层次分析法及模糊综合评价.docx
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层次分析法及模糊综合评价
第十三章2层次分析及模糊综合评价
13.1层次分析模型深入分析
13.2模糊综合评价
13.1层次分析模型深入分析
层次分析法的基本步骤
（、数学模型
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标一准则或指标一方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1〜9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
二.层次分析法的广泛应用
-应用领域：
经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题,产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
-处理问题类型：
决策、评价、分析、预测等。
-建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。
-构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。
例2工作选择工作讐
贡
收
发
声
关
位
献
入
展
誉
系
置
供选择的岗位
（、数学模型
经济效益
Bi
社会效益b2
环境效益
B3
过河的效益
A
美化G
O—进出方便G———舒适c9—自豪感C8—交往沟通c7———安全可靠c6———建筑就业G———当地商业C4———岸间商业G———收入CC
节省时间
例3横渡江河、海峡方案的抉择
—冲击渡船业G
冲击生活方式C4
—交通拥挤G
—居民搬迁G
—汽车排放物c7——
—对水的污染c8——
桥梁
D1
隧道
D2
渡船
D2
—对生态的破坏G
—操作维护CC
—投入资金G
（2）过河代价层次结构
直接
经济效益
C11
间接经济效益
C^
社会
效益
C13
学识
水平
C21
学术
创新
C22
技术
水平
C23
技术
创新
C24
待评价的科技成果
三.层次分析法的若干问题
-正互反阵的最大特征根是否为正数？
特征向量是否为正向量？
一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？
・怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量?
•为什么用特征向量作为权向量？
・当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？
1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质
定理1正矩阵刀的最大特征根4是正单根，对应正特征向量皿且limT=w,e=（1,1,…,1）r
kiseAe
正互反阵的最大特征根是正数，
'特征向量是正向量。
定理2"阶正互反阵』的最大特征根4n,
4=n是一致阵的充要条件。
d一致性指标c=七定义合理
2.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
-精确计算的复杂和不必要
-简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量,一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。
和法——取列向量的算术平均
1.769
0.974
0.286
」精确结果渺=（0・588,0・322,0・090）T,人=3.010
简化根法——取列向量的几何平均计算幂法―迭代算法
1）任取初始向量卬（。
）,k:
=0,设置精度£
2）计算镣（5=Aw（们
3）归一化w（"1）=w（"1）/£w：
k+1）
i=1
4）若maxIw；"1）-w：
“）|<8,停止；
否则，k:
=k+1,转2
3.特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应
冋题一致阵4权向量w=（w1,^wn）T,aij=wi/wj
力不一致，应选权向量w使w,Wj与aj.相差尽量小（对所有ij）。
结果与根法相同
数学模型一
多步累积效应
•按不同准则确定的权向量不同，特征向量看什么优点。
▽I，J，」k0，k>k0，ais—js或is—白js（S=1，•••"/
口当。
足够大,瑚第i行元素反映G的权重D求A啲行和
定理1-丄=w
特征向量体现多步累积效应
4.不完全层次结构中组合权向量的计算
完全层次结构：
上层每一元素与下层所有元素相关联
不完全层次结构
设第2层对第1层权向量
W
（2）=（w1
（2）w2
（2））T已定第3层对第2层权向量卬1（3）=（的1⑶*12⑶*13（3）,0）
卬2（3）=（0,。
卬23⑶*24（3卩已得讨论由w
