m1
em2
v10
（1
e）m2v20
v1
m1
m2
m2
em1
v20
（1
e）m1v10
v2
m1
m2
例题：
如下图，质量为1kg的钢球，系在长为l=的绳子的一端，绳子的另一
端固定。
把绳子拉至水平位置后将球由静止释放，
球在最低点与质量为5kg的钢块作完全弹性碰撞。
求碰撞后钢球升高的高度。
解：
此题分三个过程：
第一过程：
钢球下落到最低点。
以钢球和地球为系统，机械能守恒。
以钢球在
最低点为重力势能零点。
1
mv02
mgl
（1）
2
第二过程：
钢球与钢块作完全弹性碰撞，以钢球和钢块为系统，动能和动量守
恒。
1mv02
1mv2
1MV2
（2）
2
2
2
mv0
mvMV
（3）
第三过程：
钢球上升。
以钢球和地球为系统，机械能守恒。
以钢球在最低点为
重力势能零点。
1mv2
mgh
（4）
2
由
（2）、（3）可得
mv2
v2
＝MV2
（5）
0
mv0
v
MV
（6）
（6）/（5），得v0vV
代入
（2）
mv0
mv
Mv0
v
因而
v
m
M
v0
（7）
m
M
（4）/
（1），得
v2h
v02l
（8）
m
M
2
（7）代入（8）
l
h
M
m
1
5
2
代入数据，得
h
1
5
§3－8能量守恒定律
一、内容：
如果系统内除了万有引力、弹性力等保守力作功以外，还有摩擦力或其他非保守内力作功，那么这系统的机械能就要发生变化，但它总是转换为其他形式的能量，这是由大量的实验所证明的。
对于一个孤立系统来说，系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是不管如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，能量的总和是不变的。
这就是能量守恒定律。
该定律是自然界的根本定律之一，是物理学中最具普遍性的定律之一，可适用于任何变化过程，不管是机械的、热的、电磁的、原子和原子核内的，以及化学的、生物的等等，其意义远远超出了机械能守恒定律的范围，后者只不过是前者的一个特例。
二、说明：
1．能量守恒定律是19世纪，经过，和Helmholtz等人的努力建立起来的。
Engels把能量守恒定律同生物进化论、细胞的发现相提并论，誉为19世纪
的三个最伟大的科学发现。
2．因为能量是各种运动的一般量度，所以能量守恒定律所说明的实质就是各种物质的运动可以相互转换。
三、能量守恒定律的重要性：
自然界一切已经实现的过程无一例外遵守能量守恒定律。
但凡违反能量守恒定律的过程都是不可能实现的，例如“永动机〞只能以失败而告终。
利用能量守恒定律研究物体系统，可以不管系统内各物体的相互作用如何复杂，也可以不问过程的细节如何，而直截了当地对系统的始末状态的某些特征下结论，为解决问题另辟新路子。
这也是守恒定律的特点和优点。
四、守恒定律的意义
自然界中许多物理量，如动量、角动量、机械能、电荷、质量、宇称、粒
子反响中的重子数、轻子数等等，都具有相应的守恒定律。
物理学特别注意守恒量和守恒定律的研究，这是因为：
第一，从方法论上看：
利用守恒定律可避开过程细节而对系统始、
末态下结论〔特点、优点〕。
第二，从适用性来看：
守恒定律适用范围广，宏观、微观、高速、低速均适用
（牛顿定律只
适用于宏观、低速，但由它导出的动量守恒定律的适用范围远它广泛，迄今为止没发现它不
对过）。
第三，从认识世界来看：
守恒定律是认识世界的有力武器。
在新现象研究中，当发现某个守
恒定律不成立时，往往作以下考虑：
（1）寻找被忽略的因素，从而恢复守恒定律的应用。
（2）引入新概念，使守恒定律更普遍化。
（3）无法“补救〞时，宣布该守恒定律失效。
例：
中微子的发现
问题的提出:
β衰变：
核
A→
核
B+e
如果核
A静止,那么由动量守恒应有
PB+Pe=0
；但β衰变云室照片说明
B
、e
的径
迹并不在一条直线上。
问题何在是动量守恒有问题还是有其它未知粒子参与
物理学家坚信动量守恒。
1930
年泡利提出中微子假说，以解释
β衰变各种现象。
1956
年（26年后）终于在实验上直接找到中微子。
1962
实验上正式确定有两种中微子：
电子中微子ν
e、、μ子中微子νμ
第四，从本质上看：
守恒定律揭示了自然界普遍的属性─对称性。
每一个守恒定律都相应于一种对称性〔变
换不变性〕：
动量守恒相应于空间平移的对称性
能量守恒相应于时间平移的对称性
角动量守恒相应于空间转动的对称性
*功与能量的联系和区别
能量守恒定律能使我们更深刻地理解功的意义。
按能量守恒定律，一个物体或系统的能量变化时，必然有另一个物体或系统的能量同时发生变化。
所以当我们用作功的方法〔以及用传递热量等其他方法〕使一个系统的能量变化时，在本质上是这个系统与另一个系统之间发生了
能量的交换。
而这个能量的交换在量值上就用功来描述。
所以说，
（1〕功总是和能量的变化与转换过程相联系。
（2〕功是能量交换或变化的一种量度。
（3〕能量是代表物体系统在一定状态下所具有的作功本领，它和物体系统
的状态有关，是系统状态的函数。
