苏教版六年级上册数学知识点.docx
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苏教版六年级上册数学知识点
新苏教版六年级数学上册知识点总结
(1)长方体和正方体
长方体和正方体的特征:
长方体和正方体的表面积:
概念:
长方体或正方体6个面的总面积,叫做它们的表面积
计算公式:
长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2或S表=(a?
b?
a?
c?
b?
c)?
正方体表面积=棱长×棱长×6或2S=a?
a?
6?
6a
注:
不足6个面的实际问题根据具体情况计算,例如鱼缸、无盖纸盒等等。
体积(容积)单位进率换算:
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1m3=?
1000dm31dm3=1000cm31升=1000毫升1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1L=1000mL1dm3=1L1cm3=1mL
长方体和正方体的体积(容积):
概念:
物体所占空间的大小叫做它们的体积(容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积)。
计算公式:
长方体体积公式=长×宽×高或V?
a?
b?
h
正方体体积公式=棱长×棱长×棱长或3V?
a?
a?
a?
a
长方体和正方体的体积=底面积×高或V?
S底×h
(2)分数乘法
分数与整数相乘及实际问题:
1.分数与整数相乘:
用整数与分数的分子相乘的积作为分子,分数的分母作为分母,最后约分成最简分数。
或者先将整数与分数的分母进行约分,再应用前面计算法则。
注:
【任何整数都可以看作为分母是1的分数】
2.求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算。
3.解题时可以根据表示几分之几的条件,确定单位1的量,想单位1的几分之几是哪个数量,找出数量关系式,再根据数量关系式列式解答。
分数与分数相乘及连乘:
1.分数与分数相乘:
用分子相乘的积作为分子,用分母相乘的积作为分母,最后约分成最简分数。
2.分数连乘:
通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算
3.一个数与比1小的数相乘,积小于原数;一个数与比1大的数相乘,积大于原数。
倒数的认识:
1.乘积是1的两个数互为倒数。
2.求一个数(不为0)的倒数,只要将这个数的分子与分母交换位置。
【整数是分母为1的分数】
3.1的倒数是1,0没有倒数。
4.假分数的倒数都小于或等于1(或者说不大于1);真分数的倒数都大于1。
(三)分数除法
分数除法:
1.分数除法计算法则:
甲数除以乙数(不为0)等于甲数乘乙数的倒数。
2.分数连除或乘除混合计算:
可以从左向右依次计算,但一般是遇到除以一个数,把它改写成乘这个数的倒数来计算。
【转化成分数的连乘来计算】
3.除数大于1,商小于被除数;除数小于1,商大于被除数;除数等于1,商等于被除数。
4.分数除法的意义:
已知一个数的几分之几是多少,求这个数?
可以用列方程的方法来解,也可以直接用除法。
注:
在单位换算中,要弄清需要换算的单位之间的进率是多少
比的认识:
1.比的意义:
比表示两个数相除的关系。
2.比与分数、除法的关系:
a:
b=a÷b=a/b(b≠0)
3.比值:
比的前项除以比的后项,所得的商就叫比值。
注:
比值是一个数,可以是整数、分数、小数,不带单位名称。
4.比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变。
5.最简整数比:
比的前项和后项是互质数。
也就是比的前项和后项除了1意外没有其它公因数。
6.化简:
运用比的基本性质对比进行化简,方法:
先把比的前、后项变成整数,再除以它们的最大公因数。
注:
化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同,方法不同,结果不同】
7.按比例分配问题:
将一个数量按照一定比例,分成几个部分,求每个部分是多少,这类问题称为按比例分配问题。
解决方法:
先求出总份数,再求各部分数占总数的几分之几,转化成分数乘法来计算。
(4)解决问题的策略
用“替换”策略解决实际问题:
问题:
小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯,正好都倒满,已知小杯的容量是大杯的13,小杯和大杯的容量各是多少毫升?