（2）,W（3）=（W1（3）,w2（3））计算第3层对第1层权向量
W（3）的方法
P1，P2只作教学,P4只作科研,
P3兼作教学、科研。
C1，C2支配元素的数目不等
（数学模型）考察一个特例:
若C1,C2重要性相同,w
（2）=（l/2,l/2泪
P1~P4能力相同，Wi（3）=（l/3J/3J/3,O）Tw2（3）=（O01/2,l/2）T公正的评价应为：
Px:
P2:
P3:
P4=1:
1:
2:
1
-不考虑支配元素数目不等的影响
仍用w（3）=W⑶w
（2）计算弓w（3）=（l/6,l/6,5/12,l/4）T
-支配元素越多权重越大教学、科研任务由上级安排用支配元素数目对w
（2）加权修正=3,n=2,
讦⑵=（〃时2）,n2w；2））T/（〃时2）+n2w；2））赴）=（3/5,2/5）t
再用w（3）=W（3w
（2）计算弓w（3）=（l/5,l/5,2/5,l/5）T
-支配元素越多权重越小教学、科研靠个人积极性
5.残缺成对比较阵的处理
一1
2
e
一1
2
w1/w3一
例A=
1/2
1
2
C=
1/2
1
2
e
1/2
1
辅助矩阵
_w3/W1
1/2
1
Q为残缺元素
Cw=人=3,w=（0.5714,0.2857,0.1429）,
XXI
Aw=Aav
6.更复杂的层次结构
-递阶层次结构：
层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。
-更复杂的层次结构：
层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。
刹车转向运行加速性能
|,||
〔I「丨II制动二方向盘二底盘二发动机二车轮二减震装置丨丨丨丨丨丨
I丨丨I
汽车1汽车2汽车〃
层次分析法的优点
-系统性一一将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；
-实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；
-简洁性一一计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。
层次分析法的局限
-囿旧一一只能从原方案中选优，不能产生新方案；
-粗略一一定性化为定量，结果粗糙；
-主观一一主观因素作用大，结果可能难以服人。
13.2模糊综合评价
-因子分析
•主成分分析
•回归分析
•聚类分析
•粗糙集
模糊数学
（一）模糊集合
设X为一基本集，若对每个XeX,都指定
一个数卩a（x）e[0,1],则定义模糊子集A:
〜〜
〃A（x）
A=<—二xeX>
~1xJ
丹3称为A的隶属函数，（（）（方称为元素）的隶属度。
模糊数学
（二）隶属函数的确定
模糊统计确定隶属函数的方法：
该方法是先选取一个基本集，然后取其中任一元素x,・，再考虑此元素属于集合A的可能性。
A=竺回+++红重++红垃
a2aan
模糊数学
（3）截集
模糊集合的人截集是指X中对A的隶属度不小于人的一切元素组成的普通集合。
其定义为：
对于给定的实数2（0<2<1），定义
A={xI（x）Z2）
为A的2截集，其中，2叫置信水平。
模糊综合评价
什么是事物的模糊性?
指客观事物在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼性"O
（1）清晰的事物一每个概念的内涵（内在涵义成本质属性）
和外延（符合本概念的全体）都必须是清楚的、不变的，每个
様念非真即假，有一条截然分明的界线，如男、女。
（2）模糊性事物——由于人未认识，或有所认识但信息不壕丰富,使其模糊性不可忽略,它是一种没有绝对明确的外延的專物.如美与丑等。
人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、深浅等的认识就是模糊的。
模糊综合评价
“事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一个基本矛盾"，由此促使着模糊数学的产生和发展。
“模糊"井非坏事，在有些情况下它比精确更有
意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，对
人进行模糊综合评价。
郑板桥讲“难得糊涂”，实际上包含了难得模糊的哲理。
模糊综合评价
（、数学模型
很多时候，人们不仅要从多种因素考虑，且一般只能用模糊语言描述.如显示器的舒适性，人员的政治立场坚定，某建设方案的社会影响等.
评价者从诸因素出发，参照有关信息，根据其判断
对复杂问题分别作出“大、中、小”!
“高、中、低"“优、良、可、劣"；“好、较好、一般、较差、差”等程度性的模糊评价.
模糊综合评价
多因素评价较困难，因为要同时综合考虑的因素很多，而各因素重要程度又不同，使问题变得很复杂。
如用经典数学方法来解决综合评价问题，就显得很难。
而模糊数学则为解决模糊综合评价问题提供了理论依据，从而找到了一种简便而有效的评价与决策方法.
