八上整式的除法及混合运算.docx
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八上整式的除法及混合运算
整式的除法及混合运算
适用学科
中学数学
适用年级
初中一年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
60
知识点
同底数幂的除法;单项式除以单项式;多项式除以单项式;整式乘法中的化简求值
幂的运算法则的逆向运用;整式的混合运算
教学目标
1、掌握同底数幂除法以及单项式与多项式的除法
2、掌握整式的乘除法的化简求值
3、掌握整式的混合运算及综合应用
教学重点
整式的乘除法的化简求值
教学难点
掌握整式的混合运算及综合应用
教学过程
1、课堂导入
“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”中的第一个公式.教学中,应让学生了解公式产生的背景,经历公式形成的过程.首先,让学生从已有认知出发,在-组多项式乘以多项式的乘法运算中,发现有特殊形式的多项式相乘,并且运算结果简单,从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征,初步感受平方差公式;其次,通过数形结合验证平方差公式的合理性,进而确立平方差公式的地位和作用,既为符合公式特征的整式乘法运算带来方便,又为后续学习用公式法分解因式奠定基础;最后,从公式的探究、推导活动中,让学生学会从“特殊”到“-般”的探究方法,为学生以后能主动探究完全平方公式,甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础.要熟练而正确地应用公式解决问题,就必须对公式的结构特征进行剖析,在剖析中加深对公式特征和表达形式的理解与掌握,这就为学生学习、掌握其他数学公式提供了“模板”.因此,“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心的地位.基于此,本节课的教学重点是:
理解乘法公式的结构特征及几何意义,并能灵活运用平方差公式.
2、复习预习
我们一起来回顾有理数乘法运算律:
(1)乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积不变。
即
(2)乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.即
(3)乘法分配律:
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
即
这节课我们一起来学习两个运算公式。
三、知识讲解
考点1同底数幂的除法
(1)法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
(2)符号表示:
am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n).
(3)注意:
①应用法则时,必须明确底数是什么,指数是什么,然后按同底数幂相除的法则计算;
②运算时要注意运算顺序,同时还要注意指数为“1”的情况,如:
m5÷m=m5-1,而不是m5÷m=m5-0.
(4)0次幂:
任何不等于0的数的0次幂都等于1,即a0=1(a≠0).
(5)同底数幂的除法法则的理解 运用同底数幂相除应注意:
(1)适用范围:
两个幂的底数相同,且是相除的关系,被除式的指数大于或等于除式的指数,且底数不能为0;
(2)底数可以是数,也可以是单项式或多项式;(3)该法则对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立.
考点2单项式除以单项式
(1)法则:
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
(2)步骤:
①系数相除;②同底数幂相除;③对于只在被除式里含有的字母的处理(连同指数作为商的一个因式).
单项式除以单项式的结果仍为单项式.
考点3多项式除以单项式
(1)法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
(2)注意:
①多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决;②运算时不能漏项;③运算时注意符号的变化.
(3)多项式除以单项式的注意点:
(1)要注意商的符号,应弄清多项式中每一项的符号,相除时要带着符号与单项式相除;
(2)多项式除以单项式的结果是一个多项式,
多项式除以单项式是单项式乘以多项式的逆运算,可以用其进行检验.
1、
考点4整式乘法中的化简求值
整式乘法运算中的化简求值题的主要步骤有:
(1)按照题目规定的运算顺序,对原式进行化简;
(2)将对应的字母数值代入化简后的结果进行计算;
(3)注意代入时,不要代错,在求值时,式子的运算符号和顺序都不变.
考点5幂的运算法则的逆向运用
幂的运算法则是以等式形式出现的,受思维定势的影响,习惯于从左边到右边运用它,而忽视从右边到左边的应用,即逆向运用运算法则.其实,有些问题如果逆向运用幂的运算性质,解题会更加简捷.
(1)am+n=am·an(m,n都是正整数).