如果把720毫升果汁全部倒入小杯,需要(6+3)个小杯。
如果把720毫升果汁全部倒入大杯,需要(1+2)个大杯。
用“假设”策略解决实际问题:
问题:
在1个大盒和5个同样的小盒中装满球,正好是80个,每个大盒比每个小盒多装8个,大盒里装了多少个球?
小盒呢?
分析:
假设6个全是小盒?
球的总数比80小,把1个大盒换成小盒球的总数比80少8个?
小盒:
(80-8)÷6=12大盒:
12+8=20?
检验
先假设?
再比较(与条件不符)?
进行调整?
得出结果?
检验
(5)分数四则混合运算
分数四则混合运算的顺序:
分数四则混合运算的顺序与整数相同。
先算乘除法,后算加减法;有括号的先算括号里面的,后算括号外面的。
分数四则混合运算的运算律:
加法的交换律:
a?
b?
b?
a
加法的结合律:
(a?
b)?
c?
a?
(b?
c)
乘法的交换律:
a?
b?
b?
a
乘法的结合律:
(a?
b)?
c?
a?
(b?
c)
乘法的分配律:
(a?
b)?
c?
a?
c?
b?
c
稍复杂的分数乘法实际问题:
1.甲占(是)乙的几分之几
几分之几=甲÷乙;甲=乙×几分之几;乙=甲÷几分之几;
2.甲占(是)总量的几分之几,求乙?
乙=总量-甲×几分之几
3.甲比乙多(增加、上升、提高)几分之几几分之几=(甲-乙)÷乙;甲=乙×(1+几分之几);乙=甲÷(1+几分之几)
4.乙比甲少(减少、下降、降低)几分之几几分之几=(甲-乙)÷甲;甲=乙÷(1-几分之几);乙=甲×(1-几分之几)
(六)百分数
百分数的意义及读写:
1.百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫百分比或百分率。
2.百分数的读写:
百分数不写成分数形式,先写分子,再写百分号。
注:
百分数后面不带单位名称。
(常出现在判断题中)
百分数与小数的互化:
百分数与分数的互化:
求一个数是另一个数的百分之几的实际问题:
公式:
(一个数÷另一个数)×100%
生活中常见的一些百分率:
合格率=合格产品数÷产品总数×100%
出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%
发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%
成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%
出油率=油的重量÷油料重量×100%
命中率=命中次数÷总次数×100%
及格率=及格人数÷参加考试人数×100%
纳税问题:
求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几,就求出了应纳税额。
利息问题:
利息=本金×利率×存期
折扣问题:
折扣=实际售价÷原售价×100%
列方程解决稍复杂的百分数实际问题:
1.解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。
2.用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量,找出数量间的相等关系。
根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。
3.“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。
4.灵活运用本单元所学知识,解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间的联系。
【典型例题】
例1、(列方程解答和倍问题)一根绳子长48米,截成甲、乙两段,其中乙绳长度是甲绳的60%。
甲、乙两绳各长多少米?
分析与解:
乙绳长度是甲绳的60%,把甲绳长度看作单位“1”。
等量关系式:
甲绳长度+乙绳长度=总长度
解答:
设甲绳长x米,则乙绳长60%x米。
x+60%x=48
1.6x=48
x=30
60%x=30×60%=18
答:
甲绳长30米,则乙绳长18米。
检验:
30+18=48(米),符合甲、乙两绳共长48米。
18÷30=60%,符合乙绳长度是甲绳的60%。
例2、(列方程解答差倍问题)体育馆内排球的个数是篮球的75%,篮球比排球多6个。
篮球和排球各有多少个?
分析与解:
排球的个数是篮球的75%,是把篮球个数看作单位“1”。
等量关系式:
篮球–排球=6个
解答:
设篮球有x个,则排球有75%x个。
x-75%x=6
0.25x=6
x=24
75%x=24×0.75=18
答:
篮球有24个,排球有18个。
你会自己检验吗?
