学生成绩分析数学建模.docx
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学生成绩分析数学建模
题目学生成绩的分析问题
摘要
本文针对大学高数和线代，概率论成绩进行建模分析，主要用到统计分析的知识及SPSS软件，建立了方差分析、单因素分析、相关性分析等相关模型，从而分析两个专业、四门课程成绩的显著性，以及课程之间的相关性。
最后利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。
问题一：
每门课程两个专业的差异性需要进行多个平均数间的差异显著性检验，首先应该对数据进行正态分布检验，结论是各个专业的分数都服从正态分布，之后可以根据Kolmogorov-Smirnov检验（K-S检验）原理，利用SPSS软件进行单因素方差分析，得出方差分析表，进行显著性检验，最后得出的结论是高数1、高数2、线代和概率这四科成绩在两个专业中没有显著性差异。
问题二：
对于甲乙两个专业分别分析，应用问题一的模型，以每个专业不同班级的高数一、高数二、线代和概率平均数为自变量，同第一问相同的做法，得到两个专业中不同学科之间没有显著差异。
问题三：
我们通过对样本数据进行Spss的“双变量相关检验”得出相关系数值r、影响程度的P值，从而来分析出高数1、高数2与概率论、现代的相关性。
问题四：
利用上面数据，得到各专业课程的方差和平均值，再通过对各门课程的分析，利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。
关键词：
单因素方差分析、方差分析、相关分析、spss软件、
一、问题重述
附件是甲专业和乙专业的高等数学上册、高等数学下册、线性代数、概率论与数理统计等三门数学课程的成绩数据，请根据数据分析并回答以下问题：
（1）针对每门课程分析，两个专业的分数是否有明显差异？
（2）针对专业分析，两个专业学生的数学水平有无明显差异？
（3）高等数学成绩的优劣，是否影响线性代数、概率论与数理统计的得分情况？
（4）根据你所作出的以上分析，面向本科生同学阐述你对于大学数学课程学习方面的看法。
二、模型假设
1、假设两个班学生的整体程度和基础差异不大。
2、学生和学生之间的成绩是相互独立的，没有影响的。
3、假设样本学生的成绩均来自于实际，由此做出的分析是接近实际，能够反映实际状况的。
三、问题分析
问题一分析：
对于每门课程，两个专业的分数是否有显著性差异。
首先，应该利用SPSS证明其服从正态分布，之后可以利用SPSS对数据进行单因素分析和方差分析，采用单因素分析法，以专业为方差分析因素，最后比较显著性（Sig），如果Sig>0.05，即没有显著性差异，若Sig<0.05，即对于该门课程，两专业分数有明显差异。
问题二分析：
模型同问题一。
针对专业分析，两个专业学生的各科数学水平有无明显差异。
问题三分析：
判断高数I、高数Ⅱ和线代、概率论之间成绩的相关性。
首先我们要分别整合出四门学科的一组综合指标作为样本，然后求出相关系数矩阵。
问题四分析：
总结分析。
求出各专业科目的平均值和方差，然后进行比较并和前几问相结合，提出合理的建议。
四、模型建立和求解
模型一：
单因素方差分析模型
单因素方差分析是固定其他因素，只考虑某一因素对试验指标的影响。
建立单因素方差分析模型，用以解决针对每门课程两个专业成绩是否有明显差异和针对专业各科数学成绩是否有明显差异的问题。
问题一求解：
我们以专业为方差分析的因子，甲专业和乙专业为因子的不同水平，每个班的成绩是实验的数据样本。
首先我们需要对数据进行正态分析检验其服从正态分布。
利用SPSS软件可以进行正态性分析检验。
输入数据后，运行：
分析——非参数检验——1-样本K-S；之后运行：
分析——描述统计——QQ图，可以对数据进行正态检验。
运行结果如图：
对每门课程的数据进行QQ图检验如图：
高数1的QQ图检验：
上图中，实线是正态分布的标准曲线，散点是实际的数据分布，由图可知，散点分布和实线非常接近，即甲乙两专业的高数1成绩服从正态分布。
同样可知，甲乙两专业的高数2和线代、概率论都服从正态分布。
