初中数学知识点总结动点问题.docx

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初中数学知识点总结动点问题

XXXX教育______学科个性化教学教案

授课时间：

年月日

备课时间

年月日

年级

九

课程类别

课时

学生姓名

授课主题

动点问题

授课教师

教学目标

理解和掌握一次函数与几何动点问题的解题思路

教学

重难点

数形结合

教学方法

讲练结合

教学过程

教学过程

1、课程导入/错题讲解：

从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

2.知识点讲解

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:

动中求静.

数学思想：

分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：

（1）运动观点；

（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．

点拨

学习札记

教学过程

3、例题分析：

1.已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：

cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

解：

（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，

∴AF=5cm．

2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，

秒．

②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．

分三种情况：

i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；

ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；

iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．

（1）求点B的坐标；

（2）求证：

当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；

（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？

若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）解：

过点B作BC⊥y轴于点C，

∵A（0，2），△AOB为等边三角形，

∴AB=OB=2，∠BAO=60°

（2）证明：

当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，

∵∠PAQ=∠OAB=60°，

∴∠PAO=∠QAB，

在△APO和△AQB中，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，

∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°；

（3）解：

由

（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．

①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，

此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，

当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．

②当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方，

此时，若AQ∥OB，四边形AOBQ即是梯形，

当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．

3.已知：

如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D（-m，-m）为AC上的点（m＞0）

（1）试分别求出A，B，C三点的坐标；

（2）设点P运动的时间为t秒，问：

当t为何值时，DP与DB垂直相等？

请说明理由；

（3）若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，下列说法：

（i）∠APQ+∠PBQ的度数和不变；

（ii）∠BAP+∠BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断

正确的说法，并求这个不变的值．

考点：

全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．

专题：

综合题．

分析：

（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面积为9，得出OA=OC=OB=3即可得出各点的坐标；

（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，假设出D点的坐标，进而得出△PCD≌△BOD，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；

（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．

解答：

解：

（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠ACB=90°，

又△ABC的面积为9，

∴OA=OC=OB=3，

∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）； 

（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．

理由如下：

连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，

∵D（-m，-m），

∴DM=DN=OM=ON=m，

∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，

∴DC=DO，

∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，

∴△PCD≌△BOD（SAS），

∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，

∴∠BDP=∠ODC=90°，

即DP⊥DB．

（3）解：

（i）正确．在QA上截取QS=QP，连接PS． 

∵∠PQA=60°，

∴△QSP是等边三角形，

∴PS=PQ，∠SPQ=60°，

∵PO是AB的垂直平分线，

∴PA=PB而PA=AB，

∴PA=PB=AB，

∴∠APB=60°，

∴∠APS=∠BPQ，

∴△APS≌△BPQ，

∴∠PAS=∠PBQ，

∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．

点评：

此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线性质等知识，根据已知作出正确辅助线从而得出三角形△APS≌△BPQ是解决问题的关键．

4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰三角形，BO=BA=10，OA=16．D为OB的中点，点P从O点出

发以每秒3个单位的速度运动，点Q从A点出发运动．P、Q两点同时出发，运动时间为t秒．

（1）直接写出B点坐标；

（2）求出△OAB的面积；

（3）当点P沿O→A→B→O→A→…的路线在三角形的边上按逆时针方向运动，点Q沿A→B→O→A→B…的路线在三角形的边上按逆时针方向运动．如果点Q的运动速度为每秒4个单位，P、Q两点第一次相遇时，在三角形的哪条边上？

（4）当P点从O点向A点运动，Q点从A点出发向B点运动，如果△ODP与△APQ全等，求点Q的运动速度．

考点：

全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质．

专题：

动点型．

分析：

（1）过B作BC⊥OA于C，求出OC、BC即可；

（2）根据三角形的面积公式求出即可；

（3）由题意得出4t=3t+20，求出t，求出此时P点运动的路程，即可得出答

案；

（4）设Q点的运动速度为每秒m个单位，则OD=5，OP=3t，PA=16-3t，AQ=mt，

当△DOP≌△QAP时得出

mt＝5

3t＝16−3t

，当△DOP≌△PAQ时得出

5＝16−3t

3t＝mt

，求出m即可．

解答：

解：

（1）

过B作BC⊥OA于C，

∵OB=BA=10，OA=16，

∴OC=CA=8，

由勾股定理得：

BC=

102−82

=6，

∴B的坐标是（8，6）；

（2）△OAB的面积是1/2×OA×BC=

1/2×16×6=48；

（3）由题意得：

4t=3t+20，

解得：

t=20，

此时P点运动的路程是60，

∵△OAB的周长是16+10+10=36，

又∵60-36-16=8，

∴第一次相遇在边AB上；

（4）设Q点的运动速度为每秒m个单位，则OD=5，OP=3t，PA=16-3t，AQ=mt，

当△DOP≌△QAP时，

OD＝AQ

OP＝AP

，即

mt＝5

3t＝16−3t

，

解得：

t=8/3．m=15/8；

当△DOP≌△PAQ时，

OD＝AP

OP＝AQ

即

5＝16−3t

3t＝mt

，

解得：

t=11/3，m=3，

综合上述：

点Q的运动速度是每秒15／8个单位或每秒3个单位．

点评：

本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点的应用．

方法与技巧

教学过程

4、随堂练习

1.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；

（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究

（1）中的结论是否成立？

若成立写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断

（1）中的结论是否成立？

若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

2.如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．

（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．

（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？

（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．

3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8， ，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；

（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；

（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：

该最大值能否持续一个时段？

若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且（n−3）2+（3m-12）＝0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．

（1）求A、C两点的坐标；

（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；

（3）当P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？

若存在，请求出t的值并直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

小提示

本课小结

及

下节预告

课后作业

课后评价

1、老师对学生的评价

2、学生对老师的评价

3、教学检查人员对本节课程的评价

4、回访家长的评价

课后反馈

本节课教学计划完成情况：

□照常完成□提前完成

□延后完成，原因___________________________________

学生的接受程度：

□完全能接受□基本能接受

□不能接受，原因___________________________________________

学生的课堂表现：

□很积极□比较积极□一般

□不积极，原因_____________________________________________

学生上次作业完成情况：

完成数量____%已完成部分的质量____分（5分制）

存在问题_______________________________________

配合需求：

家长________________________________________________

学管师________________________________________________

提交时间

复查时间

教学主管签字