高三数学上册 164《组合》教案3 沪教版.docx

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高三数学上册164《组合》教案3沪教版

2019-2020年高三数学上册16.4《组合》教案（3）沪教版

一、教学内容分析：

本节内容是学生学习了：

计数原理——加法原理与乘法原理，排列与排列数；组合与组合数之后的内容，学生对排列组合知识已经有了初步的认识，同时也掌握了简单的排列组合问题.因此本节内容的安排旨在：

对先前所学内容的进一步加深与整合，使学生在掌握了简单排列组合问题的基础上也能处理一些复杂的排列组合问题.本节内容的教授是对这部分内容的总结与提升.本节内容分两节课讲授.

二、教学目标设计

1.掌握排列组合问题的基本类型，体会解决排列组合综合题的方法与步骤；

2.体会在解决排列组合问题的过程中，对问题的观察、分析、类比、归纳的研究方法；

3.通过对排列组合实际问题的解决，提高学习数学的兴趣.

三、教学重点及难点

重点：

排列组合综合题的基本型

难点：

1.对各种类型特征的理解

2.按照各种类型特征对排列组合综合题的归类

四、教学用具准备

多媒体设备

五、教学流程设计

复习引入

排列组合综合题基本型

巩固提高

六、教学过程设计

（一）、复习引入：

1.分类计数原理（加法原理）

完成一件事，有几类办法，在第一类中有种有不同的方法，在第2类中有种不同的方法……在第n类型有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法.

3.排列：

从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

4.组合：

从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

（二）、授新课：

1.排列组合综合题基本型：

i）.“住店”型：

即“允许重复排列”型.

此类问题要注意区分两类元素：

一类元素可以重复，另一类不能重复.把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，然后直接利用乘法原理求解的方法称为“住店法”.

例1：

七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能的种数有（）

A.75B.57C.AD.C

解：

因同一学生可同时夺得几项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作七家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种，选A..

ii）.简单型：

“集团”型，“插空”型，“隔板”型，“定序”型.

这几种简单类型在前几节中已有详细阐述，此处不再敖述.

iii）.“先取后排”型：

对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略.

例2：

3名医生与6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生与2名护士，不同的分配方法有（）

A.90种B.180种C.270种D.540种

解：

第一步，从6名护士中任选2名，有种选法；从余下的4名护士中选出2名，有种选法；第二步，把三组作全排列，有种选法.所以不同的分配方法有：

=540种.故选D.

iv）.“枚举”型：

当题中附加条件较多，直接解决困难时，用枚举法逐步寻找规律也是行之有效的方法.

例3.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）

A.6种B.9种C.11种D.23种

解：

用枚举法逐步解决.

第一方格内可填2或3或4.如填2，则第二方格内可填1或3或4.若第二方格内放1，则第三方格只能填4，第四方格填3.若第二方格填3，则第三方格应填4，第四方格应填1.同理，若第二方格填4，则第三、四方格应分别填1或3.因而第一方格放2共有3种方法.同理，第一格放3或4也各有3种，所以共有9种方法，选B..

v）.“间接”型：

如果一个问题直接考虑，比较复杂，很难得出结论，可考虑采用“间接法”.

例4.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（）

A.144种B.147种C.150种D.141种

解：

从10个点中任取四点，总数为.其中四点共面的有三种情况：

①共面的6个点中任意4点，共有4种；②任一棱上的3点与其对棱中点共面的共有6种；③相邻两面三角形中位线的4个端点共面，共有3种.所以适合条件的取法有=141（种），因此选D..

2.课堂练习：

（1）.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）

（A）10种（B）20种（C）25种（D）32种

解：

完成此事共分5步，第一步；将第一位同学报名课外活动小组有2种；第二步：

将第二位同学报名课外活动小组也有2种，依次类推，由分步计数原理知共有种不同报名方法.故选D..

（2）.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）

A.120B.240C.360D.720

解：

从10个球中取出7个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.故应填240.

（3）.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（　　）

A.108种B.186种C.216种D.270种

解析1：

以女生为主分三类：

①1女2男有种；②2女1男种；③3女有种，故共有（++）=186种选派方案.选B..

（4）.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）

A.8种B.12种C.16种D.20种

解：

从正方体的6个面中选取3个面共有种，剔除8个角上3个相邻平面，即.选B..

（三）、小结：

（略）

（四）、作业：

（略）

七、教学设计说明：

本节课着重以排列组合应用题的基本类型为主线展开的.关于解排列组合综合题的方法，文章不计其数，各有各的见解，而本教案（排列组合综合俄应用

（1））主要是从内容上来划分的，分为：

住店型，简单型（包括：

集团，插空，隔板，定序），先取后排型，枚举型，间接性.整节课首先复习引入，讲解例题，得到几种基本型，然后再通过课堂练习巩固，而课堂练习的安排是在例题的基础上加深难度，是稍微复杂的题目.最后布置作业，进一步加深理解.