检验:
24-18=6(个),符合篮球比排球多6个。
18÷24=75%,符合排球的个数是篮球的75%。
点评:
在列方程解答和倍、差倍问题的题目时,要注意找准单位“1”的量,通常情况下设单位“1”的量为x,再用另一个量和单位“1”之间的关系,用含有x的式子表示出另一个量,最后根据它们的和或差列出方程。
例3、六年级男生比女生少40人,六年级女生人数相当于男生人数的140%,六年级男生有多少人?
错误解法:
设:
女生有x人,男生就有140%x人。
140%x-x=40
0.4x=40
x=100
140%x=100×1.4=140
分析与解:
根据“六年级女生人数相当于男生人数的140%”,可以把男生人数看作单位“1”的量,设男生人数为x人,女生人数就是140%x人,再根据“六年级男生比女生少40人”,可以得出数量关系式:
“女生人数–男生人数=40”,根据此数量关系式列出方程。
正确解答:
设男生有x人,女生就有140%x人。
140%x-x=40
0.4x=40
x=100
答:
男生有100人。
点评:
解错此题的原因是单位“1”的量找错了,要记住找单位“1”的量时候,首先要去找分率(百分率),因为没有分率就没有单位“1”的量,就不能看到“比”,而“比”后面的那个量就是单位“1”的量。
例4、(列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题)白兔有36只,比灰兔少20%。
灰兔有多少只?
分析与解:
白兔比灰兔少20%,把灰兔看作单位“1”。
等量关系式:
灰兔的只数–白兔比灰兔少的只数=白兔的只数
解答:
设灰兔有x只。
x-20%x=36
0.8x=36
x=45
答:
灰兔有45只。
检验:
45–45×20%=36或(45–36)÷45=20%,符合题意。
点评:
和前面例题一样,都是去求单位“1”的量。
在解题时同样要注意找准单位“1”的量,看问题求什么,确定用什么方法计算。
例6、(难点突破)某商品如果按现价18元出售,则亏了25%,原来成本是多少元?
如果想盈利25%,应按多少元出售该商品?
分析与解:
不管是亏25%,还是盈利25%,单位“1”都是这件商品的成本。
所以要先求这件商品的成本。
18元亏25%,说明18元比成本少25%,即是成本的(1-25%)。
盈利25%,说明盈利的是原来成本的25%,实际售价是原来成本的(1+25%)。
解答:
设原来成本是x元。
x-25%x=18
0.75x=18
x=2424×(1+25%)=30(元)
答:
原来成本是24元,应按30元出售该商品。
点评:
通常情况下,商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的。
解答这道题目的关键是确定好单位“1”,这也是解百分数应用题时最重要的。
例7、(考点透视)水果批发部要运进一批水果,第一次运进总量的22%,第二次运进1.5吨,两次共运进这批水果的62%,这批水果一共有多少吨?
分析与解:
根据题意可以画出下面的线段图:
从图中可以看出:
两次一共运的吨数-第一次运的吨数=1.5吨,单位“1”的量是这批水果的总吨数,设这批水果一共有x吨,那么两次一共运了62%x吨,第一次运进了22%x吨。
解:
设这批水果一共有x吨。
62%x-22%x=1.5
40%x=1.5
x=3.75
答:
这批水果一共有3.75吨。
点评:
在解答稍复杂的百分数应用题时,要学会画线段图,它的好处是:
使题目的条件变得简洁,找数量关系式时更加容易、方便。
画图的时候,要先找准单位“1”的量,用一根线段表示出单位“1”的量之后,再去表示其他的量。
【模拟试题】(答题时间:
40分钟)
1、基本训练:
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。
②男生人数比女生人数多20%。
③女生人数比男生人数少25%。
④加工一批零件,已完成了80%。
⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。
2、根据所给信息,说出数量间的相等关系
①一条路,已修了全长的60%
②一种彩电,现价比原价降低10%
③松树的棵数比柏树多
3、看图列式。
4、列式计算:
(1)一个数的75%比30的25%多1.5,求这个数。
(2)一个数的25%比它的75%少30,求这个数。
2、解决问题:
1、对比练习
(1)某工厂六月份用煤60吨,六月份比五月份少用煤25%,五月份用煤多少吨?
