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1、实际问题与二次函数详解与练习含答案初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、只围二边的矩形的面积最值问题例1、 如图1,用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗 圃。（1） 设矩形的一边长为 x （米），面积为y （平方米），求y关于x的 函数关系式；（2） 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含 x的代数式表示出矩形的长与宽。解：（1）设矩形的长为x （米），贝U宽为（18- x ）（米），2根据题怠，碍:y x（18 x） x 18x；一 x0 又 ，CK xv 1818 x 0(2) . y

2、 x(18 x)2x 18x 中，a= -1 v 0, . y 有取大值,即当xb2a182 ( 1)9 时，y max4ac b24a0 1824 ( 1)81故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为 81平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。2、只围三边的矩形的面积最值例2、 如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠 / F ，.墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为 x （米），面积为y （平方米），贝U宽为（） 图22（米），50 x 1 o根据题意，得：y x（ ） x

3、 25x；2 2x 0又 50 X , g xv 502【x2 25x中，a= 0，:.v有最小值,即当xb2a24ac b4 2 25 10 25 , =12.5 12,故两个正万4 2 2形面积的和不可能是 12cm 2.的正方形 ABCD的边上，若 AE=x,正方形EFGH的面积为练习1、如图，正方形 EFGH的顶点在边长为 a y.E点位置；若没有，说明理由、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题l时，拱顶（拱桥洞的最高点） 离水面2m,例题1如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥， 当水面在水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是1 2 y = _ x .2 一，.

4、一 . 2 y轴，可设此函数解析式为： y=ax ,利【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为 用待定系数法求解.2 -试题解析：设此函数解析式为： y = ax , a 1 0；那么（2, -2）应在此函数解析式上.则-2 = 4a 1即碍a =-,2 1 2那么y = - x .2考点：根据实际问题列二次函数关系式 练习1OA ,。恰在水面中心，安置在柱子OA的任一平面上，y （米）与水平距离 x （米）之间的关某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 抛物线形状如图（

5、1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度系是y x2 2x 。.请回答下列问题：4(1)柱子OA的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?则其宽度须不超过多少2 .一座桥如图，桥下水面宽度 AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过, 米.(1)如图1,若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系1求抛物线的解析式；2要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米(2)如图2,若把桥看做是圆的一部分1求圆的半径；2要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米三、利用抛物线解决最大利润问题例题

6、1某市政府大力扶持大学生创业. 明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看做一次函数： y= 10x + 500.（1） 设明每月获得利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （ 6分）（2） 如果明想要每月获得 2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （ 3分）（3） 物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32元，如果明想要每月获得的利润不低于 2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本=进价X销售量）（3分）答案：（1） 35; （2） 30 或 40

7、; （3） 3600.【解析】试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润 =（定价-进价）X销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价； （3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可.试题解析：（1）由题意得出： W x 20 y x 20 10x 500 10x2 700x 10000,ba 10 v 0, 352a当销售单价定为 35元时，每月可获得最大利润.（2） 由题意，得： 10x2 700x 10000 2000,解这个方程得：x1=30 , x2=40 .明想要每月获得 2000元的利润

8、，销售单价应定为 30元或40元.（3） a 10V0, 抛物线开口向下.当 30 x 2000.xv 32, 当 30 v x 2000.设成本为P （元），由题意，得： P 20 10x 500 200x 10000,k= 200 v 0, P随x的增大而减小.当 x=32 时，P 最小=3600 .答：想要每月获得的利润不低于 2000元，每月的成本最少为 3600元.考点：二次函数的应用.练习1 .某玩具批发商销售每只进价为 40元的玩具，市场调查发现，若以每只 50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售 3只.（1） 平均每天的销售量 y（只）与销售价x（

9、元/只）之间的函数关系式为 ;（2） 求该批发商平均每天的销售利润 W（元）与销售只x（元/只）之间的函数关系式；（3） 物价部门规定每只售价不得高于 55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大 利润是多少元2.为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列 “三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y 2x 80 .设这种产品每天的销售利润为 w元.（1） 求w与x之间的函数关系式；（2） 该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润

10、最大？最大利润是多少元？3 .某公司营销 A,B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1 :销售A种产品所获利润 y （万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系2 . . 一 .y ax bx.当 x 1 时，y 1.4 ;当 x 3时，y 3.6.信息2：销售B种产品所获利润 y （万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系 y 0.3x.根据以上信息，解答下列问题： （1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进 A,B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售 A, B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？4.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调

11、，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件 10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数： y 10x 500 .（1） 明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2） 设明获得的利润为 w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3） 物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25元.如果明想要每月获得的利润不低于 3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？5

12、 .某文具店销售一种进价为 10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于 14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔 100个；若每个签字笔的销售价格每提高 1元， 则平均每周少销售签字笔 10个.设销售价为x元/个.(1) 该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个(用含x的式子表示)；(2) 求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润 w (元)与销售价x (元/个)之间的函数关系式；(3)当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？6.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金 x(元)与每月租

