利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分.docx

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利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

§9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。

一、利用柱面坐标计算三重积分

1、柱面坐标

设为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。

规定的取值范围是

，，

柱面坐标系的三组坐标面分别为

即以轴为轴的圆柱面；

即过轴的半平面；

即与面平行的平面。

点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式

（1）

2、三重积分在柱面坐标系中的计算公式

用三组坐标面,,,将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。

考察由各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为

这便是柱面坐标系下的体积元素,并注意到

（1）式有

（2）

（2）式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。

（2）式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量

的三次积分,其积分限要由

在中的变化情况来确定。

3、用柱面坐标表示积分区域的方法

（1）、找出在面上的投影区域,并用极坐标变量表示之；

（2）、在内任取一点,过此点作平行于轴的直线穿过区域,此直线与边界曲面的两交点之竖坐标（将此竖坐标表示成的函数）即为的变化范围。

【例1】求下述立体在柱面坐标下的表示形式

球面与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。

由锥面与平面所围成的立体。

在面上的投影区域为,

其极坐标下的表示形式为

在的变化范围是,

即

故

在面上的投影区域为,

其极坐标下的表示形式为

在的变化范围是

即

故

【例2】用柱坐标计算三重积分

其中

是球体

位于第一卦限内的部分。

解:

二、利用球坐标计算三重积分

1、球面坐标

如图所示,空间任意一点也可用三个数唯一表示。

其中：

为原点到点的距离；

为有向线段与轴正向所成夹角；

为从正轴来看自轴依逆时针方向转到有向线段的角度,而点

是点在面上的投影点。

规定的取值范围为

,

不难看出,点的直角坐标与球面坐标间的关系为

（3）

2、球面坐标系的特点

是以原点为心的球面；

是以原点为顶,轴为轴的圆锥面；

是过轴的半平面。

粗略地讲,变量刻划点到原点的距离,即“远近”；

变量刻划点在空间的上下位置,即“上下”；

变量刻划点在水平面上的方位,即“水平面上方位”。

3、三重积分在球面坐标系下的计算公式

用三组坐标面,,,将分划成许多小区域,考虑当各取微小增量所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体积近似值为

这就是球面坐标系下的体积元素。

由直角坐标与球面坐标的关系式（3）有

（4）

（4）式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。

（4）式右端的三重积分可化为关于积分变量的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域用球面坐标加以表示。

4、积分区域的球面坐标表示法

积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的特点来决定。

实际中经常遇到的积分区域是这样的

是一包围原点的立体,其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程,据球面坐标变量的特点有

例如:

若是球体,则的球坐标表示形式为

曲面的球坐标方程为

于是

【例3】求曲面与曲面所围成的立体的体积。

解:

的图形为

下面根据图形及球坐标变量的特点决定的球坐标表示式。

（1）、在

面的投影区域

包围原点,故变化范围应为

；

（2）、在中可由轴转到锥面的侧面,而锥面的半顶角为,故的变化范围应为；

（3）、在内任取一值,作射线穿过,它与有两个交点,一个在原点处,另一个在曲面上,它们可分别用球坐标表示为及。

因此,

故

也可以利用柱坐标来计算该立体的体积。