六年级下册奥数试题几何直线形面积燕尾定理含答案人教版.docx
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六年级下册奥数试题几何直线形面积燕尾定理含答案人教版
1.理解燕尾定理，灵活运用定理解题．
2.
用份数思想求面积之间的关系．
3.
分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
所以S△ABE
（法一）连接CF，因为BDDC，EC2AE，三角形ABC的面积是30，
S△ABF
AE
1，
S△ABF
BD1
CD
S△CBF
EC
2
S△ACF
S△ABC10，S△ABD
3△ABC△ABD
S△ABC
2△ABC
15．
根据燕尾定理，
所以S△ABFS△ABC7.5，S△BFD157.57.5，
4
所以阴影部分面积是30107.512.5．
（法二）连接DE，由题目条件可得到S△ABE1S△ABC10，
△ABE3△ABC
S△BDE
1S△BECS△BEC
1
2S△ABC10，所以
AF
S△ABE
1
2
2
3
FD
S△BDE
1
1
1
111
1
S△DEF
S△DEA
S△ADC
S△ABC
2.5，
2
2
323
2
而S△CDE21S△ABC10．所以阴影部分的面积为12.5．
32
铺垫］右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．
分析】方法一：
整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任
.我
何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解们发现右图三角形中存在一个比例关系：
2:
S阴影13:
4，解得S阴影2.
方法二：
回顾下燕尾定理，有2（:
S阴影4）1:
3，解得S阴影2.
例2】如右图，三角形ABC中，BD:
DC4:
9，CE:
EA4:
3，求AF:
FB.分析】燕子尾巴非常明显.
根据燕尾定理，
S△ABO
BD
4
S△ACO
DC
9
S△ABOAE
3，
S△CBOEC
，
4
所以S△ACO
4427
S△BCO
9316
所以AF:
FB
27:
16.
分析］连接BG，S△BGC4份
根据燕尾定理，S△AGC:
S△BGCAF:
FB3:
2，S△ABG:
S△AGCBD:
DC3:
2
得S△AGC6（份），S△ABG9（份），则S△ABC19（份），因此S△AGC6
S△ABC19
同理连接AI
、CH得S△ABH
6,S△BIC6,
S△ABC
19S△ABC19
所以S△GHI
19666
1
S△ABC
19
19
三角形GHI
的面积是1，所以三角形ABC的面积是19
例4】如图，三角形ABC被分成6个三角形，己知其中4个三角形的面积，
问三角形ABC的面积是多少?
分析】设S△AOEx，S△BOFy，根据燕尾定理,得
分析】令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．
在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:
S△BCMAE:
CE1:
1,S△ACM:
S△BCMAD:
BD1:
1
所以S△ABM
S△ACMS△BCN
1S△ABC
3
由于S△AEM
11
S△AMCS△ABMS，所以BM
2△AMC2△ABM
:
ME2:
1
在△EBC中，
根据燕尾定理，
S△BEN:
S△CEN
BF:
CF
1:
1
S△CEN:
S△CBN
ME:
MB1:
2
设S△CEN1（份），则S△BEN
1（份），
S△BCN
2（份），
S△BCE4（份），
所以S△BCN
11,
S△BCES△ABC,S△BNE
24
1S△
4
BCE1S△ABC，
BCES△ABC
8
因为BM:
ME
2:
1,F为BC中点
所以S△BMN
2S
2
△BNE
1
S△ABC1
S△ABC
S△ABC,
11S△BFNS△BNC
1
1S△ABC
3
3
8
12
22
4
8
所以S阴影
1
1S△ABC
△ABC
5S△ABC
△ABC
515
3.125（平方厘米）
12
8△ABC
24△ABC
24
例6】如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，
AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？
分析】
连接CM、CN．
根据燕尾定理，S△ABM:
S△CBMAG:
GC1:
1，S△ABM:
S△ACMBD:
CD1:
3，所以
1；
