九年级数学上册提技能题组训练 24223.docx
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九年级数学上册提技能题组训练24223
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2019-2020年九年级数学上册提技能·题组训练24.2.2.3
切线长定理
1.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是（ ）
A.9B.10C.12D.14
【解析】选D.根据切线长定理,得AD=AE,BC=BE,所以梯形的周长是5×2+4=14.
2.如图,PA,PB为☉O的切线,A,B分别为切点,∠APB=60°,点P到圆心O的距离OP=2,则☉O的半径为（ ）
A.
B.1C.
D.2
【解析】选B.连接OA,∵PA为☉O的切线,∴PA⊥OA,
∵∠APO=
∠APB=30°,
∴OA=2×
=1,
∴☉O的半径为1.
3.如图,从☉O外一点P引圆的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,如果∠APB=
60°,线段PA=10,那么弦AB的长是（ ）
A.10B.12C.5
D.10
【解析】选A.∵PA,PB都是☉O的切线,∴PA=PB,
∵∠APB=60°,∴△PAB是等边三角形,∴AB=PA=10.
4.如图,AC是☉O的直径,∠ACB=60°,连接AB,过A,B两点分别作☉O的切线,两切线交于点P.若已知☉O的半径为1,则△PAB的周长为 .
【解题指南】
（1）由直径所对的圆周角是直角,从而将问题转化到直角三角形中.
（2）利用勾股定理和特殊三角形的性质得出直角边AB的长.
（3）再结合切线的性质和切线长定理得到答案.
【解析】∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∠BAC=30°,CB=1,AB=
.∵AP为切线,∴∠CAP=90°,∠PAB=60°.
又∵AP=BP,∴△PAB为正三角形,∴周长为3
.
答案:
3
5.如图,PA,PB分别切☉O于A,B,并与☉O的切线,分别相交于D,C,已知PA=7cm,则△PCD的周长等于 .
【解析】设DC与☉O的切点为E,∵PA,PB分别是☉O的切线,且切点为A,B,
∴PA=PB=7cm;同理,可得:
DE=DA,CE=CB;则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC
=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14cm,故△PCD的周长是14cm.
答案:
14cm
【知识归纳】切线长应用注意的两方面
当多条直线与同一圆相切时:
（1）注意简化:
归纳出现了几对切线长定理的基本图形,从而将复杂问题简单化,进而发现必要的数量关系.
（2）注意联系,如圆心是几个角的角平分线的交点.
6.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,以AD为直径的☉O切BC于E,连接OB,OC,试探究OB与OC有何位置关系?
【解析】∵AD为☉O的直径,四边形ABCD为直角梯形,∴AB,CD为☉O的切线.
∵☉O与BC相切,
∴∠ABO=∠CBO,∠DCO=∠BCO.
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.
∴∠OBE+∠OCE=90°.∴∠BOC=90°,所以OB⊥OC.
三角形的内切圆及内心
1.下列说法中,不正确的是（ ）
A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等
【解析】选C.A,B,D都正确,经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线,垂直于半径的直线不一定是圆的切线.
2.如图,正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为（ ）
A.2B.3
C.
D.2
【解析】选D.因为圆内切于正三角形,如图,连接AO及OD,可知AD=CD,根据半径是1,可知AO=2,根据勾股定理,得AD=
所以AC=2
.
【知识归纳】三角形的内切圆和内心
（1）一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆有无数多个外切三角形.
（2）三角形的内心是三条角平分线的交点,因此,钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部,三角形的内心到三边的距离相等.
3.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= °.
【解析】∵点P是△ABC的内心,∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.
答案:
90
4.如图,☉I是△ABC的内切圆,切点分别为点D,E,F,若∠DEF=52°,则
∠A= .
【解析】连接ID,IF,∵☉I是△ABC的内切圆,
∴ID⊥AB,IF⊥AC.
又∵☉I中,∠DIF=2∠DEF=104°,四边形DIFA中,
∠IDA=∠IFA=90°,
∴∠A=180°-∠DIF=76°.
答案:
76°
5.如图,已知☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,如果AE=2,CD=1,BF=3,求内切圆的半径r.
【解析】∵☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,∴AF=AE,EC=CD,DB=BF,
∵AE=2,CD=1,BF=3,∴AF=2,EC=1,BD=3,∴AB=BF+AF=5,BC=BD+DC=4,
AC=AE+EC=3,∴△ABC是直角三角形且∠C=90°,
∴
（AB+BC+AC）r=
AC×BC,即6r=6,r=1.
【错在哪？
】作业错例课堂实拍
如图,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC= °.
