小学奥数常见题型详解.docx

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小学奥数常见题型详解

小学奥数常见题型详解

1.归一问题

归一问题是指在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。

解题工具：

总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

解题秘籍：

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1

买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

解：

（1）买1支铅笔多少钱？

0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱？

0.12×16＝1.92（元）

列成综合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

答：

需要1.92元。

例2

3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？

解：

（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？

90÷3÷3＝10（公顷）

（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？

10×5×6＝300（公顷）

列成综合算式

90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）

答：

5台拖拉机6天耕地300公顷。

例3

5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？

解：

（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？

100÷5÷4＝5（吨）

（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？

5×7＝35（吨）

（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？

105÷35＝3（次）

列成综合算式

105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

答：

需要运3次。

2.归总问题

归总问题是指解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题。

所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

解题工具：

1份数量×份数＝总量

总量÷1份数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量

解题秘籍：

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1

服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。

原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

解：

（1）这批布总共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）

列成综合算式

3.2×791÷2.8＝904（套）

答：

现在可以做904套。

例2

小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。

小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？

解：

（1）《红岩》这本书总共多少页？

24×12＝288（页）

（2）小明几天可以读完《红岩》？

288÷36＝8（天）

列成综合算式

24×12÷36＝8（天）

答：

小明8天可以读完《红岩》。

例3

食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。

后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？

解：

（1）这批蔬菜共有多少千克？

50×30＝1500（千克）

（2）这批蔬菜可以吃多少天？

1500÷（50＋10）＝25（天）

列成综合算式

50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）

答：

这批蔬菜可以吃25天。

3.和差问题

和差问题是指已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。

解题工具：

大数＝（和＋差）÷2

小数＝（和－差）÷2

解题秘籍：

简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1

甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

解：

甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

答：

甲班有52人，乙班有46人。

例2

长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

解：

长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）

宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）

长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米）

答：

长方形的面积为80平方厘米。

例3

有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解：

甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。

由此可知：

甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）

丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）

乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）

答：

甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4

甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

解：

“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此：

甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）

乙车筐数＝97－64＝33（筐）

答：

甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

4.和倍问题

和倍问题是指已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少。

解题工具：

总和÷（几倍＋1）＝较小的数

总和－较小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

解题秘籍：

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

解：

（1）杏树有多少棵？

248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）

答：

杏树有62棵，桃树有186棵。

例2

东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？

解：

（1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）

（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）

答：

东库存粮280吨，西库存粮200吨。

例3

甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

解：

每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。

把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，那么：

几天以后甲站的车辆数减少为：

（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）

所求天数为：

（52－28）÷（28－24）＝6（天）

答：

6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

例4

甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？

解：

乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。

因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。

那么：

甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28

乙数＝28×2－4＝52

丙数＝28×3＋6＝90

答：

甲数是28，乙数是52，丙数是90。

5.差倍问题

差倍问题是指已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少。

解题工具：

两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

较小的数×几倍＝较大的数

解题秘籍：

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。

求杏树、桃树各多少棵？

解：

（1）杏树有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）

答：

果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

例2

爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？

解：

（1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）

（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）

答：

父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

例3

商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？

解：

如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此：

上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）

本月盈利＝18＋30＝48（万元）

答：

上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。

例4

粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？

解：

由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。

把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此：

剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）

运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）

运粮的天数＝72÷9＝8（天）

答：

8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

6.倍比问题

倍比问题是指有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数。

解题工具：

总量÷一个数量＝倍数

另一个数量×倍数＝另一总量

解题秘籍：

先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

解：

（1）3700千克是100千克的多少倍？

3700÷100＝37（倍）

（2）可以榨油多少千克？

40×37＝1480（千克）

列成综合算式40×（3700÷100）＝1480（千克）

答：

可以榨油1480千克。

例2

今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？

解：

（1）48000名是300名的多少倍？

48000÷300＝160（倍）

（2）共植树多少棵？

400×160＝64000（棵）

列成综合算式

400×（48000÷300）＝64000（棵）

答：

全县48000名师生共植树64000棵。

例3

凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？

全县16000亩果园共收入多少元？

解：

（1）800亩是4亩的几倍？

800÷4＝200（倍）

（2）800亩收入多少元？

11111×200＝2222200（元）

（3）16000亩是800亩的几倍？

16000÷800＝20（倍）

（4）16000亩收入多少元？

2222200×20＝44444000（元）

答：

全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。

7.相遇问题

相遇问题是指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

解题工具：

相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

解题秘籍：

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

解：

392÷（28＋21）＝8（小时）

答：

经过8小时两船相遇。

