已知：等边ABC的边长为a。探究：1) 如图（1），过等边ABC的顶点A，B，

13、C依次作AB、BC、CA的垂线围成MNG，求证：MNG是等边三角形且MN= a；2) 在等边ABC内取一点O，过点O分别作ODAB、OEBC、OFCA，垂足分别为点D,E,F。如图（2），若点O是ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1.OD+OE+OF= a; 结论2.AD+BE+CF= a.如图（3），若点O是等边ABC内任意一点，则上述结论1,2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。10. 如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，点D是斜边AB上任一点，AECD，垂足为E，BFCD交CD的延长线于点F，CHAB

14、，垂足为H，交AE于点G。BD与CG相等吗？请说明理由。11. 如图，已知在直角三角形ABC中，C=90，BD平分ABC且交AC于D。1) 若BAC=30，求证：AD=BD；2) 若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度数。12. 如图，在RtABC中，A=90，ADBC，D为垂足，ACB的平分线交AD、AB于点E、F，请说明：AE=AF。13. 如图，ABCD，E是AD的中点，CFAB，垂足为F，求证：CE=EF。14. 如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，M,N分别为斜边AB上的两点，如果MCN=45，那么AM2+BN2与MN2相等吗？请说明理由。15. 如图，已知A=60，B=D=90，AB=2，CD=1，求BC和AD的长。16. 如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求BPC的度数。17. 如图，在ABC中，AB=7，BC=24，AC=25。1) ABC内是否存在一点P到各边的距离相等，如果存在，请作出这一点，并说明理由；2) 求出这个距离。18. 如图，AD是ABC的角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EFBC交AC于点F，则CE平分DEF，请说明理由。