届一轮复习人教版多维探究 殊途同归八带电粒子在有界磁场中的运动学案.docx

届一轮复习人教版多维探究 殊途同归八带电粒子在有界磁场中的运动学案.docx

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届一轮复习人教版多维探究殊途同归八带电粒子在有界磁场中的运动学案

[多维概述]

带电粒子在有界磁场中运动一般存在着临界问题（边界问题）以及极值问题，解决这类问题的技巧方法就是以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r和速度v、磁感强度B等之间的关系进行轨迹分析，从而确立轨迹与边界的关系，找出临界点。

[多维展示]

多维角度1直线边界

[例1]　如图所示，在空间中存在垂直纸面向外、宽度为d的有界匀强磁场。

一质量为m，带电荷量为q的粒子自下边界的P点处以速度v沿与下边界成30°角的方向垂直射入磁场，恰能垂直于上边界射出，不计粒子重力，题中d、m、q、v均为已知量。

则：

（1）粒子带何种电荷？

（2）磁场的磁感应强度为多少？

解析　

（1）由左手定则可知粒子带正电。

（2）粒子在磁场中运动轨迹如图所示，设圆周运动半径为r，由几何关系可得

rcos30°＝d

由洛伦兹力提供向心力有

qvB＝m

由以上两式可解得B＝。

答案　

（1）正电　

（2）

多维角度2圆边界

[例2]　如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板。

从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场射入大量的带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m。

不考虑粒子间的相互作用力。

关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（　　）

A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上

B．即使是对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也不一定过圆心

C．对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的弧长越长，时间也越长

D．只要速度满足v＝，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上

解析　对着圆心入射，只有轨道半径为R的粒子出射后才能垂直打在MN上，A错误；由对称性可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，B错误；对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的弧长所对的圆心角越小，运动时间越短，C错误；只要速度满足v＝，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上，D正确。

答案　D

多维角度3三角形、矩形等多边形边界

[例3]如图所示，边长为L的正方形区域ABCD内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，E点位于CD边上，且ED＝L，三个完全相同的带电粒子1、2、3分别以大小不同的初速度v1、v2、v3从A点沿AB方向射入该磁场区域，经磁场偏转后粒子1、2、3分别从C点、E点、D点射出。

若t1、t2、t3分别表示粒子1、2、3在磁场中的运动时间。

则以下判断正确的是（　　）

A．v1∶v2∶v3＝6∶2∶3

B．v1∶v2∶v3＝4∶3∶2

C．t1∶t2∶t3＝2∶3∶4

D．t1∶t2∶t3＝3∶4∶6

解析　从C点射出的粒子的半径rC＝L；从E点射出的粒子半径满足：

2＋（L－rE）2＝r，解得rE＝L；从D点射出的粒子的半径为rD＝L；根据qvB＝m，解得v＝∝r，故v1∶v2∶v3＝6∶4∶3，A、B错误；从C点射出的粒子的偏转角为90°；从E点射出的粒子的偏转角为120°；从D点射出的粒子的偏转角为180°；根据T＝可知，粒子的运动周期相同，则t1∶t2∶t3＝90°∶120°∶180°＝3∶4∶6，故D正确，C错误。

答案　D

[多途归一]

1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感强度、轨迹半径，磁场区域面积等方面的极值。

2．熟记一些有用结论：

（1）在有界磁场中转过的圆心角越大，运动时间越长。

（2）对着圆形匀强磁场的圆心垂直入射的带电粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心。

[类题演练]

1.（多选）电荷量均为q的两个带电粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则（　　）

A．a粒子带负电，b粒子带正电

B．两粒子的轨道半径之比ra∶rb＝∶1

C．两粒子的速度之比va∶vb＝1∶2

D．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2

答案　AD

解析　

根据左手定则可判出：

a粒子带负电，b粒子带正电，故A正确；两粒子在磁场中做圆周运动，设Oa、Ob分别为其轨迹圆心，如图所示。

磁场宽度为d，由几何关系可知：

ra＝，rb＝d，所以ra∶rb＝1∶，故B错误；分析可得：

两粒子的轨迹所对圆心角分别为：

θa＝120°，θb＝60°，两粒子在磁场中的运动时间相等，即＝，Tb＝2Ta，洛伦兹力提供向心力，根据qvB＝mr，运动周期T＝，两粒子的电荷量相等，在同一磁场中，B相同，周期与质量成正比，所以ma∶mb＝Ta∶Tb＝1∶2，故D正确；由qvB＝m得v＝，即速度与轨迹半径成正比，与质量成反比，＝·＝×＝，故C错误。

