第九章 92两条直线的位置关系学生版.docx
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第九章92两条直线的位置关系学生版
1、判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.（ ）
（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.（ ）
（3）已知直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.（ ）
（4）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为
.（ ）
（5）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．（ ）
（6）若点A，B关于直线l：
y＝kx＋b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于－
，且线段AB的中点在直线l上．（ ）
2、过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（ ）
A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0
3、已知点（a,2）（a>0）到直线l：
x－y＋3＝0的距离为1，则a等于（ ）
A.
B．2－
C.
－1D.
＋1
4、已知直线l过圆x2＋（y－3）2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是（ ）
A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0
5、设直线l1：
（a＋1）x＋3y＋2＝0，直线l2：
x＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝________，若l1⊥l2，则a＝________.
无
题型一 两条直线的平行与垂直
例1
（1）设不同直线l1：
2x－my－1＝0，l2：
（m－1）x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
（2）已知直线l1：
ax＋2y＋6＝0和直线l2：
x＋（a－1）y＋a2－1＝0.
①试判断l1与l2是否平行；
②当l1⊥l2时，求a的值．
【同步练习】
1、已知两直线l1：
x＋ysinα－1＝0和l2：
2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：
（1）l1∥l2；
（2）l1⊥l2.
题型二 两条直线的交点与距离问题
例2
（1）求经过两条直线l1：
x＋y－4＝0和l2：
x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________________．
（2）直线l过点P（－1,2）且到点A（2,3）和点B（－4,5）的距离相等，则直线l的方程为________________．
【同步练习】
（1）如图，设一直线过点（－1,1），它被两平行直线l1：
x＋2y－1＝0，l2：
x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：
x－y－1＝0上，求其方程．
（2）若动点P1（x1，y1），P2（x2，y2）分别在直线l1：
x－y－5＝0，l2：
x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是（ ）
A.
B．5
C.
D．15
1．两条直线的位置关系
（1）两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
（ⅰ）对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
（ⅱ）当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
（ⅰ）如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
（ⅱ）当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
（2）两条直线的交点
直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组
的解．
2．几种距离
（1）两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离
|P1P2|＝
.
（2）点P0（x0，y0）到直线l：
Ax＋By＋C＝0的距离d＝
.
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0（其中C1≠C2）间的距离d＝
.
【知识拓展】
1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0（m≠C）；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
2．过直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0与l2：
A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2.
3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例3 过点P（0,1）作直线l，使它被直线l1：
2x＋y－8＝0和l2：
x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
命题点2 点关于直线对称
例4 如图，已知A（4,0），B（0,4），从点P（2,0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．3
B．6C．2
D．2
命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 已知直线l：
2x－3y＋1＝0，求直线m：
3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
【同步练习】
1、已知直线l：
3x－y＋3＝0，求：
（1）点P（4,5）关于l的对称点；
（2）直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
（3）直线l关于（1,2）的对称直线．
题型五妙用直线系求直线方程
一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
典例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点（1,2）的直线l的方程．
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．
典例2 求经过A（2,1），且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
三、过直线交点的直线系
典例3 求经过两直线l1：
x－2y＋4＝0和l2：
x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：
3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
（1）当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
（2）在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
（3）求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
（4）利用距离公式应注意：
①点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：
ax＋2y－1＝0与直线l2：
x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知两条直线l1：
x＋y－1＝0，l2：
3x＋ay＋2＝0且l1⊥l2，则a等于（ ）
A．－
B.
C．－3D．3
3．从点（2,3）射出的光线沿与向量a＝（8,4）平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．x＋2y－4＝0B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0D．6x＋y－8＝0
4．一只虫子从点O（0,0）出发，先爬行到直线l：
x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A（1，1），则虫子爬行的最短路程是（ ）
A.
B．2C．3D．4
5．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6．将一张坐标纸折叠一次，使得点（0,2）与点（4,0）重合，点（7,3）与点（m，n）重合，则m＋n等于（ ）
A.
B.
C.
D.
7．已知两直线l1：
ax－by＋4＝0和l2：
（a－1）x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.
8．已知直线l1：
ax＋y－1＝0，直线l2：
x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为
，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
9．点P（2,1）到直线l：
mx－y－3＝0（m∈R）的最大距离是________．
10．在平面直角坐标系内，到点A（1,2），B（1,5），C（3,6），D（7，－1）的距离之和最小的点的坐标是________．
11．已知两条直线l1：
ax－by＋4＝0和l2：
（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
（1）l1⊥l2，且直线l1过点（－3，－1）；
（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
12．已知△ABC的顶点A（5,1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
*13.已知三条直线：
l1：
2x－y＋a＝0（a＞0）；l2：
－4x＋2y＋1＝0；l3：
x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是
.
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的
；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是
∶
.
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
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