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实际问题与二次函数详解与练习含答案

初中数学专项训练：

实际问题与二次函数（人教版）

、利用函数求图形面积的最值问题

一、围成图形面积的最值

1、只围二边的矩形的面积最值问题

例1、如图1,用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？

最大面积是多少？

分析：

关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。

解：

（1）设矩形的长为x（米），贝U宽为（18-x）（米），

2

根据题怠，碍:

yx（18x）x18x；

一x>0—…

又，CKxv18

18x>0

（2）.•yx（18x）

2

x18x中，a=-1v0,.•.y有取大值,

即当x

b

2a

18

2

（1）

9时，ymax

4acb2

4a

0182

4

（1）

81

故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：

在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、只围三边的矩形的面积最值

例2、如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠/F，.■

墙。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？

分析：

关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式

解：

设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），贝U宽为（—―）图2

2

（米），

50x1o

根据题意，得：

yx（）—x25x；

22

x>0

又50X,gxv50

2

【x225x中，a=—<0,•，.）有最大值,

22

625

故当x=25米时，养鸡场的面积取大，养鸡场取大面积为平方米。

2

点评：

如果设养鸡场的宽为x,上述函数关系式如何变化？

请读者自己完成。

3、围成正方形的面积最值

例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？

若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

（1）解：

设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为（20-x）cm

由题意得:

（x）2（2°4^）217

解得：

x116,x24

当x〔16时，20-x=4;当x24时，20-x=16

答：

这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米

（2）不能

理由是：

设第一个正方形的边长为xcm,则第二个正方形的边长为

2

的面积为ycm,

根据题意，得：

yx2（5x）22x210x25,

204x

4

（5x）cm,围成两个正方形

（5x）2

2x210x25中，a=2>0，:

.v有最小值,

即当x

b

2a

2

4acb

42251025,

——=12.5>12,故两个正万

422

形面积的和不可能是12cm2.

的正方形ABCD的边上，若AE=x,正方形EFGH的面积为

练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为ay.

E点位置；若没有，说明理由

、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,

例题1如图

（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在

水面宽4m.如图

（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是

12y=_—x.

2

…一…，.一..2―

y轴，可设此函数解析式为：

y=ax,利

【解析】

试题分析：

由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为用待定系数法求解.

2-

试题解析：

设此函数解析式为：

y=ax,a10；

那么（2,-2）应在此函数解析式上.

则-2=4a

…1

即碍a=-—,

2

…12

那么y=-—x.

2

考点：

根据实际问题列二次函数关系式练习1

OA,。

恰在水面中心，安置在柱子

OA的任一平面上，

y（米）与水平距离x（米）之间的关

某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子

顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过抛物线形状如图

（1）所示.图

（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度

系是yx22x。

.请回答下列问题：

4

（1）柱子OA的高度是多少米？

（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?

则其宽度须不超过多少

2.一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过,米.

（1）如图1,若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系

1求抛物线的解析式；

2要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米

（2）如图2,若把桥看做是圆的一部分

1求圆的半径；

2要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米

三、利用抛物线解决最大利润问题

例题1某市政府大力扶持大学生创业.明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售

过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看做一次函数：

y=—10x+500.

（1）设明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（6分）

（2）如果明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3分）

（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果明想要每月获得的利润不低于2000

元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本=进价X销售量）（3分）

答案：

（1）35;

（2）30或40;（3）3600.

【解析】

试题分析：

（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进

价）X销售量，从而列出关系式；

（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函

数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可.

试题解析：

（1）由题意得出：

Wx20yx2010x50010x2700x10000,

b

a10v0,—35

2a

■当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润.

（2）由题意，得：

10x2700x100002000,

解这个方程得：

x1=30,x2=40.

..•明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.

（3）a10V0,抛物线开口向下..••当302000.

..xv32,当30vx<32时，W>2000.

设成本为P（元），由题意，得：

P2010x500200x10000,

k=200v0,P随x的增大而减小.

.••当x=32时，P最小=3600.

答：

想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元.

考点：

二次函数的应用.