之后可以对数据进行单因素分析，利用SPSS进行统计分析：
分析——比较均值——单因素ANOVA，最后得出每门课程的单因素分析如下：
1、对高数1进行单因素分析，分析结果如下表：
ANOVA
高数I
平方和
df
均方
F
显著性
组间
6105.142
35
174.433
1.279
.189
组内
9685.849
71
136.420
总数
15790.991
106
由图可知，其显著性Sig=0.189>0.05（显著性水平为0.05），说明两个专业的高数1的成绩无明显差异，出现显著相同的状况。
2、对高数2进行单因素分析，分析结果如下表：
ANOVA
高数2
平方和
df
均方
F
显著性
组间
4391.588
34
129.164
1.161
.294
组内
7898.978
71
111.253
总数
12290.566
105
同样由图可知，其显著性水平Sig=0.294>0.05（显著性水平为0.05），说明两个专业的高数2成绩也显著相同。
3、对线代成绩进行单因素分析，分析结果如下表：
ANOVA
线代
平方和
df
均方
F
显著性
组间
4149.755
35
118.564
.952
.553
组内
8841.833
71
124.533
总数
12991.589
106
由图可知，其显著性水平为Sig=0.553>0.05，说明两个专业的线代水平没有明显差别，出现基本相同的状况。
4、对概率成绩进行单因素分析，分析结果如下表：
ANOVA
概率
平方和
df
均方
F
显著性
组间
7055.251
35
201.579
1.244
.216
组内
11507.217
71
162.073
总数
18562.467
106
由图可知，概率成绩的显著性水平为Sig=0.216>0.05，说明两个专业的概率成绩显著相同，没有明显差别。
问题二求解：
（模型一）
求解每个专业的学生各门数学成绩之间是否有明显不同，我们仍然运用单因素方差分析的模型，将科目看做对成绩的影响因素，则有两个条件，分别是高数1，高数2,线代，概率论。
四科数学成绩看做随机变量，证明其也服从正态分布（仍然运用spss正态检验）。
每个变量的样本值为每个专业各班成绩的平均值。
在这里我们先证明：
在甲乙两个专业内。
高数1，高数2，线代和概率分别成正态分布
在甲乙专业中分别定义变量名为高数1，高数2，线代和概率。
运行spss软件：
分析->描述统计->描述，分析->非参数检验->1-样本K-S。
运行结果如下：
表2.1甲专业学生各科成绩描述统计量
N
极小值
极大值
均值
标准差
方差
高数一
153
0
433
73.88
32.875
1080.767
高数二
153
40
96
70.12
10.226
104.570
线代
153
0
98
70.68
14.615
213.588
概率
153
22
97
75.09
14.044
197.228
有效的N（列表状态）
153
表2.2甲专业学生各科成绩Kolmogorov-Smirnov检验
高数一
高数二
线代
概率
N
153
153
153
153
正态参数a,b
均值
73.88
70.12
70.68
75.09
标准差
32.875
10.226
14.615
14.044
最极端差别
绝对值
.284
.153
.187
.082
正
.257
.153
.067
.059
负
-.284
-.128
-.187
-.082
Kolmogorov-SmirnovZ
3.515
1.897
2.310
1.020
渐近显著性（双侧）
.000
.001
.000
.249
a.检验分布为正态分布。
b.根据数据计算得到。
表2.3乙专业学生各科成绩描述统计量
N
极小值
极大值
均值
标准差
方差
高数一
108
0
100
69.34
13.890
192.938
高数二
108
0
97
65.43
14.333
205.424
线代
108
0
100
70.19
13.159
173.167
概论
108
0
97
74.45
14.109
199.054
有效的N（列表状态）
108
表2.4乙专业学生各科成绩Kolmogorov-Smirnov检验