2.如图，磁感强度为B的匀强磁场，垂直穿过平面直角坐标系的第Ⅰ象限。

一质量为m，带电量为q的粒子以速度v0从O点沿着与y轴夹角为30°方向进入磁场，运动到A点时的速度方向平行于x轴，那么（　　）

A．粒子带正电

B．粒子带正、负电不确定

C．粒子由O到A经历时间t＝

D．粒子的速度没有变化

答案　C

解析　根据题意作出粒子运功的轨迹如图所示。

根据左手定则及曲线运动的条件判断出此电荷带负电，故A、B错误；粒子由O运动到A时速度方向改变了60°角，所以粒子做圆周运动的圆心角为60°，所以运动的时间t＝T＝，故C正确；粒子速度的方向改变了60°角，所以速度改变了，故D错误。

3．如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。

一不计重力的带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v，当速度方向与ab成30°角时，粒子在磁场中运动的时间最长，且为t；若相同的带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为（　　）

A.vB.v

C.vD.v

答案　D

解析　根据半径公式可得粒子在磁场中的运动半径r＝，当粒子从b点飞出磁场时，入射速度与出射速度与ab的夹角相等，所以速度的偏转角为60°，轨迹对应的圆心角为60°，如图1。

设磁场的半径为R，根据几何知识得知：

轨迹半径为r1＝2R；根据周期公式可得T＝，与速度无关，当粒子从a点沿ab方向射入磁场时，经过磁场的时间也是t，说明轨迹对应的圆心角与第一种情况相等，也是60°，如图2，根据几何知识得，粒子的轨迹半径为r2＝R，所以＝＝，解得v1＝v，D正确。

4.如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（　　）

A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长

B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大

C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合

D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同

答案　B

解析　

根据粒子在磁场里做圆周运动的周期公式：

T＝可得t＝T＝知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，与速度无关，故B正确；电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，由半径公式：

r＝知，轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，例如图中2轨迹比5轨迹长，但2轨迹的时间比5轨迹的时间短，故A错误；由周期公式：

T＝知，周期与电子的速率无关，所以粒子在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如上图所示：

轨迹3、4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同，故C、D错误。

故选B。

5．如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知AB边长为L，∠C＝30°，比荷均为的带正电粒子（不计重力）以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场，则（　　）

A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短

B．粒子在磁场中运动的最长时间为

C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越短

D．粒子在磁场中运动的最长路程为πL

答案　B

解析　粒子可能由BC边射出，也可能由AC边射出，以从AC边射出的粒子为例，因粒子在磁场中偏转的圆心角相同，都为120°，可以判断其运动时间都相同，且t＝T＝T＝，

并且粒子中速度越大的，半径也越大，路程越大，最长的路程是与BC边相切的粒子，轨迹如图所示，与BC相切于D点，圆心为O，分析可得半径为r＝L，其路程为·2πr＝·2πL＝πL，故B正确，A、C、D错误。

6．如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点A（0，L）。

一质量为m、电荷量为e的电子从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的B点射出磁场，射出B点时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°。

求：

（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；

（2）电子在磁场中运动的时间t。

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）设电子在磁场中轨迹的半径为r，运动轨迹如图，可得电子在磁场中转动的圆心角为60°，由几何关系可得：

r－L＝rcos60°

解得轨迹半径r＝2L

对于电子在磁场中运动，有：

ev0B＝m

解得磁感应强度B的大小：

B＝。

（2）电子在磁场中转动的周期T＝＝，电子转动的圆心角为60°，则电子在磁场中运动的时间：

t＝＝。