*§3－9质心质心运动定律
内容：
1．质心的概念；2．质心运动定律。
一、质心〔CenterofMass〕的概念
1．例子：
水平上抛三角板；运发动跳水
2．质心——代表质点系质量分布的平均位
置，质心可以代表质点系的平动。
3．推导：
N个质点组成的质点系，第i个质
点的质量为mi，位置矢量为ri，所受的合
力为Fififi外，其中fi为系统内各质
点对它作用的内力，fi外为系统外质点对它
作用的外力。
根据牛顿第二定律得
d2ri
midt2
Fi
fi
fi外
对整个质点系中的所有质点求和
Fi＝
mid2ri
dt2
由于质点系内各质点之间的相互作用满足牛顿第三定律，这些相互作用力
的和为零（
fi
0），所以
Fi
等于质点系所受的合外力
Fc，即
Fi＝Fc，
而
mi
d2ri＝d2
miri
＝
mi
d2
miri
dt2
dt2
dt2
mi
因而可引入质心
n
miri
i1
rcn
mi
i1
在直角坐标系中，质心位置矢量各分量的表达式为：
nnn
mixi
miyi
mizi
i1
i1
i1
xcn
，ycn
，zcn
mi
mi
mi
i1
i1
i1
对于连续分布的物体，质心的计算公式为：
rc
1
rdm
M
分量形式为
xc
1
xdm，yc
1
ydm，zc
1
M
M
zdm
M
例题：
试计算如下图的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。
解：
取如下图的坐标系。
由于质量面密度为恒量，
取微元dsdxdy的质量为dmdsdxdy
所以质心的x坐标为
xdxdy
xc
dxdy
从图中可以看出，三角形斜边的方程为
y
a
ax
b
a
ba
bx
ab2
xdxdy
b
6
积分得
xc
0
0
a
ab
3
ax
b
b
2
dxdy
0
0
同样可以求得质心的
y坐标yc
ydxdy
dxdy
a
ba
bx
a2b
y
dxdy
a
积分
0
0
6
yc
a
ab
3
ba
bx
dxdy
2
00
因而质心的坐标为
b,a
3
3
说明：
1〕坐标系的选择不同，质心的坐标也不同；
2〕对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处；
3〕质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的轴心上；
4〕质心和重心〔CenterofGravity〕是两个不同的概念
质心是有由质量分布决定的特殊的点；重心是地球对物体各局部引力的合
力的作用点。
当物体远离地球时，重力不存在，重心的概念失去意义，但是质
心还是存在的。
二、质心运动定律〔TheoremofMotionofCenter-of-Mass〕
1．系统的动量
把质心公式对时间求导
M
drc
mi
dri
dt
dt
drc
为质心的速度
vc
，dri为第i个质点的速度为
vi，因而上式为
dt
dt
Mvc
mivi
pi
即，系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度与系统质量的乘积。
2．质心运动定理
引入系统动量以后，系统所受的合外力可以写成
FcM
dvc
Mac
dt
即，作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积。
它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相对于系统的质量全部集中于系统
的质心，在合外力的作用下，质心以加速度ac运动。
说明：
无论系统内各质点的运动任何复杂，但是质心的运动可能相当简单，只
由作用在系统上的外力决定；内力不能改变质心的运动状态。
大力士不能自举
其身就是一例。
质心是质点系平动的代表点，各质点追随质心的运动，表现出
系统的整体运动。
3．克尼希〔KonigTheorem〕定理
质点系的总动能，等于相对于质点系的动能，加上随质点系整体平动的动
能，即
Ek
Ek
1mvc2
2
例题：
设有一个质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它飞行到最高点处爆炸成质量相等的两个碎片。
其中一个碎片竖直自由下落，
另一个碎片水平抛出，它们同时落地。
试问
第二各碎片落地点在何处
解：
考虑弹丸为一系统，空气阻力略去不计。
爆炸前后弹丸的质心的运动轨迹都在同一抛物线上。
如取第一个碎片的落地点为坐标原点，水平向右为坐标轴
的正方向，设m1和m2为两个碎片的质量，且m1=m2=m；x1和x2为两个碎片落地
点距原点的距离，xc为弹丸质心距坐标原点的距离。
有假设可知x1=0，于是
m1x1
m2x2
xC
m2
m1
由于x1=0，m1=m2=m，由上式可得
x1=xc
即第二各碎片的落地点的水平距离为碎片质心与第一个碎片水平距离的两倍。
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