几何证明选讲》相似三角形的进一步认识.docx

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几何证明选讲》相似三角形的进一步认识

《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识

【考情分析】

考试要求　1.相似三角形的判定与性质定理，B级要求；2.射影定理，A级要求．

应用平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理解决有关三角形问题．

理解平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理，能运用它们解决三角形中的计算与证明问题.

了解直角三角形的射影定理．

【知识清单】

1.平行截割定理

（1）平行线等分线段定理及其推论

①定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条（与这组平行线相交的）直线上截得的线段也相等．

②推论1：

经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

推论2：

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．

③三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（2）平行线分线段成比例定理及其推论

①定理：

两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．

②推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

（3）三角形角平分线的性质

三角形的一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．

2.相似三角形

（1）相似三角形的判定

①判定定理

a.两角对应相等的两个三角形相似．

b.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

c.三边对应成比例的两个三角形相似．

②推论：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似．

③直角三角形相似的特殊判定．

斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．

（2）相似三角形的性质定理

相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

（3）直角三角形射影定理

直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．

【课前预习】

1.（选修4-1P6例3改编）如图，已知＝，DE∥BC，求的值.

解析：

因为DE∥BC，＝.所以＝，所以＝.

又因为＝，所以＝.

2.（选修4-1P8例4改编）在△ABC中，若AB＝3，AC＝5，∠BAC的平分线交BC于D，求的值.

解析：

根据三角形内角平分线定理知，＝＝.

3.（选修4-1P10习题1.1.1第3题改编）如图，△ABC中，DE∥BC,DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，求BF的长．

解析：

＝＝BC＝10，所以BF＝10－6＝4.

4.如图，已知圆的直径AB＝10，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D，若CD＝4，求AC的长．

解析：

因为AC⊥BC，CD⊥AB，

所以CD2＝AD·BD＝AD·（AB－AD）即42＝AD·（10－AD），

所以AD＝2，所以AC2＝AD·AB＝20，所以AC＝2.

5.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，求AD的长．

解析：

由射影定理，得AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，

即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，

即BD＝mcos2α，CD＝msin2α.

因为AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，

所以AD＝mcosαsinα.

【典型例题】

目标1平行线分线段成比例问题

例1如图，在梯形中，点分别在腰上，

求证：

.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？

解析：

连结AC，交EF于点G．因为AD∥EF∥BC，所以

所以，．

因为EG∥BC，FG∥AD，

所以，．

所以EG=，GF=，

所以EF=EG＋GF=＋，所以（m＋n）EF=mBC＋nAD．

当EF为中位线时，AE∶EB=1∶1，即m=n=1，得2EF=BC＋AD，即EF=（BC＋AD）．

【借题发挥】

变式1如图，M是▱ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD，AC于E，F，交CB延长线于N，若AE＝2，AD＝6.求AF∶AC的值．

解析：

因为AD∥BC，AM＝MB，

所以＝，

所以＝.

因为＝＝1，

所以AE＝BN.

所以＝＝.

因为AE＝2，BC＝AD＝6，

所以＝＝，

即AF∶AC＝1∶5.

变式2如图，已知AE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝12cm，求AE，DG的长．

解析：

因为AE∥CF，

所以＝，

所以AE＝·CF，

因为AB∶BC＝1∶2，CF＝12cm，

所以AE＝×12＝6（cm），

因为CF∥DG，

所以＝.

因为＝，所以＝，

所以DG＝·CF＝×12＝30（cm）.

【规律方法】利用平行线分线段成比例定理来计算或证明．首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式．在计算或几何证明的同时，注意等比性质、合比性质等的运用．

【同步拓展】

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：

ED＝EC.

【证明】如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.

在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AD∥EF∥BC.

因为E是AB的中点，所以F是DC的中点．

因为∠ADC＝90°，所以∠DFE＝90°.

所以EF是DC的垂直平分线，所以ED＝EC.

目标2三角形相似的证明与应用

例2如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.求证：

（1）△ABC≌△DCB；

（2）DE·DC＝AE·BD.

【证明】

（1）因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AC＝DB.

因为AB＝DC，BC＝CB，所以△ABC≌△BCD.

（2）因为△ABC≌△BCD，

所以∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，

因为AD∥BC，

所以∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC.

因为ED∥AC，所以∠EDA＝∠DAC，

所以∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.

