八上整式的除法及混合运算.docx

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八上整式的除法及混合运算

整式的除法及混合运算

适用学科

中学数学

适用年级

初中一年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

60

知识点

同底数幂的除法；单项式除以单项式；多项式除以单项式；整式乘法中的化简求值

幂的运算法则的逆向运用；整式的混合运算

教学目标

1、掌握同底数幂除法以及单项式与多项式的除法

2、掌握整式的乘除法的化简求值

3、掌握整式的混合运算及综合应用

教学重点

整式的乘除法的化简求值

教学难点

掌握整式的混合运算及综合应用

教学过程

1、课堂导入

“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”中的第一个公式．教学中，应让学生了解公式产生的背景，经历公式形成的过程．首先，让学生从已有认知出发，在－组多项式乘以多项式的乘法运算中，发现有特殊形式的多项式相乘，并且运算结果简单，从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式；其次，通过数形结合验证平方差公式的合理性，进而确立平方差公式的地位和作用，既为符合公式特征的整式乘法运算带来方便，又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；最后，从公式的探究、推导活动中，让学生学会从“特殊”到“－般”的探究方法，为学生以后能主动探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础．要熟练而正确地应用公式解决问题，就必须对公式的结构特征进行剖析，在剖析中加深对公式特征和表达形式的理解与掌握，这就为学生学习、掌握其他数学公式提供了“模板”．因此，“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心的地位．基于此，本节课的教学重点是：

理解乘法公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用平方差公式．

2、复习预习

我们一起来回顾有理数乘法运算律：

（1）乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

即

（2）乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即

（3）乘法分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

即

这节课我们一起来学习两个运算公式。

三、知识讲解

考点1同底数幂的除法

（1）法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

（2）符号表示：

am÷an＝am－n（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．

（3）注意：

①应用法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按同底数幂相除的法则计算；

②运算时要注意运算顺序，同时还要注意指数为“1”的情况，如：

m5÷m＝m5－1，而不是m5÷m＝m5－0.

（4）0次幂：

任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a0＝1（a≠0）．

（5）同底数幂的除法法则的理解　运用同底数幂相除应注意：

（1）适用范围：

两个幂的底数相同，且是相除的关系，被除式的指数大于或等于除式的指数，且底数不能为0；

（2）底数可以是数，也可以是单项式或多项式；（3）该法则对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立．

考点2单项式除以单项式

（1）法则：

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

（2）步骤：

①系数相除；②同底数幂相除；③对于只在被除式里含有的字母的处理（连同指数作为商的一个因式）．

单项式除以单项式的结果仍为单项式．

考点3多项式除以单项式

（1）法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

（2）注意：

①多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决；②运算时不能漏项；③运算时注意符号的变化．

（3）多项式除以单项式的注意点：

（1）要注意商的符号，应弄清多项式中每一项的符号，相除时要带着符号与单项式相除；

（2）多项式除以单项式的结果是一个多项式，

多项式除以单项式是单项式乘以多项式的逆运算，可以用其进行检验．

1、

考点4整式乘法中的化简求值

整式乘法运算中的化简求值题的主要步骤有：

（1）按照题目规定的运算顺序，对原式进行化简；

（2）将对应的字母数值代入化简后的结果进行计算；

（3）注意代入时，不要代错，在求值时，式子的运算符号和顺序都不变．

考点5幂的运算法则的逆向运用

幂的运算法则是以等式形式出现的，受思维定势的影响，习惯于从左边到右边运用它，而忽视从右边到左边的应用，即逆向运用运算法则．其实，有些问题如果逆向运用幂的运算性质，解题会更加简捷．