13、出的车辆数(y)有如下关系：x3000320035004000y100969080(1)观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数 y (辆) 与每辆车的月租金 x (元)之间的关系式150元，未租出的车每辆每月需要维护费 50元.用含x (x 3000)未租出的车辆数所有未租出的车辆每月的维护 费(2)已知租出的车每辆每月需要维护费 的代数式填表：租出的车辆数 租出每辆车的月收 益(3)若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司 的最大月收益是多少元.四、利用二次函数解决动点问题例1如图8,如图9,在平行四边

14、形 ABCD中，AD=4 cm , Z A=60 BD AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿 2 BC的路线匀速运动，过点P作直线PM,使PMAD .(1)当点P运动2秒时，设直线 PM与AD相交于点E,求 APE的面积;(2)当点P运动2秒时，另一动点 Q也从A出发沿 2 BC的路线运动，且在 AB上以每秒1 cm的速 度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动.过Q作直线QN ,使QN / PM.设点Q运动的时间为t 秒(0 t 10),直线PM与QN截平行四边形 ABCD所得图形的面积为 S cm2 .求S关于t的函数关系式；求S的最大值.解：(1)当点 P 运动 2

15、秒时，AP=2 cm,由 Z A=60 ,知AE=1 , PE= j3.3APE=.(2) 当0V t 6时，点P与点Q都在AB上运动，设 PM与AD交于点G, QN与AD交于点F,则 AQ=t, AF= - , QF=t, AP= t+2 , AG=1+ - , PG= 73 t.2 2 2 23 3此时两平行线截平行四边形 ABCD的面积为S=MM当6 tv 8时，点P在BC上运动，点 Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G, QN与AD交于点F,则 AQ=t, AF= I , DF=4- : , QF= ?t , BP=t-6 , CP=10-t , PG= (10 t)73 ,而BD=

16、 3，故此时两平行线截平行四边形 ABCD的面积为S= 5t2 10后t 34、E.8G, QN 与 DC 交于点 F,则 CQ=20-2 t,150.3 .当8 t 10时，点P和点Q都在BC上运动.设PM与DC交于点 QF=(20-2 t) 73 , CP=10- t, PG= (10 t)面.此时两平行线截平行四边形 ABCD的面积为S=33t2 30、Et2当0 t 6时，S的最大值为乙主2当6 t 8时，S的最大值为63当8 tv 10时，S的最大值为6右所以当t=8时，S有最大值为6也.初中数学专项训练：实际问题与二次函数参考答案一、1(1)y=2x2-2ax+a2 (2)有.当点

17、E是AB的中点时，面积最大.【解析】本题考查了二次函数的应用 .2(1)先由AAS证明 AEF DHE,得出AE=DH=x米，AF=DE= (a-x )米，再根据勾股定理，求出 EF , 即可得到S与x之间的函数关系式；(2)先将(1)中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.解：.四边形ABCD是边长为a米的正方形，./ A= Z D=90 , AD= a 米.四边形EFGH为正方形，FEH=90 , EF=EH.在 AEF与 DHE中，/ A= / D, / AEF= / DHE=90 - / DEH, EF=EH. AEFA DHE (AAS), AE=DH=

18、x 米，AF=DE= (a-x)米，一2 2 2 2 , 、 2 2 2. y=EF =AE +AF =x + (a-x) =2x -2ax+ a , 即 y=2x2-2ax+ a 2;a2(2) . y=2x2-2ax+ a 2=2 (x- - ) 2+一，2 4.,当x=时，S有最大值.2故当点E是AB的中点时，面积最大.二、练习15 9 5(1) 一 (2) (3)-4 4 2【解析】本题考查了二次函数的应用(1) 本题需先根据已知条件把 x=0代入抛物线的解析式，从而得出 y的值，即可求出答案.(2)通过抛物线的顶点坐标求得(3) 本题需先根据已知条件把 y=0代入抛物线求出所要求的式

19、子，再得出 x的值，即可求出答案.解：(1)把x=0代入抛物线的解析式 得：y= 5，即柱子OA的高度是-4 4(2)由题意得：当x= 2 =1时，y= 9 ,即水流距水平面的最大高度2 ( 1) 4(3)1 5(舍去，不合题启、),x2= 2 2把y=0代入抛物线2 _ 5碍： x 2x =0，解碍，x1 =45 .故水池的半径至少要 一米才能使喷出的水流不至于洛在池外21 2X 4 ; 10 ; (2) 14.5; 4J7 .25【解析】试题分析：(1)利用待定系数法求函数解析式即可； 根据题意得出y=3时，求出x的值即可；(2)构造直角三角形利用 BW2=BC2+CW2,求出即可；在RT