所以△ADE∽△CBD.

所以DE∶BD＝AE∶CD，

所以DE·DC＝AE·BD.

【借题发挥】

变式1如图，设M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于点F，EM交BD于点G.

（1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对进行证明；

（2）设α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．

解析：

（1）依题意可知△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM.

因为∠AMF＝∠B＋∠D，∠BGM＝∠DME＋∠D，

又∠B＝∠A＝∠DME＝α，

所以∠AMF＝∠BGM，所以△AMF∽△BGM.

（2）由

（1）知△AMF∽△BGM，所以＝，

所以BG＝.

又α＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形．

又AB＝4，所以AC＝BC＝4，CF＝AC－AF＝1，CG＝4－＝.

所以FG＝＝＝.

变式2将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长．

解析：

设BF＝x.若△CFB′∽△CBA，

则＝，即＝.所以12－3x＝4x，所以x＝.

若△CFB′∽△CAB，则＝，即＝，得x＝2.

即BF＝2或.

【规律方法】判定两个三角形相似，根据题设条件选择使用三角形相似的判定定理．通常证明相似三角形一般的思路：

①先找两对内角对应相等；②若只有一对角对应相等，再判定这对角的两邻边是否对应成比例；③若无角对应相等，应要证明三边对应成比例．

【同步拓展】

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，求sin∠CAD的值．

解析：

在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝，AB＝＝2.

易证得△ABC∽△DBE，所以＝＝，

所以BD＝4CD＝1，AD＝4，

所以sin∠CAD＝＝.

目标3射影定理的应用

例3如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为D、E、F.求证：

＝.

证明：

由射影定理得BD2＝BE·AB，即BE＝.①

又CD2＝CF·AC，所以CF＝.②

①÷②得，＝·＝（）2·.③

由射影定理得，AB2＝BC·BD，即BD＝.同理AC2＝CD·BC，

所以CD＝.所以＝.④

将④代入③得＝.

【借题发挥】

变式1如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：

AE·BF·AB＝CD3.

证明：

因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以CD2＝AD·BD，故CD4＝AD2·BD2.又在Rt△ADC中，DE⊥AC，Rt△BDC中，DF⊥BC，所以AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC.所以CD4＝AE·BF·AC·BC.因为AC·BC＝AB·CD，所以CD4＝AE·BF·AB·CD，即AE·BF·AB＝CD3.

变式2已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.

求：

（1）AD∶BD的值；

（2）若AB＝25cm，求CD的长．

解析：

（1）因为AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，

所以＝，

所以＝（）2＝（）2＝，即AD∶BD＝9∶16.

（2）因为AB＝25cm，AD∶BD＝9∶16，

所以AD＝×25＝9（cm）．

BD＝×25＝16（cm），

所以CD＝＝＝12（cm）．

【规律方法】运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系，要注意它们的综合应用．

【同步拓展】

如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：

（1）AE·AB＝AF·AC；

（2）△AEF∽△ACB.

证明：

（1）因为AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，

在Rt△ABD中，由射影定理得AD2＝AE·AB，

在Rt△ADC中，由射影定理得AD2＝AF·AC，

所以AE·AB＝AF·AC.

（2）因为AE·AB＝AF·AC，

所以＝.

又因为∠EAF＝∠CAB，所以△AEF∽△ACB.

【归纳分析】

1.运用平行线分线段成比例定理及其推论来证明比例式或计算比值．应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等．

2.运用相似三角形性质解题的关键在于写出对应边所成的比例式，为此一定要首先认识对应角，通过对应角找出对应边．在准确写出对应边所成的比例式后，常规情况下结论也就产生了．

3.利用直角三角形的射影定理证明恒等式时，要结合图形，仔细分析题目的结论，合理利用射影定理中提供的等式．

【课后作业】

1．如图所示，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，AD平分∠BAC，求BD的值．

解析：

因为AD平分∠BAC，

所以＝＝，

所以＝＝，即＝，

所以BD＝.

2.如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，求AB的长．

解析：

根据题意可以判断Rt△ABE∽Rt△ECD，则有＝，可得AB＝2.

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，求AC的值．

解析：

由CD2＝BD·AD得AD＝，

所以AB＝BD＋AD＝3＋＝，

所以AC2＝AD·AB＝×＝，所以AC＝.

4.在△ABC中，D、E分别为AB、A