可通过模糊数学提供的方法进行运算，得出定量的综合评价结果，从而为正确决策提供依据。
一、模糊综合评价的数学模型
1,模糊数学的产生
至今，数学的发展已经历三代:
<1）第一代数学：
经典数学，研究和处理植确的必然现象;
它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延伸和发展.
FuzzyMaths»专门用来处理和研究横湖性專物的一种瓠的数学方法•1965年美国加州大学査H（LAZMeh）教授发衰《FuzzySets》一文，标志其诞生.
一、模糊综合评价的数学模型
2.模糊数学的任务
（1）给数学“禁区"的各门学科，如社会、人文学科等提供新的语言和工具；
（2）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和
判断，提高自动化水平，使电脑更“聪明"o
•、模糊综合评价的数学模型
给定评价指标因素（着眼点）的有限集合
和评语的有限集合
U—{"],U2,•••,un}
V—*卩2,…，V初｝
则相对某_单项评价因素U］而言，评价结果可以用评语集合*这一论域上的模糊子集B来描跖
B1—"JV1+"2V2+…+"m/Vm
并简记为向量形式
B1—["1，"m]
•、模糊综合评价的数学模型
如对教材进行评价，假如评价科学性（U］）、实践性（％）、适应性（％）、先进性（m）、专业性（明）等方面，则评价指标因素集为
—{"],"2,"3，U4，"5}
若评价结果划分为11很好"（V）、“好"（％）、"一般”伉）“差w（V4）四个等扱，评语集则为
V={v1,V2,V3,V4）
一、模糊综合评价的数学模型如只对科学性国）一个因素来评定该教材，若釆用民意测验的方法,结果16%的人说“很好"，42%的人说“好"，39%的人说“一般"，3%的人说“羞"，则评价结果可攫模糊篥描述
B=0.16/很好+0.42/好+0.39/一般+0.03/差
~1
B1可简记为向量形式
B1=[0.16,0.42,0.39,0.03]
评价结果鸟是卩诂壬=这一论域上的模糊子集.
Bi就是对被评对象所做的单因素评价。
一、模糊综合评价的数学模型然而，一般往往需要从几个方面来综会地评价某一事物，从而得到一个综合的评价结果。
对多指标因素的综合评价，最终结果仍是评语集合V这一论域上的横糊子氣记作BO
B=b\lV1+b2/v2+...+bm/vm
简记为m维向量形式
B=[b1,b2,...,bm]
其中与为V中相应元素的隶属度,且如G[0,1],j=1,2,...,mo
一、模糊综合评价的数学模型实际评价工作中，考虑到不同评价因素童要性的区别，评价因素集合是因素集u这一论域上的模糊子篥，记作A•
A=a1/u1+a2/u2+...+an/un
简记为n维向■形式』「.
A—[ai,%2,...,%n]
n
其中④为u中相应元素的隶属度，且%g[0,1],£%=i.
一、模糊综合评价的数学模型一个模糊综合评价问题，就是将评价因素篥合U这一论域上的一个模糊集合A经过模糊关系变换为评语集合V这一论域上的一个
模糊集合B,即
B=A°R
上式即模糊综合评价的数学模型.其中
B—模糊综合评价的结果，是m维模糊行向量•A—糊评价因素权重集合，是n维模糊行向量•R—从U到V的一个模糊关系，是nxm矩阵。
其元素北二匸二）表示从第i个因素着眼，做岀第j
种评语的可能程度」
模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示宣合关系。
-在综合评价中，常用的广义模糊算子主要有下列3种
1）主因素决定型M（V,A）bk=Vni=1（aiArik）o
2）主因素突出型M（V,・）bk=Vni=1（ai-rik）o
3）加权平均型M（V・,・）bk=A（l，Eni=l（ai-rik）}o
•在上述各式中W表示min称为模糊积;“V”表示max称为模糊并;“•”表示普通积；“V•刀表示模糊有界和。
根据分析表明:
加权平均型比较接近人们的经验评判，但计算出的结果不明细;主因素决定型信息利用率不高，计算结果偏差变化大;主因素突出型利用信息比较充分。
一、模糊综合评价的数学模型
模糊综合评价的步骤：
L设定评价指标因素集U;
2.设定评语篥V：
3・确定评价指标权■集A;
4.用民意测验方法请专家实施评价；
5,建立评价矩阵巴；
6,按数学模型进代综合评价；
7.归一化处理.得出具有可比性的综合评价结果.