(2)amn=(am)n(m,n都是正整数).
(3)anbn=(ab)n(n为正整数).
考点6整式的混合运算
在学习了整式的加减、乘除,乘法公式以后,就可以进行整式的混合运算了.整式的混合运算用到的知识点比较多,除了整式加减、乘除,乘法公式,还要用到去括
号、乘法分配律等.
四、例题精析
考点一
【例题1】计算:
(1)a4÷a2;
(2)(-x)5÷x3;
(3)xn+3÷xn;(4)(x+1)4÷(x+1).
【答案】解:
(1)a4÷a2=a4-2=a2;
(2)(-x)5÷x3=-x5÷x3=-x5-3=-x2;
(3)xn+3÷xn=xn+3-n=x
3;
(4)(x+1)4÷(x+1)=(x+1)4-1=(x+1)3
【解析】底数可以是数,也可以是单项式或多项式;该法则对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立.
考点2
【例题2】计算:
(1)(-0.5a2bc2)÷(-
ac2);
(2)(6×108)÷(3×105);(3)(6x2y3)2÷(-3xy2)2.
【答案】解:
(1)(-0.5a2bc2)÷(-
ac2)
=[(-
)×(-
)]a2-1bc2-2=
ab;
(2)(6×108)÷(3×105)
=(6÷3)×108-5=2×103;
(3)(6x2y3)2÷(-3x
y2)2
=36x4y6÷9x2y4=(36÷9)x4-2y6-4=4x2y2.
【解析】单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式。
考点3
【例题3】计算:
(1)(6c2d-c3d3)÷(-2c2d);
(2)(24m3n-16m2n2+mn3)÷(-8m).
【答案】解:
(1)(6c2d-c3d3)÷(-2c2d)
=(6c2d)÷(-2c2d)-(c3d3)÷(-2c2d)
=-3+
cd2;
(2)(24m3n-16m2n2+mn3)÷(-8m)
=(24m3n)÷(-8m)-(16m2n2)÷(-8m)+(mn3)÷(-8m)
=-3m2n+2mn2-
n3.
【解析】多项式除以单项式的注意点:
(1)要注意商的符号,应弄清多项式中每一项的符号,相除时要带着符号与单项式相除;
(2)多项式除以单项式的结果是一个多项式,
多项式除以单项式是单项式乘以多项式的逆运算,可以用其进行检验.
考点4
【例题4】当y=-
时,求代数式y(y2-6y+9)-y(y2-8y-15)+2y(3-y)的值.
【答案】解:
y(y2-6y+9)-y(y2-8y-15)+2y(3-
y)
=y3-6y2+9y-y3+8y2+15y+6y-2y2
=30y,
当y=-
时,
原式=30y=30×(-
)=-5.
【解析】注意代入时,不要代错,在求值时,式子的运算符号和顺序都不变。
考点5
【例题5】计算:
(-
)2014·(3
)2014.
【答案】解:
(-
)2014·(3
)2014
=(-
×
)2014
=(-1)2014
=1.
【解析】其实,有些问题如果逆向运用幂的运算性质,解题会更加简捷。
考点6
【例题6】先化简,再求值:
[(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)]÷(-2y),其中,x=-
,y=2.
【答案】解:
原式=[x2-y2-(x2-2xy+y2)+2xy-2y2]÷(-2y)
=(x2-y2-x2+2xy-y2+2xy-2y2)÷(-2y)
=(-4y2+4xy)÷(-2y)
=2y-2x,
当x=-
,y=2时,
原式=2y-2x=2×2-2×(-
)=4-(-1)=5.
【解析】进行整式的混合运算首先要注意弄清运算顺序,先算什么再算什么,然后注意每一步运算所用到的法则、公式等要准确无误.
课堂小结
1同底数幂的除法
2单项式除以单项式
3多项式除以单项式
4整式乘法中的化简求值
5幂的运算法则的逆向运用
6整式的混合运算