（1）am＋n＝am·an（m，n都是正整数）．

（2）amn＝（am）n（m，n都是正整数）．

（3）anbn＝（ab）n（n为正整数）．

考点6整式的混合运算

在学习了整式的加减、乘除，乘法公式以后，就可以进行整式的混合运算了．整式的混合运算用到的知识点比较多，除了整式加减、乘除，乘法公式，还要用到去括

号、乘法分配律等．

四、例题精析

考点一

【例题1】计算：

（1）a4÷a2；

（2）（－x）5÷x3；

（3）xn＋3÷xn；（4）（x＋1）4÷（x＋1）．

【答案】解：

（1）a4÷a2＝a4－2＝a2；

（2）（－x）5÷x3＝－x5÷x3＝－x5－3＝－x2；

（3）xn＋3÷xn＝xn＋3－n＝x

3；

（4）（x＋1）4÷（x＋1）＝（x＋1）4－1＝（x＋1）3

【解析】底数可以是数，也可以是单项式或多项式；该法则对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立．

考点2

【例题2】计算：

（1）（－0.5a2bc2）÷（－

ac2）；

（2）（6×108）÷（3×105）；（3）（6x2y3）2÷（－3xy2）2.

【答案】解：

（1）（－0.5a2bc2）÷（－

ac2）

＝[（－

）×（－

）]a2－1bc2－2＝

ab；

（2）（6×108）÷（3×105）

＝（6÷3）×108－5＝2×103；

（3）（6x2y3）2÷（－3x

y2）2

＝36x4y6÷9x2y4＝（36÷9）x4－2y6－4＝4x2y2.

【解析】单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式。

考点3

【例题3】计算：

（1）（6c2d－c3d3）÷（－2c2d）；

（2）（24m3n－16m2n2＋mn3）÷（－8m）．

【答案】解：

（1）（6c2d－c3d3）÷（－2c2d）

＝（6c2d）÷（－2c2d）－（c3d3）÷（－2c2d）

＝－3＋

cd2；

（2）（24m3n－16m2n2＋mn3）÷（－8m）

＝（24m3n）÷（－8m）－（16m2n2）÷（－8m）＋（mn3）÷（－8m）

＝－3m2n＋2mn2－

n3.

【解析】多项式除以单项式的注意点：

（1）要注意商的符号，应弄清多项式中每一项的符号，相除时要带着符号与单项式相除；

（2）多项式除以单项式的结果是一个多项式，

多项式除以单项式是单项式乘以多项式的逆运算，可以用其进行检验．

考点4

【例题4】当y＝－

时，求代数式y（y2－6y＋9）－y（y2－8y－15）＋2y（3－y）的值．

【答案】解：

y（y2－6y＋9）－y（y2－8y－15）＋2y（3－

y）

＝y3－6y2＋9y－y3＋8y2＋15y＋6y－2y2

＝30y，

当y＝－

时，

原式＝30y＝30×（－

）＝－5.

【解析】注意代入时，不要代错，在求值时，式子的运算符号和顺序都不变。

考点5

【例题5】计算：

（－

）2014·（3

）2014.

【答案】解：

（－

）2014·（3

）2014

＝（－

×

）2014

＝（－1）2014

＝1.

【解析】其实，有些问题如果逆向运用幂的运算性质，解题会更加简捷。

考点6

【例题6】先化简，再求值：

[（x＋y）（x－y）－（x－y）2＋2y（x－y）]÷（－2y），其中，x＝－

，y＝2.

【答案】解：

原式＝[x2－y2－（x2－2xy＋y2）＋2xy－2y2]÷（－2y）

＝（x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy－2y2）÷（－2y）

＝（－4y2＋4xy）÷（－2y）

＝2y－2x，

当x＝－

，y＝2时，

原式＝2y－2x＝2×2－2×（－

）＝4－（－1）＝5.

【解析】进行整式的混合运算首先要注意弄清运算顺序，先算什么再算什么，然后注意每一步运算所用到的法则、公式等要准确无误．

课堂小结

1同底数幂的除法

2单项式除以单项式

3多项式除以单项式

4整式乘法中的化简求值

5幂的运算法则的逆向运用

6整式的混合运算