1.用于讲课质量的评估
U=［清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁］
V=［很好，较好，一般，不好］
A=（0.5,020.2,0.1）
一0.40.50.1
0一
0
0.6
0.3
0.1
R=
〜李
0.1
0.2
0.6
0.1
一0.1
0.2
0.5
0.2_
二、模糊综合评价的应用
B=AoR
〜李〜〜李
0.4
0.5
0.6
0.3
0.1
0.2
0.1
0.2
0.10一
=（0.5,0.2,0.2,0.1）o
0.10
0.60.1
0.50.2
=[（0.5a0.4）v（0.2a0.6）v（0.2a0.1）v（0.1a0.1）,
（0.5a0.5）v（0.2a0.3）v（0.2a0.2）v（0.1a0.2）,（0.5a0.1）v（0.2a0.1）v（0.2a0.6）v（0.1a0.5）,（0.5a0）v（0.2a0）v（0.2a0.1）v（0.1a0.2）]=（0.4,0.5,0.2,0.1）
归一化：
B=（0.33,0.42,0.17,0.08）
二、模糊综合评价的应用
2.用于科技成果的评定
U=［水平，成功概率，经济效益］
A=（0.2,0.3,0.5）
因素
项目
技术水平
成功概率
经济效益
甲
接近国际先进
70%
>100万元
乙
国内先进
100%
>200万元
丙
般
100%
>20万元
、评价项目、
科技水平
成功概率
经济效益
高
中
低
大
中
小
高
中
低
甲
0.7
0.2
0.1
0.1
0.2
0.7
0.3
0.6
0.1
乙
0.3
0.6
0.1
1
0
0
0.7
0.3
0
丙
0.1
0.4
0.5
1
0
0
0.1
0.3
0.6
0.7
0.2
0.1
0.2
0.3
0.6
一0.3
0.6
0.1一
&=
1
0
0
。
丙=
0.7
0.3
0
0.4
0.3
0.5
0.6
0.1
0.1
1
0.7
0.1
0.1
（数学模型一
二、模糊综合评价的应用
一0.7
0.2
0.「
一0.3
&=
0.1
0.2
0.7
&=
1
0.3
0.6
0.1
0.7
综合评价7
B=
〜^3
A。
R
〜〜甲
=（0.2,0.3,0.5）
=（0.3,0.5,0.3）
0.6
0.1一
一0.1
0.4
0.5一
0
0
R丙
了=
1
0
0
0.3
0
0.1
0.3
0.6
B
=A。
R
一0.7
0.20.1
〜乙
〜〜乙
0.1
0.20.7
B
=A。
R
〜丙
〜〜丙
0.30.60.1
B=（0.27,0.46,0.27）
〜甲
B=（0.56,0.33,0.11）
〜乙
B=（0.27,0.27,0.46）
二、模糊综合评价的应用
3.某品牌服装的市场定位选择（方案不同.各指标权童不同）
fl
f5
因素集
款式
面料
耐穿度
流行性
商标
价格
ei
e2
e3
e4
评语集
很欢迎
欢迎
般
不欢迎
ala2
市场定位方案集第一类消费者第二类消费者
二、模糊综合评价的应用
利用市场调査获得模糊评价矩阵:
很欢迎ei
欢迎
不欢迎
款式fl
0.55
0.34
0.10
0.01
面料E
0.60
0.15
0.25
0
耐穿性f3
0.25
0.40
0.15
0.20
流彳丁性Cl
0.80
0.12
0.08