这节课主要还是以老师讲授为主，但也不忽视学生的主观能动性，在课堂练习的安排上加深一点难度，给学生空间，发挥他们的才智！

本节课中的例题和课堂练习教师可根据学生的实际选用.

2019-2020年高三数学上册16.4《组合》教案（4）沪教版

八、教学内容分析

本节内容是学生学习了：

计数原理——加法原理与乘法原理，排列与排列数；组合与组合数之后的内容，学生对排列组合知识已经有了初步的认识，同时也掌握了简单的排列组合问题.因此本节内容的安排旨在：

对先前所学内容的进一步加深与整合，使学生在掌握了简单排列组合问题的基础上也能处理一些复杂的排列组合问题.本节内容的教授是对这部分内容的总结与提升.本节内容分两节课讲授.

九、教学目标设计

1.掌握解排列组合问题的步骤，掌握这一过程中：

合理分类，准确分步，不重不漏的原则；

2.体会在解决排列组合问题的过程中，对问题的观察、分析、类比、归纳的研究方法；

3.通过对排列组合实际问题的解决，提高学习数学的兴趣.

一十、教学重点及难点

重点：

解排列组合题的步骤

难点：

1.分清“元素”与“位置”

2.掌握“分类”与“分步”，避免“重复”与“遗漏”

一十一、教学用具准备

多媒体设备

一十二、教学流程设计

课堂练习

解排列组题的步骤

复习引入

一十三、教学过程设计

（一）、复习引入

复习前一节课讲的排列组合综合题的基本类型.

这节课我们就要从步骤过程上入手，进一步分析排列组合题的解.

（二）、新课

1.步骤：

例1.有六种不同工作分配给6人担任，每个人只担任一种工作，且甲不能担任其中某两种工作，问有几种方法？

解法1：

（先考虑有特殊要求的元素）先满足特殊元素甲，甲能担任的工作有4种，先分配甲，分配后，余下工作由其余5人分担，有种分担方法，故共有分配方法数4=4×5！

=480.

解法2：

（先考虑有特殊要求的位置）先满足特殊“位置”（甲不能担任的某两种工作），由先除甲之外的5人中任选2人分别担任甲不能担任的某两种工作，有种方法，再由其余4人（含甲）来分担余下四项工作，有种方法，故共有分配法数==（5×4）4！

=480

[改变]：

可将原题的限制条件加上附加条件为“而乙只能担任该两项工作”，那么分配方法有几种？

解法1：

4×2×=8×24=192（种）

解法2：

=192（种）

（这里表示先由乙和除甲、乙外的4人中任选1人分担甲不能担任的某两项工作，余下的四项工作包括甲在内的4人分担，有种）

引导学生总结：

i）.分清“元素”与“位置”

ii）.分析元素与位置的特殊情形，满足“特殊优先，一般在后”

iii）.判断排列还是组合

例2.已知集合A和集合B各含12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面的两个条件的集合C的个数：

（1），且C中含有3个元素；

（2）

分析：

由题意知，属于集合B而不属于集合A元素个数为12－4=8，因此满足条件

（1）、

（2）的集合C可分三类：

第一类：

含A中一个元素的集C有个；第二类：

含A中两个元素的集C有个；第三类：

含A中三个元素的集C有个.故所求集C的个数是＋＋=1084.

例3.2名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法共有（）

A.6种B.12种C.18种D.24种

分析：

完成分配方案可分两步，先从2名医生中各取1名分配到两所学校有C种，再从4名护士中各取2名分到两所学校有C种，由乘法原理知分配方案有=12（种），选B..

引导学生总结：

iv）.合理分类，准确分步，不重不漏

即：

解排列组合题的步骤：

i）.分清“元素”与“位置”

ii）.分析元素与位置的特殊情形，满足“特殊优先，一般在后”

iii）.判断排列还是组合

iv）.合理分类，准确分步，不重不漏

2.由上可知：

解决排列组合问题首先必须分清元素与位置，及是排列问题还是组合问题；其次，分析求解过程要注意掌握处理排列与组合问题的基本思想，即按元素（或位置）的性质分类或按事件发生过程分步.

例4：

在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手之间恰好一场比赛1场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出比赛，这样全部比赛只进行了50场，那么，上述3名选手之间的比赛场数是多少场？

分析：

由于3名选手之间最多有=3场比赛，最少有0场比赛，所以应分0，1，2，3四种情况分类讨论.

解：

设所有选手为n个

1）、若比赛0场，则总的比赛场次为：

3名选手与其余选手比赛6场，其余n－3名选手之间比赛场，

则+6=50

即n2－5n－82=0.

∵此方程无正整数解，故舍去；

2）、若比赛1场，则总的比赛场次为：

3名选手中有两人之间比赛一场，这两人与其余选手各赛一场，第三人与其余选手比赛2场，其余n－3名选手之间比赛场.