S△ABMS△ABC；
△ABM5△ABC
再根据燕尾定理，
S△ABN:
S△CBN
AG:
GC1:
1，所以S△ABN:
S△FBNS△CBN
:
S△FBN
4:
3，所以
AN:
NF4:
3，
那么
S△ANG1
422
，所以SFCGN1S△AFC
5
1S△ABC
△ABC
5S△ABC△ABC
S△AFC2
437FCGN7△AFC
7
4
28△ABC
根据题意，有1
S△ABC
5S
S△ABC
7.2，可得S△ABC336（平方厘米）
5
28
拓展］如右图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，
分析］设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．
根据燕尾定理，S△ABP:
S△CBPAG:
GC1:
2，S△ABP:
S△ACPBD:
CD1:
2，设S△ABP1（份），
分析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解
连接EO、AF，
根据燕尾定理：
S△AOE:
S△AOFa:
b，S△AOF:
S△EOFa:
b
所以S△AOE:
S△EOFa2:
b2，作OM⊥AE、ON⊥EF，
∵AEEF
22
∴OM:
ONa2:
b2
∴S甲:
S乙a3:
b31:
8
∴a:
b1:
2
所以阴影面积与空白面积的比1:
21:
2
33
分析］连接BN．
△ABC的面积为3223
根据燕尾定理，△ACN:
△ABNCD:
BD2:
1；
同理△CBN:
△CANBM:
AM1:
1
设△AMN面积为1份，则△MNB的面积也是1份，所以△ANB的面积是112份，而△ACN的面积就是224份，△CBN也是4份，这样△ABC的面积为441110份，所以△AMN的面积为31010.3．
4.
三角形ABC的面积是1平方厘米，且BE2EC，F是CD的中点．那么阴影部分的面积是平方厘米．
分析】连接BF，根据燕尾定理S△ACF:
S△ABFCE:
BE1:
2,又因为F是CD的中点，所以S△ACFS△ADF，所以S△ADFS△BDF,即D是AB的中点，设S△
ECF1（份），则
S△BEF2（份）,S△BDF3（份）,S阴影5（份），S△ABC2（123）12（份），
所以S阴影5S△ABC5（平方厘米）
1212
5.
如图，线段AB与BC垂直，已知AD=EC=4，DB=BE=6，那么图中阴影部分面积是多少？
分析】这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线BO，则图形关于BO对称，
设△ADO的面积为2份，则△DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份.
因为S△ABE610230，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415
11
6.如图，△ABC中AEAB，ADAC，ED与BC平行，△EOD的面积是1平方厘米．那
44
么△AED的面积是平方厘米．
11
分析】因为AEAB，ADAC，ED与BC平行，
44
所以ED:
BC1:
4,EO:
OC1:
4，S△EOB4S△EOD4，则S△CDE415，又因为S△AED:
S△CDEAD:
DC1:
3所以S△AED515（平方厘米）．
33
许多追踪这个富有者的乌鸦立刻
成群飞来。
它们全都落下来，一声不响，一动不动。
那只嘴里叼着东西的乌鸦已
富乌鸦
迫赶得精疲力竭的乌鸦也在跟着飞，但已明显地落在大家后面了。
请看，富有的乌鸦的处境多么可怕，而这只是因为，它只为了它自己。
如果只想到自己的利益，而忽略了集体，不懂得互相合作、互相爱护，最终
呀。
它也不能飞下去，在地上从容不迫地把这块东西啄碎，乌鸦们会猛扑过去，
于是就要开始一场通常所说的混战了。
它只好停在那儿，保卫嘴巴里的那块东西。
也许是因为嘴里叼着东西呼吸困难，也许是因为先前被大家追赶得精疲力竭
只见它摇晃了一下，突然失落了叼着的那块东西。
所有的乌鸦都猛扑上去，
在这场混战中，一只非常机灵的乌鸦抢到了那块东西，立刻展翅飞去。
头一只被
结果是第二只乌鸦也像第一只一样，精疲力竭地落到一棵树上，最终也失落
了那块东西。
于是又是一场混战，所有的乌鸦又去追赶那个幸运儿
就会落到富乌鸦那样可怕的处境，从而危及自己的利益。
所以我们每个人做事情
的时候，都应该多为别人着想。
这是我们在成长的过程中应该培养的品质。
经很累了，很吃力地喘息着，不是吗，它不可能一下子就把这一大块东西吞下去
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