0
商标f5
0.50
0.38
0.12
0
价格&
0.21
0.17
0.44
0.18
伊闔J（
丄24,徂久0.0
4,0.匕0.匕5,（
0.0旷
W（a2）=（0.33,0.02,0.35,0.04,0.02,0.22）
（数学模型『
二、模糊综合评价的应用
4不同类型考核的综合（考核类型不同，各指标评语不同）
重为\昨=｛0.35,035,0.15015｝,又设考様集为丁=禹志｝,&表示日常考核，t2衰示晋级考核，设日常和晋级考核重要性分别为0.604。
甲乙两人的日常考核/骨扱考核统计记录分别如下，要求进行横湖
综合评价。
甲
ei
e2
e3
e4
日常
晋级
日常
晋级
日常
晋级
日常
晋级
fl
0.5
0
0.3
0
0
1
0.2
0
0.5
0
0.1
0
0.2
0
0.2
1
0
0
0.7
0
0.3
0
0
1
-0.6
0.1
—0-
—0一
si®®
乙
ei
e2
e3
e4
日常
晋级
日常
晋级
日常
晋级
日常
晋级
fl
0
1
0.1
0
0.8
0
0.1
0
0
1
0.1
0
0.7
0
0.2
0
0.1
1
0.6
0
0.3
0
0
0
0
0
0
0.1
1
0.6
0
0.3
0
可得：
BB
〜甲，日常〜乙，日常b=（0.6,0.4）。
BBK〜甲
〜甲，晋级〜乙，晋级|〉
B
〜甲，
日常
B
_〜甲，
晋级
一B
〜乙，
日常
B
设考核因素权重为WT={0.6,0・4}B乙=（0*6,0*4）。
三、多级模糊总评价
举例7战略导弹效能的多级模糊总评价问题.
效能
（数学模型
总体■性能
—r机
动能力
IT生
存能力
突防能力
毁伤能力
作战裁果
攻击作战能力
HP
TTT
中精度
实当重
性
件
截
群
LJ
U
LJ
*
L
三、
多级模糊总评价
（数学模型尸
有效性
有效性的四个方面的权向量为:
评语等1R分为5IR：
｛好、较好、一般、较差、差｝
假设已得到以下中间结果，
可!
!
性：
B1=（0.3,0.5,0.2,0,0）
维修性：
B2=（QO.2,0.5,0.2,0.1）
安全性：
B3=（0.24,0.37,0.23,0.13,0.03）
适应性：
B4=（0.19,0.36,0.29,0.13,0.03）
A=（0.4,0.2,0.2,0.2）
则有效性的模糊综会评价蜻果为:
fB1]
B2
B3
kB4丿
=（0.4,0.2,0.2,0.2）°
f0.30.50.2
00.20.5
0.240.370.23
、0.190.360.29
=（0.206,0.386,0.284,0.092,0.003）
00、
0.20.1
0.130.03
0.130.03丿
@®®
三、
多级模糊总评价
（、、数学模型
总体性能
B'1
B*2
IlliB‘3=（0.203,0.020,0.108,0.440,0.229）
A=（0.3,0.5,0.2）
总体性能的三个方面的权向■为:
则总体性能的模糊综合评价结果为:
A'°R'=A'°
小结
1.系统评价的步骤
2.系统评价是相对的
3.系统评价是决策的依据
作业
1,假设对电视机的评价因素U=｛图像％,声音％价格吋，评语集^V=｛很好V],较好％可以％不好％｝,现请专家10人对三种电视机进行评价，结果如下：
⑴
V1
v2
v3
v4
升级会员 