高数一
高数二
线代
概论
N
108
108
108
108
正态参数a,b
均值
69.34
65.43
70.19
74.45
标准差
13.890
14.333
13.159
14.109
最极端差别
绝对值
.204
.251
.173
.116
正
.123
.123
.092
.059
负
-.204
-.251
-.173
-.116
Kolmogorov-SmirnovZ
2.123
2.605
1.797
1.203
渐近显著性（双侧）
.000
.000
.003
.111
a.检验分布为正态分布。
b.根据数据计算得到。
甲专业
ANOVA
表2.5甲专业学生各科成绩
平方和
df
均方
F
显著性
组间
68.560
3
22.853
1.497
.265
组内
183.249
12
15.271
总数
251.809
15
得
F值落在接受域，所以接受
。
显著性为0.265，即由方差分析得到甲专业四门数学成绩无明显差异。
乙专业
ANOVA
表2.6甲专业学生各科成绩
平方和
df
均方
F
显著性
组间
121.301
3
40.434
1.872
.213
组内
172.758
8
21.595
总数
294.059
11
得
F值落在接受域，所以接受
。
显著性为0.213，即由方差分析得到乙专业四门数学成绩无明显差异。
问题三求解：
（模型二）
需要解决学生高等数学成绩的优劣，对线性代数、概率论与数理统计课程的成绩是否显著性相关。
将高数Ⅰ，高数Ⅱ，线代，概率论学科成绩看做四个总体，分别把甲乙专业同学的成绩作为样本。
然后分别对高数Ⅰ，高数Ⅱ进行相关性分析。
相关性分析有很多方法，为简便运算，本文主要应用SPSS软件的相关性分析求解：
表17甲专业相关性
高数Ⅰ
高数Ⅱ
线代
概率
高数Ⅰ
Pearson相关性
1
.081
.092
.081
显著性（双侧）
.318
.258
.318
N
153
153
153
153
高数Ⅱ
Pearson相关性
.081
1
.446**
.308**
显著性（双侧）
.318
.000
.000
N
153
153
153
153
线代
Pearson相关性
.092
.446**
1
.441**
显著性（双侧）
.258
.000
.000
N
153
153
153
153
概率论
Pearson相关性
.081
.308**
.441**
1
显著性（双侧）
.318
.000
.000
N
153
153
153
153
**.在.01水平（双侧）上显著相关。
表18乙专业相关性
高数Ⅰ
高数Ⅱ
线代
概率
高数Ⅰ
Pearson相关性
1
.541**
.619**
.543**
显著性（双侧）
.000
.000
.000
N
108
108
108
108
高数Ⅱ
Pearson相关性
.541**
1
.680**
.556**
显著性（双侧）
.000
.000
.000
N
108
108
108
108
线代
Pearson相关性
.619**
.680**
1
.697**
显著性（双侧）
.000
.000
.000
N
108
108
108
108
概率论
Pearson相关性
.543**
.556**
.697**
1
显著性（双侧）
.000
.000
.000
N
108
108
108
108
**.在.01水平（双侧）上显著相关。
上表是相关系数大小及其显著性检验结果表，从表中可看出：
甲专业：
高数Ⅱ和线代的相关系数r=0.446，且显著性水平为p=0.000＜0.01，因此相关性非常显著，高数Ⅱ和概率论的相关系数r=0.308，且显著性水平为p=0.000＜0.01，因此相关性非常显著。
乙专业：
高数Ⅰ和线代的相关系数r=0.619，且显著性水平为p=0.000＜0.01，因此相关性非常显著；同理高数Ⅰ和概率论的相关系数r=0.543，且显著性水平为p=0.000＜0.01，相关性非常显著；高数Ⅱ和线代的相关系数r=0.680，且显著性水平为p=0.000＜0.01，因此相关性非常显著，高数Ⅱ和概率论的相关系数r=0.556，且显著性水平为p=0.000＜0.01，因此相关性非常显著。