练习1.某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天

销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只.

（1）平均每天的销售量y（只）与销售价x（元/只）之间的函数关系式为;

（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售只x（元/只）之间的函数关系式；

（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？

最大利润是多少元

2.为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农

户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千

克）与销售价x（元/千克）有如下关系：

y2x80.设这种产品每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少元？

3.某公司营销A,B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1:

销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系

2....一.

yaxbx.当x1时，y1.4;当x3时，y3.6.

信息2：

销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y0.3x.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求二次函数解析式；

（2）该公司准备购进A,B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A,B两种产品获得的利润之和最

大，最大利润是多少？

4.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：

由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大

学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.明按照相关政策投资销售本市生产的一种新

型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x

（元）之间的关系近似满足一次函数：

y10x500.

（1）明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果明想要每月获得的利润不低于3000元，

那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

5.某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据

以往经验：

以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为x元/个.

（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；

（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；

（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？

最大利润是多少元？

6.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆

数（y）有如下关系：

x

3000

3200

3500

4000

y

100

96

90

80

（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式

150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x（x>3000）

未租出的车辆数

所有未租出的车辆每月的维护费

（2）已知租出的车每辆每月需要维护费的代数式填表：

租出的车辆数

租出每辆车的月收

益

（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？

请求出公司的最大月收益是多少元.

四、利用二次函数解决动点问题

例1如图8,如图9,在平行四边形ABCD中，AD=4cm,ZA=60°

BD±AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿2B^C的路线匀速

运动，过点P作直线PM,使PM±AD.

（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E,求^APE的面积;

（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿2B^C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0

①求S关于t的函数关系式；

②求S的最大值.

解：

（1）当点P运动2秒时，AP=2cm,由ZA=60°,知AE=1,PE=j3.「.

3

APE=—.

（2）①当0Vt<6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=-,QF=^t,AP=t+2,AG=1+-,PG=73^t.

2222

33

此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=M「M

当6

则AQ=t,AF=I,DF=4-:

QF=?

t,BP=t-6,CP=10-t,PG=（10t）73,

而BD=^3，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=5^t210后t34、E.

8

G,QN与DC交于点F,则CQ=20-2t,

150.3.

当8

此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=33t230、Et

2

②当0

2

当6

当8

所以当t=8时，S有最大值为6也.

初中数学专项训练：

实际问题与二次函数

参考答案

一、1

（1）y=2x2-2ax+a2

（2）有.当点E是AB的中点时，面积最大.

【解析】本题考查了二次函数的应用.

2

（1）先由AAS证明△AEF^DHE,得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求出EF,即可得到S与x之间的函数关系式；

（2）先将

（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.

解：

..•四边形ABCD是边长为a米的正方形，

.•./A=ZD=90°,AD=a米.

•.•四边形EFGH为正方形，

FEH=90°,EF=EH.

在^AEF与^DHE中，

•••/A=/D,/AEF=/DHE=90°-/DEH,EF=EH

.AEF^ADHE（AAS）,

•••AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，

一2222,、222

.y=EF=AE+AF=x+（a-x）=2x-2ax+a,即y=2x2-2ax+a2;

a2

（2）.■y=2x2-2ax+a2=2（x--）2+一，

24

.,•当x=—时，S有最大值.

2

故当点E是AB的中点时，面积最大.

二、练习1

595

（1）一

（2）—（3）-

442

【解析】本题考查了二次函数的应用

（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y的值，即可求出答案.

（2）通过抛物线的顶点坐标求得

（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x的值，即可求出答案.

解：

（1）把x=0代入抛物线的解析式得：

y=5，即柱子OA的高度是-

44

（2）由题意得：

当x=2=1时，y=9,即水流距水平面的最大高度

2

（1）4

（3）

1………5

—（舍去，不合题启、）,x2=—22

把y=0代入抛物线

2_5

碍：

x2x—=0，解碍，x1=

4

5.

故水池的半径至少要一米才能使喷出的水流不至于洛在池外

2

12

——X4;②10;

（2）①14.5;②4J7.