则+5=50

即:

n2－5n－84=0

解得n=12或n=－7（舍去）

3）、若比赛2场，则总的比赛场次为：

+4=50

即：

n2－5n－86=0

∵此方程无正整数解，故舍去.

4）、若比赛3场，则总的比赛场次为：

+3=50

即n2－5n－88=0

∵此方程无正整数解，故舍去.

综上所述，3名选手之间的比赛的场数是1场.

在解排列组合问题时的分类分步这一步骤时：

我们应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确（每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集），分步层次清楚，从而达到不重不漏.

3.课堂练习：

（1）．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字.

（1）可以组成多少个六位数？

（2）可以组成多少个四位奇数？

（3）可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个？

（4）可以组成多少个能被3整除的四位数？

（5）可以组成多少个大于324105的六位数？

解：

（1）从特殊元素0入手，0不能排在十万位，0有种排法，剩下的5个数字可排在5个数位下，有种，故可组成=600个六位数.

从特殊位置十万位入手，有种排法，剩下的五个位置有种，故可组成=600个六位数.

六个数字可组成个“六位数”（其中包括0在十万位的情形），而0在最高位上的“六位数”应扣除，有个，故共有-=600个六位数.

（2）从特殊位置入手，个位上有种排法，首位上有种排法，中间两位上有种排法，故共有=144个；

从特殊元素入手，可分为两类，含数字0的有个，不含有数字0的有个，故共有四位奇数+=144个.

间接法，个位是奇数的数共有个，其中不合条件的（0在首位）有个，故符合条件的四位奇数共有-=144个.

（3）分类：

如果有0，则0可排在个位或十位有2种，其余5个数字可排在二个数位上有种，所以有个三位数；如果无0，则2、4中可选出1个有2种，再从其余3个奇数中选出2个有种，然后将3个数字全排列有种，所以有2=36个二位数，如果无0，则2、4中可选出2个有1种，再从其余3个奇数中选出1个有3种，然后将3个数字全排列有种，所以有个三位数，共有个.

三位数共有个，但其中三个数字都不是偶数即均为奇数的有个，故至少含有一个偶数的三位数有-=94个.

（4）一个整数能被3整除的充要条件是它的各位数字之和是3的倍数，符合条件的有5组数：

0、1、2、3；0、2、3、4；0、3、4、5；0、1、3、5；1、2、4、5；前4组每组组成的四位数各有个，后一组组成的四位数有个，故可组成能被3整除的四位数有个.

（5）采用间接法，六位数共有个，不大于324105的数列如①3240××有2个；②321×××与320×××有个；③31××××与30××××有个；④3241051个；⑤2×××××与1×××××有个，所以满足条件的六位数共有

个.

采用加法，符合条件的是形如①5×××××和4×××××的数有个；②35××××和34××××的数有个；③325×××的数有个；④3245××的数有个，还有1个324150，故符合条件的六位数共有

个.

（2）.（步中有类）

一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为了有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种.

解：

先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；再考虑作物A种植在第二垄时，作物B有2种种植方法；又当作物A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法.而作物B种植的情况与作物A相同，所以满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2=12种.

（3）.（类中有步）

6个不同的小球放人三个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个，有几种方法？

分析：

在本例中，既耍考虑每个盒子到底放几个小球，还要看哪几个小球放人该盒子，既要选小球，又要选盒子．这就是常见的排列组合综合问题．

第一步，是将“6个不同的小球分成三堆（组）”，这其中涉及组合，分成三堆后，将“这三堆分别放人三只不同的盒子”，这是排列问题，因为这三堆小球各不相同．因此本例可在例3的基础上完成：

N＝=540种（不同的分法）．

第一类：

三个盒子内小球的数量分别为4，1，1．先从6个不同的小球中选出4个小球，看成一件物品，它和剩下两个小球可看作三件物品，分别放人三个不同的盒子，有种；

第二类：

三个盒子内小球的数量分别为3，2，1．先从6个不同的小球中选出3个，再从剩下三个小球中选出2个小球，选好后分

别放人三个不同的盒子，有种；

第三类：

三个盒子内小球的数量分别为2，2，2，有种.

共有

=540（不同分法）．

（三）、小结

（略）

（四）、布置作业

（略）

一十四、教学设计说明

如果说16.4排列组合综合应用（3）是从内容角度来分类的话，那么16.4排列组合综合应用（4）是从解题的过程角度将它分为如下四个步骤：

i）.分清“元素”与“位置”；ii）.分析元素与位置的特殊情形，满足“特殊优先，一般在后”；iii）.判断排列还是组合；iv）.合理分类，准确分步，不重不漏.同时也强调了此处的难点——如何分类才能做到不重不漏——按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确（每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集），分步层次清楚，从而达到不重不漏.

本节课从教法上讲主要还是以讲授为主，例题的挑选注重层次分明，由浅入深，希望给学生最大的发挥空间，引导学生发现问题，帮助他们解决问题，体现以学生为主体的理念.本节课中的例题和课堂练习教师可根据学生的实际选用.