问题四求解：
（模型三）
求出各专业各课程的方差以及各课程的平均值：
方差
甲
乙
高数I
232.01
192.94
高数Ⅱ
104.57
169.09
线代
213.58
173.17
概率论
197.23
199.05
各专业各课程方差各课程平均值
科目
平均值
高数I
70.5
高数Ⅱ
69.34
线代
71.83
概率论
74.82
由上图我们可以看出，对于甲专业来说，各门课方差起伏较大，高数Ⅱ方差明显低于其它3门课；对于乙专业来说，各门课方差无太大变化，高数Ⅱ略低。
总的来说，高数Ⅱ的平均分最低，概率论最高。
可以看出高数Ⅱ课程对同学们来说普遍较难，应该更加用心的学习，才能更好地掌握知识。
学好高数是因为它是一门极能锻炼思维能力的学科，更重要的是，它能锻炼一个人能的耐心与定力-在如今社会里，常常能沉下心来对几个数学问题专研几个小时的人，真的不算多了。
在现实世界中，一切事物都发生变化并遵循量变到质变的规律。
数学对于现代人整体素质的意义，对于社会与人文科学的作用，也是逐渐被人们所认识的。
恩格斯说：
要辨证而又唯物的了解自然，就必须掌握数学。
英国著名哲学家培根说：
数学是打开科学大门的钥匙。
现在已经没有哪一个领域能够抵得住数学的渗透。
随着知识经济时代的到来，社会经济领域中许多研究对象的数量化趋势越发增强，计算机的广泛普及并深入到人们生活工作的各个角落。
诸如此类现象，向人们提出一个迫切问题：
每个要想成为有较高文明素养的现代人应当具备一定的数学素质。
因此对本科大学生来说，高等数学教育应该是必不可少的。
数学教育要培养学生运用数学去分析、解决问题的能力，这种能力不仅表现在对数学知识的记忆，更主要的是掌握数学的思维推理方法。
某些定理或公式可以记忆一时，而数学独有的思维与推理方法却能长期发挥作用，甚至受益终生。
因为他们是创造的源泉，是发展的基础。
对人文类学习者而言更培养了我们的理性思维能力，使得思考诸多问题时更加严谨全面。
数学是观察世界的一种方式，这种方式有助于精确理解世界的每个方面。
所有的地方都用到数学，数学无处不在。
没有数学支撑的学科是无法想象的。
举一些常见的例子吧，大学物理的公式很多是用积分形式表达的，一种无穷思想。
包括牛顿定理。
大学里三大力学的课程都要运用到高等数学的内容。
最关键是学数学可以锻炼人的逻辑思维。
高等数学里一直贯穿2册书的思想是极限思想，无穷思想。
导数、微分是无穷细分的运用。
积分是极限求和。
无穷中存在极限，极限中尽显无穷。
那是你高中的知识所无法理解和具备的思想。
只有学过高数的人才懂得。
综上，高数和线代、概率论学科密切相关，可以说高数是一切理工学科的基础，但同时它的难度也比较大，同学们一定要在高数上多下工夫，为将来其他课程的学习打下坚实的基础。
五、模型评价：
优点：
1.本文建立了单因素方差分析模型，该模型适用范围较广，便于推广。
2.该模型以数理统计作为基础，具有一定的理论依据。
其运用显著性验，单因素方分析能有效地对于问题进行合理的求解。
3.由于题中所给数据较多，计算比较困难，运用spss软件进行求解在很大程度上减少了计算的冗余度，方便快捷。
缺点：
1．根据题意科目的调整只是依据方差大小，可能会与实际不符。
2.用题目给的数据进行分析，数据不一定准确。
3.为了简化模型，我们没有考虑各科之间的差异，并且由于我们的样本容量相对较小，无法得到更一般意义上的结论，而且学生的成绩有时也不是相互独立的，因此在现实使用中有很大的局限性。
六、模型的改进与应用
对于此次模型，我们可以在查取充分的实际数据之后，将不同类别科目进行权重划分，并将学生成绩及科目对于学生的实用度加以考虑入第四题的解题中，从而可以合理地做到一方面减轻学生的学习负担，另一方面为学生择取更宜于实际运用的学科，从而将模型更好地运用到实际生活中。
七、参考文献
参考文献：
[1]《统计分析与是spss的应用》中国人民大学出版社薛微编著
[2]《数学模型（第三版）》高等教育出版社姜启源谢金星编著
[3]《XX文库》
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