(2)某工厂六月份用煤60吨,五月份比六月份多用煤25%,五月份用煤多少吨?
2、一张课桌比一把椅子贵10元,如果椅子的单价是课桌单价的60%,课桌和椅子的单价各是多少元?
3、果园里的梨树和苹果树共有360棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。
苹果树和梨树各有多少棵?
4、一套桌椅的价格是78元,其中椅子的价格是桌子的30%。
桌子和椅子的价格各是多少元?
5、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,两次共剪去6米,这条绳子共长多少米?
6、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,第二次比第一次多剪了1米,这条绳子长多少米?
7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷,实际种茶25公顷,________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几?
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几?
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几?
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几?
8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵,-------,梨树有多少棵?
①200÷20%
②200×20%
③200÷(1+20%)
④200÷(1-20%)
⑤200×(1-20%)
⑥200×(1+20%)
【试题答案】
1、基本训练:
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。
把女生人数看作单位“1”
②男生人数比女生人数多20%。
把女生人数看作单位“1”
③女生人数比男生人数少25%。
把男生人数看作单位“1”
④加工一批零件,已完成了80%。
把一批零件看作单位“1”
⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。
把去年的猪肉单价看作单位“1”
2、根据所给信息,说出数量间的相等关系
①一条路,已修了全长的60%全长×60%=已修
②一种彩电,现价比原价降低10%原价×10%=降价
原价×(1-10%)=现价
③松树的棵数比柏树多柏树×=松树比柏树多的棵数
柏树×(1+)=松树
3、看图列式。
4、列式计算:
(1)一个数的75%比30的25%多1.5,求这个数。
75%x–30×25%=1.5
x=12
(2)一个数的25%比它的75%少30,求这个数。
75%x–25%x=30
x=60
二、解决问题:
1、对比练习
(1)某工厂六月份用煤60吨,六月份比五月份少用煤25%,五月份用煤多少吨?
解:
设五月份用煤x吨。
x–25%x=60
x=80
(2)某工厂六月份用煤60吨,五月份比六月份多用煤25%,五月份用煤多少吨?
60+60×25%=75(吨)
2、一张课桌比一把椅子贵10元,如果椅子的单价是课桌单价的60%,课桌和椅子的单价各是多少元?
解:
设课桌的单价是x元,椅子的单价是60%x元。
x–60%x=10
x=25
25×60%=15(元)或25–10=15(元)
答:
课桌的单价是25元,椅子的单价是15元。
3、果园里的梨树和苹果树共有360棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。
苹果树和梨树各有多少棵?
解:
设梨树的棵树是x棵,苹果树的棵树是20%x棵。
x+20%x=360
x=300
300×20%=60(棵)或360–300=60(棵)
答:
梨树的棵树是300棵,苹果树的棵树是60棵。
4、一套桌椅的价格是78元,其中椅子的价格是桌子的30%。
桌子和椅子的价格各是多少元?
解:
设课桌的单价是x元,椅子的单价是30%x元。
x+30%x=78
x=60
60×30%=18(元)或78–60=18(元)
答:
课桌的单价是60元,椅子的单价是18元。
5、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,两次共剪去6米,这条绳子共长多少米?
解:
设这条绳子共长x米。
25%x+35%x=6x=10
答:
这条绳子共长10米。
6、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,第二次比第一次多剪了1米,这条绳子长多少米?
解:
设这条绳子共长x米。
35%x-25%x=1x=10
答:
这条绳子共长10米。
7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷,实际种茶25公顷,________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几?
25÷20=125%
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几?
20÷25=80%
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几?
(25–20)÷20=25%
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几?
25–20)÷25=20%
8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵,------,梨树有多少棵?
①200÷20%苹果树是梨树的20%
②200×20%梨树是苹果树的20%
③200÷(1+20%)苹果树比梨树多20%
④200÷(1-20%)苹果树比梨树少20%
⑤200×(1-20%)梨树比苹果树少20%
⑥200×(1+20%)梨树比苹果树多20%