（1）错因:
.
（2）纠错:
.
答案：
（1）I是内心，不是外心，要理解内心和外心的区别.
（2）∵∠A=45°,∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°,∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC=
∠ABC，∠ICB=
∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=
（∠ABC+∠ACB）=67.5°，∴∠BIC=180°-67.5°=112.5°.
答案：
112.5
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2019-2020年九年级数学上册提技能·题组训练24.3
正多边形的性质与判定
1.下列命题正确的是（ ）
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
【解析】选D.根据正多边形的概念得:
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形,故A,B错误;矩形既是轴对称图形又是中心对称图形,但其不是正多边形,故C错误;D符合正多边形的概念,正确.
2.圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（ ）
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍
C.扩大了四倍D.没有变化
【解析】选D.由题意知圆的半径扩大一倍,则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍,所以相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有变化.
3.如图所示,正六边形ABCDEF内接于☉O,则∠ADB的度数
是（ ）
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
【解析】选C.连接OB,∵∠AOB=60°,∴∠ADB=
∠AOB=30°.
4.下列说法:
①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各角相等的圆内接多边形是正多边形.正确的是（ ）
A.①B.②C.①②D.都不正确
【解析】选A.∵各边相等的圆内接多边形其所对的弧线段相等,∴该多边形为圆的内接正多边形,故①正确;矩形符合②的条件但不符合结论,故②错误.
5.正五边形共有 条对称轴,正六边形共有 条对称轴.
【解析】正n边形的对称轴与它的边数相同.
答案:
5 6
6.已知☉O的半径为1cm,求作☉O的内接正八边形.
【解析】
（1）如图所示,作直径AC,使AC=2cm.
（2）作AC的中垂线BD交☉O于B,D两点.
（3）连接AD,作AD的中垂线交
于M点.
（4）用同样的方法作出
的中点分别为E,F,G.
（5）依次连接各分点,即得正八边形.正八边形AEBFCGDM即为所求作的☉O的内接正八边形.
正多边形有关的计算
1.（2013·资阳中考）一个正多边形的每个外角都等于36°,那么它是（ ）
A.正六边形 B.正八边形
C.正十边形D.正十二边形
【解析】选C.∵多边形的外角和都等于360°,而360°÷36°=10,∴这个正多边形是正十边形.故选C.
2.正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）
A.1∶2∶3B.1∶
∶
C.1∶
∶3D.1∶2∶
【解析】选A.如图过点C作CD⊥AB,垂足为D,则CD必过中心O点,连接OB,设OD=x,则OB=2x,所以△ABC的高线为3x,因此正三角形的边心距、半径和高的比为1∶2∶3.
3.（2013·莱芜中考）正十二边形每个内角的度数为 .
【解析】正十二边形的每个内角都相等,每个外角也相等.
方法一:
（12-2）×180°=1800°.1800°÷12=150°.
方法二:
360°÷12=30°.180°-30°=150°.
答案:
150°
【方法技巧】正多边形外角的两种求法
1.根据多边形内角和公式计算正多边形每个内角的度数,再利用互补的关系求外角度数.
2.直接利用多边形外角和求其外角度数.
【变式训练】如果一个正多边形的一个内角为144°,则这个正多边形的边数为 .
【解析】360÷（180-144）=10,所以这个正多边形是正十边形.
答案:
十
4.若正n边形的一个外角是一个内角的
此时该正n边形有 条对称轴.
【解析】因为正n边形的一个外角为
一个内角为
所以由题意得
=
·
解这个方程得n=5.
所以该正n边形有5条对称轴.
答案:
5
5.在半径为R的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为 .
【解析】内接正方形的边长为
R,内接正六边形的边长为R,其比为
∶1.
答案:
∶1
6.已知正六边形的边心距为
则正六边形的边长为 .
【解析】∵正六边形的边心距为
∴OB=
AB=
OA,OA2=AB2+OB2,解得OA=2.
答案:
2
【方法技巧】求正六边形有关线段的方法
1.构造直角三角形,其斜边是正六边形的半径,一条直角边是正六边形的边心距,另一条直角边是正六边形的边长的一半,一个锐角是正六边形中心角的一半
30°.
2.通过勾股定理求解.
【错在哪？
】作业错例课堂实拍
线段AB是圆内接正十边形的一条边,则AB所对的圆周角的度数是 度.
（1）错因:
.
（2）纠错:
.
答案：
（1）忽略了一条弦对着两个圆周角
（2）另一个圆周角为:
180°-18°=162°
答案:
18或162
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