例2

小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？

解：

“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。

因此总路程为400×2，则：

相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

答：

二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

例3

甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

解：

“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。

从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此：

相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）

两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）

答：

两地距离是84千米。

8.追及问题

追及问题是指两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

解题工具：

追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

解题秘籍：

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

解：

（1）劣马先走12天能走多少千米？

75×12＝900（千米）

（2）好马几天追上劣马？

900÷（120－75）＝20（天）

列成综合算式

75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

答：

好马20天能追上劣马。

例2

小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。

小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解：

小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。

又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是：

（500－200）÷［40×（500÷200）］＝3（米）

答：

小亮的速度是每秒3米。

例3

我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。

已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？

解：

敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。

由此推知：

追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝11（小时）

答：

解放军在11小时后可以追上敌人。

例4

一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

解：

这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。

从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为：

16×2÷（48－40）＝4（小时）

所以两站间的距离为：

（48＋40）×4＝352（千米）

列成综合算式

（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）

答：

甲乙两站的距离是352千米。

9．植树问题

植树问题是指按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量。

解题工具：

线形植树棵数＝距离÷棵距＋1

环形植树棵数＝距离÷棵距

方形植树棵数＝距离÷棵距－4

三角形植树棵数＝距离÷棵距－3

面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

解题秘籍：

先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1

一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

解：

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

答：

一共要栽69棵垂柳。

例2

一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？

解：

400÷4＝100（棵）

答：

一共能栽100棵白杨树。

例3

一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？

解：

220×4÷8－4＝110－4＝106（个）

答：

一共可以安装106个照明灯。

例4

给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？

解：

96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）

答：

至少需要400块地板砖。

例5

一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

解：

（1）桥的一边有多少个电杆？

500÷50＋1＝11（个）

（2）桥的两边有多少个电杆？

11×2＝22（个）

（3）大桥两边可安装多少盏路灯？

22×2＝44（盏）

答：

大桥两边一共可以安装44盏路灯。

10.年龄问题

年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

解题工具：

年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

解题秘籍：

可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

例1

爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？

明年呢？

解

35÷5＝7（倍）

（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：

今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2

母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

解：

（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？

37－7＝30（岁）

（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

30÷（4－1）－7＝3（年）

列成综合算式

（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

答：

3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例3

甲对乙说：

“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。

乙对甲说：

“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。

求甲乙现在的岁数各是多少？

解

这里涉及到三个年份：

过去某一年、今年、将来某一年。

列表分析：

过去某一年

今年

将来某一年

甲

□岁

△岁

61岁

乙

4岁

□岁

△岁

表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。

因为两个人的年龄差总相等：

□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，因此：

二人年龄差为：

（61－4）÷3＝19（岁）

甲今年的岁数为：

△＝61－19＝42（岁）

乙今年的岁数为：

□＝42－19＝23（岁）

答：

甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。

11.行船问题

行船问题也就是与航行有关的问题。

解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

解题工具：

（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

解题秘籍：

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

解：

由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以：

船速为每小时320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速为25－15＝10（千米）

船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32（小时）

答：

这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2

甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？

解：

由题意得：

甲船速＋水速＝360÷10＝36

甲船速－水速＝360÷18＝20

可见（36－20）相当于水速的2倍，所以：

水速为每小时（36－20）÷2＝8（千米）

又因为，乙船速－水速＝360÷15，所以：

乙船速为360÷15＋8＝32（千米）

乙船顺水速为32＋8＝40（千米）

所以，乙船顺水航行360千米需要360÷40＝9（小时）

答：

乙船返回原地需要9小时。

12.列车问题

列车问题是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

解题工具：

火车过桥：

过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车追及：

追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

火车相遇：

相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）

解题秘籍：

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。

这列火车长多少米？

解：

火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

（1）火车3分钟行多少米？

900×3＝2700（米）

（2）这列火车长多少米？

2700－2400＝300（米）

列成综合算式

900×3－2400＝300（米）

答：

这列火车长300米。

例2

一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？

解：

火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，这段路程就是（200米＋桥长），所以：

桥长为8×125－200＝800（米）

答：

大桥的长度是800米。

例3

一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？

解：

从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此：

所求的时间为（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）

答：

需要73秒。

例4

一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？

解：

如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。

150÷（22＋3）＝6（秒）

答：

火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

13.时钟问题

时钟问题就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。

时钟问题可与追及问题相类比。

解题工具：

分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

解题秘籍：

变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1

从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解：

钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。

每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。

4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。

所以：

分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）≈22（分）

答：

再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2

四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？

解：

钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。

四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格。

再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。

（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）

（5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）

答：

4点06分及4点38分时两针成直角。

例3

六点与七点之间什么时候时针与分针重合？

解：

六点整的时候，分针