25

【解析】

试题分析：

（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x的值即可；

（2）①构造直角三角形利用BW2=BC2+CW2,求出即可；

②在RTAWGF中，由题可知，WF=14.5,WG=14.5-1=13.5，根据勾股定理知：

GF2=WF2-WG2,求出即可.

试题解析：

（1）①设抛物线解析式为:

2

yaxC,桥下水面苑度AB是20米，局CD是4米，•••A（-

②在RTAWGF中，由题可知，WF=14.5,WG=14.5-1=13.5，根据勾股定理知：

GF2=WF2-WG2,即GF2=14.5

-13.52=28，所以GF=2a/7，此时宽度EF=4J7米.

考点：

1.二次函数的应用；2.垂径定理的应用.

三、1.

（1）y=-3x+240;

（2）w=-3x2+360x-9600;（3）定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.

【解析】

试题分析：

（1）根据题意知销售量y（只）与销售价x（元/只）之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240;

⑵根据“总利润=每件商品的利润X销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3X+240）=-3x2+360X-9600;

（3）求获得最大利润，也就是求函数w=-3x2+360X-9600的最大值.

试题解析：

（1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240;

（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360X-9600;

⑶当x<60,y随x的增大而减小，

当x=55时，w最大=1125

所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.

考点：

（1）一次函数；

（2）二次函数.

2

2.

（1）w2x120x1600;

（2）该产品销售价定为每千克30兀时，每天销售利润最大，最大销售利

润200元.

【解析】

试题分析：

（1）根据销售额=销售量X销售价单x,列出函数关系式；

（2）用配方法将

（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.

试题解析：

（1）由题意得：

wx20yx202x802x2120x1600,

•••w与x的函数关系式为：

w2x2120x1600.

22

（2）w2x2120x16002x30200,

2v0,当x=30时，w有最大值.w最大值为200.

答：

该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

考点：

1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.

3.见解析

【解析】

2.

试题分析：

（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6,代入yaxbx

得解得，所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x;

9a3b3.6b1.5

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据题

意可列函数关系式为：

W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，因为-0.1<0,

根据二次函数的性质知当m=6时，W有最大值6.6,

试题解析：

（1）当x=1时，y=1.4;当x=3时，y=3.6,

ab1.4

9a3b3.6

0.1

1.5

a

解得

b

所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x;3分

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,则W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6,

••-0.1v0,

.••当m=6时，W有最大值6.6,

购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元.

考点：

1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质

4.

（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；

（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000;

（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

【解析】

试题分析：

（1）根据每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和

成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.

（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最

大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）w3000同时满足x£25,根据函数图象的性质知

道，k<0随x的增大而减小，当x=25时，该函数有最大值时，p有最小值500.

试题解析：

（1）当x=20时，y10x5001020500300,

政府这个月为他承担的总差价为600元。

（2）依题意得，w=x-1010x+500=10x2+600x-5000=-10

Qa=-10<0,

.••当x=30时，w有最大值4000.

■当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000.

（3）由题意得：

10x2+600x-50003000,

解得：

x1=20,x2=40.

Qa=-10<0,抛物线开口向下，

结合图象可知：

当20#x40时，w33000.

又Qx£25,当20#x25时，w>3000.

设政府每个月为他承担的总差价为p元，p121010x500

300?

（1210）=300?

2600,

一2

x-30+4000,

20x1000.

Qk=-20<0,p随x的增大而减小.

•,•当x=25时，p有最小值500.

销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用

2

5.

（1）（220—10x）;

（2）w10x320x2200（3）当x=14

销售利润最大是320元.

【解析】

试题分析：

用含x的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（

w（22010x）（x10），再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知

大为320.

试题解析：

（1）（220—10x）;

（2）w（22010x）（x10）3分

10x2320x22005分

w10x2320x2200

10（x16）23606分

.8分

..•抛物线w10x2320x2200的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，W随X的增大而增大

由题意可知10x14,9分

.••当x=14时，W最大为320.

.••当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元.

考点：

1.根据实际问题列函数关系式.2.二次函数的性质.

6.解：

（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为y