20、A WGF中，由题可知， WF=14.5 , WG=14.5 - 1=13.5，根据勾股定理知： GF2=WF2 - WG2,求出即 可.试题解析：(1)设抛物线解析式为:2y ax C , 桥下水面苑度 AB是20米，局CD是4米， A (-在 RTA WGF 中，由题可知，WF=14.5 , WG=14.5 -1=13.5，根据勾股定理知：GF2=WF2- WG2,即 GF2=14.5-13.52=28，所以 GF=2a/7，此时宽度 EF=4J7 米.考点：1.二次函数的应用；2.垂径定理的应用.三、1. (1) y=-3x+240 ; (2)w=-3x 2+360x-9600 ; (3

21、)定价为55元时，可以获得最大利润是 1125元.【解析】试题分析：(1)根据题意知销售量 y(只)与销售价x(元/只)之间的函数关系式为 y=90-3 (x-50 ) =-3x+240 ;根据“总利润=每件商品的利润X销售量”可知 w= (x-40 ) y= (x-40 ) (-3X+240 ) =-3x 2+360X-9600 ;(3)求获得最大利润，也就是求函数 w=-3x 2+360X-9600的最大值.试题解析：(1) y=90-3 (x-50 )即 y=-3x+240 ;(2) w= (x-40 ) y= (x-40 ) (-3x+240 ) =-3x 2+360X-9600 ;当

22、x 60, y随x的增大而减小，当x=55时，w最大=1125所以定价为55元时，可以获得最大利润是 1125元.考点：(1) 一次函数；(2)二次函数.22. (1) w 2x 120x 1600 ; (2)该产品销售价定为每千克 30兀时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.【解析】试题分析：（1）根据销售额=销售量X销售价单x,列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式 变形，利用二次函数的性质求最大值 .试题解析：(1)由题意得： w x 20 y x 20 2x 80 2x2 120x 1600,w与x的函数关系式为： w 2x2 120x 1600.2 2(2) w 2

23、x2 120x 1600 2 x 30 200,2v 0, 当x=30时，w有最大值.w最大值为200.答：该产品销售价定为每千克 30元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200元.考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式； 3.二次函数的最值.3.见解析【解析】2 .试题分析：（1）因为当x=1时，y=1.4 ；当x=3时，y=3.6 ,代入y ax bx得 解得 ，所以，二次函数解析式为 y=-0.1x 2+1.5x ;9a 3b 3.6 b 1.5（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m ）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为 W元，根据题意可列函数关系式为： W=-

24、0.1m 2+1.5m+0.3 （10-m ） =-0.1m 2+1.2m+3=-0.1 （ m-6 ） 2+6.6，因为-0.1 0,根据二次函数的性质知当 m=6时，W有最大值6.6,试题解析：（1） 当 x=1 时，y=1.4 ;当 x=3 时，y=3.6 ,a b 1.49a 3b 3.60.11.5a解得b所以，二次函数解析式为 y=-0.1x 2+1.5x ; 3分（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m ）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为 W元, 则 W=-0.1m 2+1.5m+0.3 （10-m ） =-0.1m 2+1.2m+3=-0.1 （m-6 ） 2+6.6

25、, -0.1 v 0,.当m=6时，W有最大值6.6,购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是 6.6万元.考点：1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质4. （1）政府这个月为他承担的总差价为 600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润 4000;（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500元.【解析】试题分析：（1）根据每月销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价 .（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函

26、数配方法，可得该函数的最大值 .（3） w 3000同时满足x25,根据函数图象的性质知道，k 0随x的增大而减小，当x=25时，该函数有最大值时， p有最小值500.试题解析：(1)当 x= 20 时，y 10x 500 10 20 500 300,政府这个月为他承担的总差价为 600元。(2)依题意得， w= x-10 10x+ 500 = 10x2+600x-5000=-10Q a= - 10 0 ,.当x= 30时，w有最大值4000.当销售单价定为 30元时，每月可获得最大利润 4000.(3) 由题意得： 10x2+ 600x-5000 3000,解得：x1 = 20 , x2 =

27、 40 .Q a = - 10 3000.设政府每个月为他承担的总差价为 p元， p 12 10 10x 500300? (12 10) = 300? 2 600,一 2 x-30 + 4000,20x 1000.Q k = - 20 0 , p随x的增大而减小.,当x= 25时，p有最小值500.销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500元.【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用25. (1) (220 10x); (2) w 10x 320x 2200(3)当 x=14销售利润最大是320元.【解析】试题分析：用含 x的式子表示文具店这种

28、签字笔平均每周的销售量为(w (220 10x)( x 10)，再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知大为320.试题解析：(1) (220 10x);(2) w (220 10x)(x 10) 3分10x2 320x 2200 5 分w 10x2 320x 220010(x 16)2 360 6 分.8分.抛物线 w 10x2 320x 2200的开口向下，在对称轴直线 x=16的左侧， W随X的增大而增大由题意可知10 x 14, 9分.当x=14时，W最大为320.当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是 320元.考点：1 .根据实际问题列函数关系式. 2 .二次函数的性质.6 .解：(1)由表格数据可知 y与x是一次函数关系，设其解析式为 y